文档内容
2026年菁优中考数学解密之函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．（2025•齐河县模拟）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且
AE＝BF＝CG＝DH，设A，E两点间的距离为x．四边形EFGH的面积为y．则y与x的函数图象可能
为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025•新宾县校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从点B出发沿BD
方向以√3cm/s的速度运动至点D，点N同时从点B出发沿B→C→D方向以2cm/s的速度运动至点
D．设运动的时间为xs，△BMN的面积为ycm2.已知y与x之间的函数图象如图2所示，则a的值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025•湖北三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E从点B出发，沿BC以每秒1
个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D．
第1页（共50页）在此过程中△AEF的面积y与运动时间t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025•乌鲁木齐模拟）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的动点，且∠ECF＝
45°．设B，E两点之间的距离为x，△CEF的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示．已知点M
的横坐标为2，则点M的纵坐标为（ ）
A．12√2 B．15 C．9√2 D．5
5．（2025•绿园区校级三模）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h随
时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
第2页（共50页）A． B． C． D．
6．（2025•南关区校级二模）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大
D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃
7．（2025•东昌府区二模）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，
0），动点E，F同时从点A出发，E沿A→C运动，F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度
的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．
当点E，F移动时，记△ABC在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图象为（ ）
A． B．
第3页（共50页）C． D．
8．（2025•南岗区校级二模）朵朵每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天她从家去上学时以每分
30米的速度行走了450米，为了不迟到她加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么朵
朵距家的路程S（米）与她行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第4页（共50页）9．（2025•镜湖区校级二模）如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝6cm，CD＝
12cm，三个动点P ，P ，P 同时分别沿A→B→C，B→C→D，C→D的方向以1cm/s的速度匀速运动，
1 2 3
运动过程中△P P P 的面积y（cm2）与运动时间x（s）（0≤x≤12）的函数图象大致是（ ）
1 2 3
A．
B．
C．
第5页（共50页）D．
ax
10．（2025•襄城县一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=
的图象，输入了一组a，b的
(x-b) 2
值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二．填空题（共10小题）
1
11．（2025•徐汇区模拟）已知f（x）＝x2+ ，那么f（√2）＝ ．
x2
12．（2025•连云港校级一模）如图1，OA是 O的半径，点M是OA的中点，点N在 O上从点A开始
沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，⊙设运动过程中^AN的长为x，MN的长为y⊙，图2是y随x变
化的关系图象，则a的值为 ．
13．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家
经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与 n的对应关
第6页（共50页）系如下：
n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 …
A 40 60 / / / / /
B 30 55 75 90 100 105 /
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到 1台设备，为使5台设
备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可
获得的总利润的最大值为 万元．
14．（2025•凤城市二模）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，动点E以每秒1个单位长
度的速度从点A出发，沿着折线AB—BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE，设点E的运动时间为
x（单位：秒），DE2为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，
y的最大值为 ．
15．（2025•深圳模拟）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自
动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完
全相同，开始时甲容器液面高15cm．设甲容器中的液面高为y （单位：cm），乙容器中的液面高为y
1 2
（单位：cm），小明绘制了y ，y 关于虹吸时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示．当甲容器中
1 2
的液面比乙容器中的液面低3cm时，x的值为 ．
第7页（共50页）x
16．（2025•城西区校级三模）函数y= +(x-3) 0 中，自变量x的取值范围是 ．
√x-2
17．（2025•许昌模拟）如图1，在Rt△ABC中，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关
系如图2所示，则m的值为 ．
18．（2025•仁寿县一模）已知动点H以每秒xcm的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从
A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径匀速运动，相应△AHF的面积S（cm2）关于时间t（s）的变化关系如
图2，且AF＝8cm，
下列说法：①动点H的速度为2cm/s；②BC＝3cm；③b的值为13；④在运动过程中，当△HAF的
面积为30cm2时，点H的运动时间分别是3.75s和9.25s．其中正确的为 ．
19．（2025•永寿县校级一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件
上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为 6，其凸出部分的长为1，若x
第8页（共50页）个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为 ．
20．（2025•河南模拟）如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿
B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点
时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN
45
为线段），BC＝ cm；当△BEF的面积为
cm2
时，运动时间t为
2
s．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿
园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，
如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重
行驶状态下可行驶的路程S （单位：km）和S （单位：km）的部分数据：
1 2
P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
S 0 3 7 15 23 31 39
1
S 0 2 4 9 15 22 30
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S 与P，S 与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
1 2
补全这两个函数的图象；
（2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶 km（结果精
确到0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为 30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车
（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
第9页（共50页）③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为
（精确到1%）．
22．（2025•朝阳区一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪
器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：
m），部分数据如下：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个
函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 m，转盘的半径约为 m；
②此摩天轮转一圈所用时间为 min；
③若当座舱A距离地面的高度为10m时，座舱B距离地面的高度是50m，则至少经过
第10页（共50页）min（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
23．（2025•东昌府区二模）数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论：
信息一：他们分别指出了函数y 的一个性质：
1
甲：函数的图象不经过原点；
乙：函数的图象经过一、三象限；
丙：在每个象限内，y随x的增大而减小；
丁：函数图象经过点（2，3）．
信息二：已知函数y 的图象是一条直线，部分取值如下表所示
2
x ﹣1 0 1 2
y ﹣1 1 3 5
（1）根据题中的信息，写出两个函数的表达式；
（2）求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标；
（3）点O为坐标原点，求出△OAB的面积．
24．（2025•滑县二模）如图，A，B，D都在格点（网格线的交点）上，CD是Rt△OAB的中位线，反比
k
例函数y= (x＞0)的图象经过点C（4，2）．
x
（1）求反比例函数的解析式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象．
（3）将点A向左平移，当平移距离等于 时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上．
25．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终
第11页（共50页）点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒2√2个单位长度．过点P作
PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF
和△ABC重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在BC上时，t＝ ．
（2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值
范围．
第12页（共50页）2026年菁优中考数学解密之函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B C A D B A
一．选择题（共10小题）
1．（2025•齐河县模拟）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且
AE＝BF＝CG＝DH，设A，E两点间的距离为x．四边形EFGH的面积为y．则y与x的函数图象可能
为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
第13页（共50页）∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2
1 1
＝2[（x- m）2+ m2]，
2 4
1 1
＝2（x- m）2+ m2，
2 2
1 1
可知开口向上，顶点坐标为（ m， m2），
2 2
∴y与x的函数图象是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2025•新宾县校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从点B出发沿BD
方向以√3cm/s的速度运动至点D，点N同时从点B出发沿B→C→D方向以2cm/s的速度运动至点
D．设运动的时间为xs，△BMN的面积为ycm2.已知y与x之间的函数图象如图2所示，则a的值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】动点型；函数及其图象；矩形 菱形 正方形；推理能力；创新意识．
【答案】C
【分析】根据点N运动到点C时面积为2√3判断出菱形的边长，进而根据点N在CD上运动得到y关
3√3
于x的函数解析式，取y= 得到合适的x的值即为a的值
2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝CD，∠CBD＝30°，
第14页（共50页）∴∠BDC＝30°，
如图1，当点N在BC上运动时，BN＝2xcm，BM=√3xcm，
过点M作ME⊥BC于点E．则∠MEB＝90°，
1 √3
∴ME= BM= xcm，
2 2
1 1 √3 √3
∴y= BN⋅ME= ×2x⋅ x= x2 ，
2 2 2 2
√3
由题图2，得当点N在点C时，y=2√3，即 x2=2√3，
2
解得：x＝2（取正值），
∴BC＝CD＝4cm．
如图2，当点N在CD上运动时，BM=√3xcm，DN＝（8﹣2x）cm，
过点N作NH⊥BD于点H，则∠DHN＝90°，
1
∴HN= DN＝（4﹣x）cm，
2
1 1 √3
∴y= BM•NH= ×√3x•（4﹣x）=- x2+2√3x，
2 2 2
3√3 √3 3√3
当y= 时，- x2+2√3x= ，
2 2 2
解得：x ＝3，x ＝1（不符合题意，舍去），
1 2
∴a＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式和菱形的性质是解题的关键．
3．（2025•湖北三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E从点B出发，沿BC以每秒1
第15页（共50页）个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D．
在此过程中△AEF的面积y与运动时间t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】C
【分析】过点A作AT⊥EF于T，连接AC，可证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠ACB＝60°，
AC＝BC＝CD＝AD，再证明△ACD 是等边三角形，得到∠ACF＝∠ABE，证明△ABE≌△ACF
（SAS），得到 AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，则可证明△AEF 是等边三角形，进而可求出
1 √3
S = AT⋅EF= AE2 ，当t＝0时，AE＝AB＝2，则S =√3，当t＝2时，AE＝AC＝2，则
△AEF 2 4 △AEF
S =√3，据此可得答案．
△AEF
【解答】解：过点A作AT⊥EF于T，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝CD＝AD，
第16页（共50页）∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACF＝∠ABE＝60°，
由题意可知BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
1 1
∴AE＝EF，ET= EF= AE，
2 2
√3
∴AT=√AE2+ET2= AE，
2
1 √3
∴S = AT•EF= AE2，
△AEF 2 4
当t＝0时，AE＝AB＝2，则S =√3，
△AEF
当t＝2时，AE＝AC＝2，则S =√3，
△AEF
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点函数图象分析，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全
等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025•乌鲁木齐模拟）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的动点，且∠ECF＝
45°．设B，E两点之间的距离为x，△CEF的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示．已知点M
的横坐标为2，则点M的纵坐标为（ ）
A．12√2 B．15 C．9√2 D．5
第17页（共50页）【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】结合图2可知正方形边长为6，然后根据∠ECF＝45°识别半角模型，利用旋转，构造全等求
解即可．
【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝18，
此时点E与B重合，点F与A重合，
1
∴S= AB2＝18，
2
解得AB＝6，
如图，在AD延长线上取一点G，使DG＝BE，
∵CB＝CD，∠B＝∠CDG＝90°，BE＝DG，
∴△CBE≌△CDG（SAS），
∴CG＝CE，∠BCE＝∠DCG，
∵∠ECF＝45°，
∴∠BCE+∠DCF＝45°，
∴∠DCG+∠DCF＝45°，即∠FCG＝45°＝∠FCE，
∵CF＝CF，
∴△CFE≌△CFG（SAS），
∴EF＝FG，
当x＝2时，则BE＝DG＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
设DF＝a，则AF＝6﹣a，GF＝2+a＝EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴16+（6﹣a）2＝（2+a）2，
解得a＝3，
∴FG＝5，
第18页（共50页）1
∴S ＝S = FG•CD＝15，即y＝15，
△CEF △CFG 2
∴点M的纵坐标为15，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、函数图象等内容，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2025•绿园区校级三模）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h随
时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判
断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的
粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选：B．
【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
6．（2025•南关区校级二模）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
第19页（共50页）A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大
D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】根据函数图象解答即可．
【解答】解：由图象可知：
当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度小于49g，故选项A说法错误，不符合题意；
0°C至40°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，40°C至80°C时，碳酸钠的溶解度随着温度
的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意；
当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；
要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度可控制在接近40℃至80℃，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型
和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．（2025•东昌府区二模）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，
0），动点E，F同时从点A出发，E沿A→C运动，F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度
的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．
当点E，F移动时，记△ABC在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图象为（ ）
第20页（共50页）A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据坐标求出AB、AC等边长，分0＜t≤5时，证明△AFH与△ABO相似，求出FH，进而
得到S 关于t的表达式；5＜t≤6时，证明△FHC与△BOC相似，求出FH，通过S＝S ﹣S
△AEF △ABC △CEF
得出S关于t的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象．
【解答】解：由条件可知OA＝3，OB＝4，OC＝3，
∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5，AC＝6，
∵CO⊥AC，
∴AB＝BC＝5，
由条件可知0＜t≤6，
当0＜t≤5时，此时F在AB上运动，
△ABC在直线EF右侧部分为△AEF，
过F作FH⊥x轴，
∴∠FHA＝∠AOB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AEH，
第21页（共50页）AB AF
∴ = ，
OB FH
∵点E，F同时从点A出发，E沿A→C运动，F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度的速度
移动，
∴AF＝t，AE＝t，
5 t
∴ = ，
4 FH
4
∴FH= t，
5
1 1 4 2
∴S=S = ⋅AE⋅FH= ×t× t= t2 ，
△AEF 2 2 5 5
2
∴一个二次函数，二次项系数 ＞0，图象开口向上．
5
当5＜t≤6时，此时F在BC上运动，
△ABC在直线EF右侧部分为四边形ABFE，
∴点F运动的距离为t，AE＝t，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣t，BF＝t﹣5，CF＝5﹣（t﹣5）＝10﹣t，
过F作FH⊥x轴，
∴∠FHC═∠BOC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△BOC∽△FHC，
OB BC
∴ = ，
FH CF
4 5
∴ = ，
FH 10-t
4
∴FH= (10-t)，
5
1 1
∴S== AC×OB- CE⋅FH
2 2
第22页（共50页）1 1 4
= ×6×4- ×(6-t)× (10-t)
2 2 5
2 32
=- t2+ t-12．
5 5
2
这是一个二次函数，二次项系数- ＜0，图象开口向下．
5
综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数（0＜t≤5），再为开口向下的二次函数（5＜
t≤6）．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分
类讨论的思想是解答本题的关键．
8．（2025•南岗区校级二模）朵朵每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天她从家去上学时以每分
30米的速度行走了450米，为了不迟到她加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么朵
朵距家的路程S（米）与她行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
第23页（共50页）D．
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】D
【分析】根据速度、时间、路程三个量分析，小亮前450米速度为30米/分钟，后450米速度为45
米/分钟，速度增大，小亮的路程分段，“先慢后快，图象先平后陡”即可求解．
【解答】解：∵小亮行走过的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而增大，
∴选项A、B一定错误；
450
由条件可知所用时间应是 =15分钟，
30
∴选项C错误；
∵行走了450米，为了不迟到，他以每分45米的速度行走完剩下的路程450米，
450
∴时间为 =10分钟，
45
∴后面一段图象陡一些，
∴即选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与图象的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2025•镜湖区校级二模）如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝6cm，CD＝
12cm，三个动点P ，P ，P 同时分别沿A→B→C，B→C→D，C→D的方向以1cm/s的速度匀速运动，
1 2 3
运动过程中△P P P 的面积y（cm2）与运动时间x（s）（0≤x≤12）的函数图象大致是（ ）
1 2 3
第24页（共50页）A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】动点型；函数及其图象；三角形；空间观念；几何直观；运算能力．
【答案】B
第25页（共50页）【分析】当0≤x≤6时，利用S
△P1P2P3
＝S梯形P1BCP3 ﹣S
△P1BP2
﹣S
△P2CP3
求出函数关系式，当6＜x≤12时，
可直接求出三角形的面积，根据两个函数图象判断即可．
【解答】解：当0≤x≤6时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相等，
∴AP ＝BP ＝CP ＝x，
1 2 3
∵AB＝BC＝6，
∴BP ＝CP ＝6﹣x，
1 2
1 1 1
∴y＝S △P1P2P3 ＝S 梯形P1BCP3 ﹣S △P1BP2 ﹣S △P2CP3 = 2 （6﹣x+x）×6 - 2 （6﹣x）•x - 2 （6﹣x）•x＝x2﹣
6x+18，
当6＜x≤12时，如图，
此时AB+BP ＝BC+CP ＝CP ＝x，
1 2 3
∴BP ＝CP ＝x﹣6，
1 2
∴CP ＝12﹣x，P P ＝6，
1 2 3
1
∴y＝S = ×6（12﹣x）＝36﹣3x，
△P1P2P3 2
∴结合两个函数判断B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是
第26页（共50页）本题的解题关键．
ax
10．（2025•襄城县一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=
的图象，输入了一组a，b的
(x-b) 2
值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
ax
【解答】解：∵y=
，
(x-b) 2
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
1 5
11．（2025•徐汇区模拟）已知f（x）＝x2+ ，那么f（√2）＝ ．
x2 2
【考点】函数值；算术平方根．
菁优网版权所有
第27页（共50页）【专题】函数及其图象；运算能力．
5
【答案】 ．
2
【分析】将x=√2代入哈桉树解析式进行计算即可．
1
【解答】解：∵f（x）＝x2+
，
x2
1 1 5
∴f（√2）＝（√2）2+ = 2+ = ，
(√2) 2 2 2
5
故答案为： ．
2
【点评】此题考查了运用实数的计算求函数值的能力，关键是能代入并准确计算．
12．（2025•连云港校级一模）如图1，OA是 O的半径，点M是OA的中点，点N在 O上从点A开始
沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，⊙设运动过程中^AN的长为x，MN的长为y⊙，图2是y随x变
化的关系图象，则a的值为 √7 ．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】√7．
【分析】先由图象中N与A重合时MN的长度及M是OA中点确定圆半径；再根据弧长公式求出
4
x= π时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出
3
MN最大值即a的值．
【解答】解：当点N与点A重合时，MN的长y＝OM，由图象知此时y＝1，
∵OA＝2OM＝2，即圆O的半径r＝2，
4
当弧AN的长x= π时，设∠AON＝n°，
3
4
将l= π，r＝2代入可得：
3
第28页（共50页）nπ×2 4
= π
180 3
解得：n＝120，即此时∠AON＝120°，
过点N作NG⊥AO，交AO的延长线于点G，
∵∠AON＝120°，
∴∠NOG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ONG＝30°，
∵ON＝OA＝2，
1
OG= ON=1，
2
NG=√ON2-OG2=√22-12=√3，
1
∵OA＝2，OM= OA=1，则GM＝GO+OM＝2，
2
∴MN=√NG2+GM2，
已知NG=√3，GM＝2，则MN=√(√3) 2+22=√7，
由图象可知MN的最大值为a，
∴a=√7．
故答案为：√7．
【点评】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理，解题关键是利用图象信息确定半径，
通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值．
13．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家
经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与 n的对应关
系如下：
n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 …
A 40 60 / / / / /
B 30 55 75 90 100 105 /
第29页（共50页）C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到 1台设备，为使5台设
备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商B 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可
获得的总利润的最大值为 15 7 万元．
【考点】函数的表示方法．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】（1）B；
（2）157．
【分析】（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；
（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．
【解答】解：（1）当n＝2时，
A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元），
B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元），
C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元），
D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元），
∵25＞24＞20，
∴应向经销商B分配2台设备，
故答案为：B；
（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元，
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元），
当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元．
故答案为：157．
【点评】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．
14．（2025•凤城市二模）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，动点E以每秒1个单位长
度的速度从点A出发，沿着折线AB—BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE，设点E的运动时间为
x（单位：秒），DE2为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，
第30页（共50页）y的最大值为 5 4 ．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】54．
【分析】先根据函数图象经过点（0，9），（4，9），求得AD=√y=3，当动点E运动到达点C时，
求得CD=√y=3，当AE＝4时，求得DE=√y=3，再证明∠AEC＝90°，然后证明△ACE∽△ABC，利
用相似三角形的性质求得AB＝9，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵函数图象经过点（0，9），（4，9），
∴AD=√y=3，
当动点E运动到达点C时，CD=√y=3，
当AE＝4时，DE=√y=3，图象如图所示，
作DF⊥AE于点F，连结CE，
当点E与点B重合时，y的值最大，
∵DA＝DE＝DC＝3，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DAE+∠DCE+∠DEC+∠DEA＝180°，
∴∠AEC＝∠DEA+∠DEC＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝∠B，
第31页（共50页）∵∠ACB＝∠AEC＝90°，
∴△ACE∽△ABC（有两组对应角相等的两个三角形相似），
AC AE
∴ = （相似三角形的三条边对应成比例），
AB AC
∴AC2＝AE×AB，
AC2 62
∴AB= = =9，
AE 4
∵DA＝DE，AE＝4，
1
∴AF=EF= AE=2，
2
∴DF2＝AD2﹣AF2＝32﹣22＝5，BF＝AB﹣AF＝7，
∴BD=√DF2+BF2=√5+49=√54，
∴y的最大值为54，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等
知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析．
15．（2025•深圳模拟）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自
动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完
全相同，开始时甲容器液面高15cm．设甲容器中的液面高为y （单位：cm），乙容器中的液面高为y
1 2
（单位：cm），小明绘制了y ，y 关于虹吸时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示．当甲容器中
1 2
的液面比乙容器中的液面低3cm时，x的值为 0. 6 ．
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】0.6．
第32页（共50页）【分析】先求出y ，y 的解析式，再根据题意列式计算即可．
1 2
【解答】解：当x＝0时，y ＝a，
1
∵初始甲容器液面高15cm，
∴a＝15，
又∵x＝1时，y＝0，
设y ＝kx+b，
1
{k+b=0
∴ ，
b=15
{k=-15
∴ ，
b=15
∴y ＝﹣15x+15，
1
∵甲容器向乙容器倒液体时，y +y 始终为15，
1 2
∴y ＝15﹣y ＝15﹣（﹣15x+15）＝15x，
2 1
∴甲比乙低3cm时，即y ﹣y ＝﹣3，
1 2
∴（﹣15x+15）﹣15x＝﹣3，
解得：x＝0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象是解题的关键．
x
16．（2025•城西区校级三模）函数y= +(x-3) 0 中，自变量x的取值范围是 x ＞ 2 且 x ≠3 ．
√x-2
【考点】函数自变量的取值范围；零指数幂．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x＞2且x≠3．
【分析】根据分有意义的条件和二次根式有意义的条件可得：x＞2，根据0指数幂有意义的条件，可
得x≠3．
【解答】解：根据题意可知，x﹣2＞0且x﹣3≠0，
解得：x＞2且x≠3．
故答案为：x＞2且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
17．（2025•许昌模拟）如图1，在Rt△ABC中，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关
系如图2所示，则m的值为 4 ．
第33页（共50页）【考点】动点问题的函数图象；垂线段最短；勾股定理．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【答案】4．
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD＝3，从而求出AD＝CD＝3，CA＝2CD＝6，然后根
据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时，AP＝（3+2√5）﹣3＝2√5，根据勾股定
理即可求出PC，即可解答．
【解答】解：∵动点P从点D出发，线段CP的长度为y，运动时间为x秒，
根据图象可知，当x＝0时，y＝3，
∴CD＝3，
∵点D为AC边中点，
∴AD＝CD＝3，CA＝2CD＝6，
由图象可知，当运动时间x＝（3+2√5）s时，y最小，即CP最小，
∴根据垂线段最短，此时CP⊥AB，
如图所示，
此时点P运动的路程DA+AP＝1×（3+2√5）＝3+2√5，
∴AP＝（3+2√5）﹣3＝2√5，
∴在Rt△APC中，
PC=√AC2-AP2=√62-(2√5) 2=4，
即m＝4．
第34页（共50页）故答案为：4．
【点评】此题考查的是动点问题的函数图象，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是
解决此题的关键．
18．（2025•仁寿县一模）已知动点H以每秒xcm的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从
A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径匀速运动，相应△AHF的面积S（cm2）关于时间t（s）的变化关系如
图2，且AF＝8cm，
下列说法：①动点H的速度为2cm/s；②BC＝3cm；③b的值为13；④在运动过程中，当△HAF的
面积为30cm2时，点H的运动时间分别是3.75s和9.25s．其中正确的为 ①③④ ．
【考点】动点问题的函数图象；三角形的面积．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的
边长，最后经过计算判断各个说法即可．
【解答】解：当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
1
S = ×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小；
△HAF 2
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，
第35页（共50页）1
S = ×AF×EF，此时三角形面积不变；
△HAF 2
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，
1
∴S = ×AF×AB，此时三角形面积不变；
△HAF 2
当点H在AB上时，如图所示，
AH＝xt（cm），
1
S = ×AF×AH=4xt(cm2 )，
△HAF 2
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大；
当点H在EF时，如图所示，
1
S = ×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
△HAF 2
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S =4xt=4×5x=40(cm2 )，
△HAF
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
第36页（共50页）∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故③正确．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S =4xt=8t=30(cm2 )，
△AAF
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
1 1
S = ×AF×HP= ×8×HP=30(cm2 )，
△HAF 2 2
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴8+1.25＝9.25（s），
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查动点函数的图象，三角形的面积，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解
函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．
19．（2025•永寿县校级一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件
上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为 6，其凸出部分的长为1，若x
个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为 y ＝ 5 x +1 ．
【考点】函数关系式．
菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，找准y与x之间的关系即可．
【解答】解：由题意可知，x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度y＝（6﹣1）x+1＝5x+1，即y
第37页（共50页）关于x的关系式可以表示为：y＝5x+1．
故答案为：y＝5x+1．
【点评】本题考查了函数关系式，理解题意，得出正确的关系是解题的关键．
20．（2025•河南模拟）如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿
B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点
时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN
45 15
为线段），BC＝ 9 cm；当△BEF的面积为
cm2
时，运动时间t为 s．
2 4
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力；应用意识．
15
【答案】9， ．
4
【分析】由图1、图2可知，当t＝4.5时，点F与点C重合，当4.5＜t≤7.5时，点F在CD上运动，而
点 E 继续在 AB 上运动 3s，即得 CD＝AB＝2×7.5＝15cm，BC＝2×4.5＝9cm，进而由勾股定理得
BD=√CD2-BC2=12cm，再分0＜t≤4.5和4.5＜t≤7.5两种情况，分别画出图形，求出S与t的函数
45
关系式，再把S= 代入计算即可求解．
2
【解答】解：由图1、图2可知，当t＝4.5时，点F与点C重合，当4.5＜t≤7.5时，点F在CD上运动，
而点E继续在AB上运动3s，
∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是2cm/s，
∴CD＝AB＝2×7.5＝15cm，BC＝2×4.5＝9cm；
∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴BD=√CD2-BC2=12（cm），
第38页（共50页）当0＜t≤4.5时，如图3，作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝∠CBD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GBF＝∠C，
∴△BGF∽△CBD，
GF BF
∴ = ，
BD CD
GF 2t
∴ = ，
12 15
8t
∴GF= ，
5
1 8t 8
∴S= × ×(15-2t)=- t2+12t，
2 5 5
45 8 45
当S= 时，则- t2+12t= ，
2 5 2
15
解得t =t = ；
1 2 4
当4.5＜t≤7.5时，如图4，作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
1 1
∵S = CD•CH= BC•BD，
△CBD 2 2
BC⋅BD 9×12 36
∴CH= = = ，
CD 15 5
1 36 36
∴S= × ×(15-2t)=- t+54，
2 5 5
45 36 45
当S= 时，则- t+54= ，
2 5 2
第39页（共50页）35
解得t= ＜4.5，不合题意，舍去；
8
15
综上，t= ；
4
15
故答案为：9， ．
4
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，看
懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿
园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，
如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重
行驶状态下可行驶的路程S （单位：km）和S （单位：km）的部分数据：
1 2
P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
S 0 3 7 15 23 31 39
1
S 0 2 4 9 15 22 30
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S 与P，S 与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
1 2
补全这两个函数的图象；
（2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶 7. 1 km（结果精确到
0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为 30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车 不能
（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为 44%
（精确到1%）．
第40页（共50页）【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【答案】（1）图象见解析；（2）①7.1；②不能；③44%．
【分析】（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出 S 与P、S 与P对应的坐标点，
1 2
然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于S 与P，有（0%，0），（10%，3）等点；
1
对于S 与P，有（0%，0），（10%，2）等点；
2
（2）①先根据函数图象或数据找到 P＝50% 时，S 和S 的值，然后计算两者差值；
1 2
②找到 P＝30% 时S 的值，与小明家到幼儿园的路程8km比较大小；
2
③小明家到幼儿园路程为8km，幼儿园到单位路程为3km，分别估算对应的P值，相加即可得解．
【解答】解：（1）如图，
（2）①从表格数据或图象估算，当 P＝50%时，S ≈19.1，S ≈12，
1 2
∴S ﹣S ≈19.1﹣12＝7.1km，
1 2
故答案为：7.1；
②从表格数据或图象估算，当P＝30%时，S 的值约为6.5km，
2
∵6.5＜8，
第41页（共50页）∴不能将小明送到幼儿园，
故答案为：不能；
③观察S 的数据，当P＝34%时，S ＝8，
2 2
观察S 的数据，当P＝10%时，S ＝3，
1 1
∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为10%+34%＝44%，
故答案为：44%．
【点评】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题
关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题．
22．（2025•朝阳区一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪
器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：
m），部分数据如下：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个
函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 9 0 m，转盘的半径约为 4 0 m；
②此摩天轮转一圈所用时间为 1 2 min；
③若当座舱A距离地面的高度为10m时，座舱B距离地面的高度是50m，则至少经过 1.5 或 4.5
min（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
第42页（共50页）【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】（1）作图见解析；（2）①90，40；②12；③1.5或4.5．
【分析】（1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可；
（2）①根据函数图象发现当x＝8时有最高点，当x＝2时有最低点，最高和最底差距即为直径，据此
求解即可；
②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点
到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间；
③这两个座舱的高度相同时应该刚好在最高点或最低点两边，据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据作图如下．
（2）①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为90m，最低高度为
10m，
∴转盘的直径约为90﹣10＝80（m）转盘的半径约为40m．
故答案为：90，40；
②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为 8﹣2＝6
（min），从最高点到最低点用时也为6min，
∴此摩天轮转一圈所用时间为6+6＝12（min）．
故答案为：12；
第43页（共50页）③根据函数图象可得，当x＝2时，距离地面的高度为10m，当 x＝5时，距离地面的高度是 50m，
则两个座舱距离3分钟的路程，这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为8﹣2＝6（min）．
若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，
3
∴至少经过6- =4.5(min)，这两个座舱的高度相同．
2
若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，
3
∴至少经过 =1.5(min)，这两个座舱的高度相同．
2
故答案为：1.5或4.5．
【点评】本题主要考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
23．（2025•东昌府区二模）数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论：
信息一：他们分别指出了函数y 的一个性质：
1
甲：函数的图象不经过原点；
乙：函数的图象经过一、三象限；
丙：在每个象限内，y随x的增大而减小；
丁：函数图象经过点（2，3）．
信息二：已知函数y 的图象是一条直线，部分取值如下表所示
2
x ﹣1 0 1 2
y ﹣1 1 3 5
（1）根据题中的信息，写出两个函数的表达式；
（2）求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标；
（3）点O为坐标原点，求出△OAB的面积．
【考点】函数的图象；函数关系式．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
6
【答案】（1）y = ，y ＝2x+1；
1 x 2
3
（2）A（﹣2，﹣3），B( ，4)；
2
7
（3） ．
4
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）联立一次函数与反比例函数关系式求解即可；
（3）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
第44页（共50页）k
【解答】解：（1）由题意知可设为y = (k≠0)，
1 x
将（2，3）代入得k＝6，
6
∴y = ；
1 x
由题意可设为y ＝mx+n（m≠0），
2
{ 1=n
将（0，1），（1，3）代入有 ，
3=m+n
{m=2
∴ ，
n=1
∴y ＝2x+1；
2
{ 6
y=
（2） x ，
y=2x+1
3
解得x ＝﹣2，x = ，
1 2 2
当x＝﹣2时，y＝﹣3．
3
当x= 时，y＝4，
2
3
∴交点A（﹣2，﹣3），B( ，4)；
2
（3）如图
1
当y＝0时，x=- ，
2
第45页（共50页）1
∴C(- ，0)，
2
1 1 7
∴S = × ×(3+4)= ．
△AOB 2 2 4
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积公式，
掌握待定系数法是解答本题的关键．
24．（2025•滑县二模）如图，A，B，D都在格点（网格线的交点）上，CD是Rt△OAB的中位线，反比
k
例函数y= (x＞0)的图象经过点C（4，2）．
x
（1）求反比例函数的解析式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象．
（3）将点A向左平移，当平移距离等于 6 时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上．
【考点】动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
8
【答案】（1）y= ；
x
（2）1；
（3）6，
【分析】（1）将点C代入反比例函数解析式求出k，即可得解；
（2）根据8的约数可分别取x＝1，2，8，列表求出函数值，从而描点连线即可；
（3）求出点A的坐标，找出反比例函数图象上与点A的纵坐标相等的点，根据两点间的距离回答即可．
k
【解答】解：（1）由条件可得：2= ，
4
∴k＝8，
8
∴反比例函数的解析式为y= (x＞0)；
x
第46页（共50页）（2）列表格如下：
x 1 2 8
y 8 4 1
描点连线得：
（3）由条件可知点C是OA的中点，A（8，4），
k
又∵反比例函数y= (x＞0)的图象经过点（2，4），
x
∴点A向左平移6个单位长度，则可使得点A恰好落在这个反比例函数的图象上，
故答案为：6．
【点评】本题考查求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移等知识，运用数形结合思想是解题
的关键．
25．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终
点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒2√2个单位长度．过点P作
PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF
和△ABC重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在BC上时，t＝ 2 ．
（2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值
范围．
第47页（共50页）【考点】函数关系式．
菁优网版权所有
【专题】推理能力．
【答案】（1）2；
{ 2t2 (0＜t≤2)
（2）S= 3 ．
(6-t) 2 (3＜t＜6)
2
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝AC＝6，BC=6√2，∠B＝∠C＝45°，当点F
1
在BC上时，由题意得PD＝2t，PF= PD=t，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，由矩形PDEF，得到∠BFP
2
＝∠B＝45°，则PB＝PF，据此列方程求解即可；
（2）当P在AB上，F到BC之前时；当P在AB上，F到BC之后时；当P在BC上时，三种情况分类
讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形 PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形
时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，
∴AB＝AC＝6，BC=6√2，∠B＝∠C＝45°
1
当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，PF= PD=t，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，
2
∵矩形PDEF，
∴PF∥AC，
∴∠BFP＝∠B＝45°，
∴PB＝PF，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
故答案为：2；
（2）当P在AB上，F到BC之前时，0＜t≤2，如图，
第48页（共50页）此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为矩形PDEF，
1
S＝S矩形PDEF ＝PD•PF＝2t•
2
•2t＝2t2；
当P在AB上，F到BC之后时，2＜t≤3，如图，
此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为五边形，不合题意；
当P在BC上时，如图，设EF与BC交点G，
此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为梯形PDEG，
此时由题意可得：PB=2√2(t-3)=2√2t-6√2，PC=BC-PB=12√2-2√2t，
∵0＜PB＜6√2，
∴0＜2√2t-6√2＜6√2，
解得3＜t＜6，
∵矩形PDEF，
∴∠FPG＝∠C＝∠PGF＝∠EGC＝∠DPC＝45°，
第49页（共50页）∴PF＝FG，EG＝EC，PD＝DC，
∴PC=√2PD=12√2-2√2t，
∴PD＝EF＝12﹣2t，
∵PD＝2PF，
∴EG＝EF﹣FG＝6﹣t，
∴ 矩 形 PDEF 和 △ ABC 重 叠 部 分 的 图 形 面 积
1 1 3
S=S = (EG+PD)⋅DE= (6-t+12-2t)⋅(6-t)= (6-t) 2 ；
梯形PDEG 2 2 2
{ 2t2 (0＜t≤2)
综上所述，S= 3 ．
(6-t) 2 (3＜t＜6)
2
【点评】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．
第50页（共50页）
