文档内容
2025-2026 学年九年级上学期期中模拟卷
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~24章（一元二次方程+二次函数+旋转+圆）。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的logo图案，其中是中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A，B，C不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
2．一元二次方程7x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×7×（﹣1）＝37＞0，∴有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．已知，❑√(a-2) 2+|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：∵❑√(a-2) 2+|b+1|=0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
则点P（2，﹣1），
则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
4．关于二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．必过点（1，2）
C．与x轴一定有交点
D．图象一定经过第一、二、四象限
【答案】C
【解答】解：A、二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a中，二次项系数为1＞0，开口向上，故A错误；
B、将x＝1代入函数，y＝1﹣（a+1）+a＝0，不过点（1，2），故B错误；
C、判别式Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a＝（a﹣1）2≥0，与x轴一定有交点，故C正确；
D、开口向上，对称轴和图象与y轴交点随a变化，不一定经过第一、二、四象限，故D错误；
故选：C．
5．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车
位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方
程为（ ）A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
【答案】B
【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽
为（22﹣x）m的矩形，
根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520．
故选：B．
6．如图，△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜50°），得到△ADE，DE交AC于
F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠DFC等于（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】A
【解答】解：由旋转性质可得：∠BAC＝∠DAE＝50°，AB＝AD，
∵α＝40°，
∴∠DAF＝10°，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°，
∴∠AFE＝∠DAF+∠ADE＝80°，
∴∠DFC＝80°，
故选：A．
7．若x 与x 是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个实数根，且x2+x2=8，则m的值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：∵x ，x 一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x •x ＝2m，
1 2 1 2
∵据
x 2+x 2=
8，即（x
1
+x
2
）2﹣2x
1
x
2
＝8，
1 2
∴（﹣2）2﹣2×2m＝8，
∴m＝﹣1．故选：B．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上．若∠BEC＝15°，则∠ADC的度数
为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】D
【解答】解：连接AC，如图所示，
∵∠BEC＝15°，
∴∠CAB＝∠BEC＝15°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣15°＝75°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣75°＝105°．
故选：D．
9．点P （1，y ）、P （3，y ）、P （5，y ）均在二次函数y＝﹣2x2+4x+c的图象上，则y 、y 、y 的大
1 1 2 2 3 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＞y ＞y D．y ＝y ＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
【答案】C
4
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x=- =1，抛物线开口向下，
2×(-2)∴点P （1，y ）为顶点，其纵坐标y 为最大值；点P （3，y ）、P （5，y ）在对称轴右侧，
1 1 1 2 2 3 3
∴x＞1时，y随x增大而减小，
∵3＜5，
∴y ＞y ，
2 3
∴y ＞y ＞y ，
1 2 3
故选：C．
10．函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
n
【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（- ，0），函数y＝mx+n与x轴的交
m
n
点坐标为（- ，0），
m
∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意；
若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0，
∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上，
n
∵对称轴x=- ＞0，
2m
∴在y轴的右侧，故选项B符合题意；
故选：B．
11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上
任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交^AB于点C，测出AB＝80cm，CD
＝20cm，则圆形工件的半径为（ ）A．20❑√3cm B．45cm C．50cm D．20❑√5cm
【答案】C
【解答】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点O，连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴圆心O在直线CD上，
又∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝80cm，
1
∴AD= AB=40cm，OC⊥AB，
2
设圆形工件的半径为r cm，则OA＝OC＝r cm，
∵CD＝20cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣20）cm，
在Rt AOD中，AD2+OD2＝OA2，即402+（r﹣20）2＝r2，
∴160△0+r2﹣40r+400＝r2，
40r＝2000，
解得r＝50，
∴圆形工件的半径为50cm，
故选：C．
12．如图，将抛物线 平移到抛物线 ，点P（m，n ），Q（m，
C ：y=-(x+1) 2+2 C ：y=-(x-2) 2-1 1
1 2
n ）分别在抛物线C ，C 上．下列结论：①无论m取何值，都有n ＜0；②若点P平移后的对应点为
2 1 2 2
P′，则PP'=3❑√2；③当﹣3＜m＜1 时，线段 PQ 的长随着 m 的增大而减小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【解答】解：由解析式可知抛物线开口向下，顶点为（2，﹣1），
∴无论m取何值，都有n ＜0，故①对，符合题意；
2
∵将抛物线 的顶点为（﹣1，2），抛物线 开口向下，顶点
C ：y=-(x+1) 2+2 C ：y=-(x-2) 2-1
1 2
为（2，﹣1），
∴ 将 抛 物 线 向 右 平 移 3 个 单 位 ， 向 下 平 移 3 个 单 位 得 到 抛 物 线
C ：y=-(x+1) 2+2
1
，
C ：y=-(x-2) 2-1
2
∴点P平移后的对应点为P′的最短路程为 ，故②对，符合题意；
❑√32+32=3❑√2
∵PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2﹣1|＝|﹣6m+6|，当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6，PQ随着m的增大
而减小，
∴当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ变短，故③对，符合题意；
故选：A．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵关于x一元二次方程常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得m ＝1，m ＝2；
1 2
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，∴m ＝1．
1
故答案为：1．
14．若方程2x2﹣4x﹣10＝0能配成（x+p）2＝q的形式，则直线y＝px+q不经过第 一 象限．
【答案】一．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣10＝0，
∴2x2﹣4x﹣10＝0，
∴x2﹣2x﹣5＝0，
∴（x﹣1）2﹣6＝0，
又∵方程2x2﹣4x﹣10＝0能配成（x+p）2+q＝0的形式，
∴p＝﹣1，q＝﹣6，
∴直线y＝px+q可以写成直线y＝﹣x﹣6，
∵直线y＝﹣x﹣6经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
∴直线y＝px+q不经过第一象限，
故答案为：一．
21
15．若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是 ．
4
21
【答案】 ．
4
【解答】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1，
5 2 21
∴2x+ y=2x-x2+3x-1=-x2+5x-1=-(x- ) + ；
2 4
5 21
∴当x= 时，2x+y有最大值为 ；
2 4
21
故答案为： ．
4
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半
径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为 2 π-❑√3 ．
【答案】2π-❑√3．【解答】解：如图，连接OD，在CD上取点D′，使DD′＝OD，连接OD′，
在菱形ABCD中，AD＝CD，点O是对角线AC的中点，∠B＝120°，
∴∠ADC＝∠B＝120°，OD⊥AC，
1
∴∠MDO=∠CDO= ∠ADC=60°，
2
∴△OD′D是等边三角形，
∴∠DD′O＝∠DOD′＝60°，OD＝OD′，
∴∠DD′O＝∠MDO＝60°，
∵∠EOF＝60°
∴∠MOD+∠DON＝∠NOD′+∠DON＝60°，
∴∠MOD＝∠NOD′，
∴△MDO≌△ND′O（ASA），
∴S ＝S ，
MDO ND′O
∴S △ +S △ ＝S +S ，
MDO NDO ND′O NDO
∴S △
四边形MD
△
NO
＝S
D
△
D′O
． △
∵∠CDO＝60°，△∠COD＝90°
∴∠DCO＝30°
1
∴OD= CD＝2，AO＝OC=❑√42-22=2❑√3，
2
60π×(2❑√3) 2 ❑√3
∴S =S -S =S -S = - ×22=2π-❑√3．
阴影 扇形EOF 四边形MDNO 扇形EOF △DOD' 360 4
故答案为：2π-❑√3．
17．已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不
变，得到一个新图象如图2．当直线y＝m与新图象有四个交点时，m的取值范围是 0 ＜ m ＜ 4 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
令y＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
根据翻折变换，（1，﹣4）关于x轴的对称点为（1，4），
∴曲线ACB所对应的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3），
当直线y＝m与图象②恰有四个公共点时，如图所示：
①当直线y＝m与x轴重合，即m＝0时与图象②有两个公共点，
所以当m＞0时与图象②有四个公共点；
②当m＝4时，直线y＝m与y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）有三个公共点，
所以当0＜m＜4时，直线y＝m与新图象有四个交点．
故答案为：0＜m＜4．
18．如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，AB＝6，点M是BC上一点，且DM平分∠ADC，连接AM，将
▱AM绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在CD上．若点N恰好是CD的三等分点（靠近点C），则
AD＝ 1 4 ．
【答案】14
【解答】解：过点N作NE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥BM于点F，如图所示：
∴∠E＝∠AFB＝∠AFM＝90°，
∵ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AB＝6，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝6，∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠NCE＝∠B＝60°，
∵点N恰好是CD的三等分点（靠近点C），
∴CN＝2，
在Rt CNE中，∠CNE＝90°﹣∠NCE＝30°，
△1
∴CE= CN＝1，
2
由勾股定理得：NE ，
=❑√CN2-CE2=❑√22-12=❑√3
∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠CMD，
∵DM平分∠ADC，
∴∠ADM＝∠CDM，
∴∠CMD＝∠CDM，
∴CM＝CD＝6，
∴ME＝CM+CE＝6+1＝7，
在Rt MNE中，由勾股定理得：MN ，
=❑√M E2+N E2=❑√72+(❑√3) 2=2❑√13
△
由旋转的性质得：AM＝MN=2❑√13，
在Rt ABF中，∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
△∴BF＝1/2AB＝3，
由勾股定理得：AF ，
=❑√AB2-BF2=❑√62-32=3❑√3
在Rt AFM中，由勾股定理得：FM 5，
=❑√AM2-AF2=❑√(2❑√13) 2-(3❑√3) 2=
△
∴BC＝BF+FM+MC＝3+5+6＝14，
∴AD＝BC＝14．
故答案为：14．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．
【答案】（1）x ＝﹣3，x ＝﹣1；
1 2
1
（2）x = ，x ＝2．
1 2
2
【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1； ·····（3分）
1 2
（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，
x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0，
1
∴x = ，x ＝2． ·····（6分）
1 2
2
20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求b，c的值．
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）b＝﹣2，c＝3；
（2）（﹣1，4）．
【解答】解：（1）把点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
{-1+b+c=0
得 ，
-9-3b+c=0{b=-2
解得 ； ·····（4分）
c=3
（2）由（1）知，b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ·····（6分）
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）． ·····（8分）
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，将线段AF绕点A顺
时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，EQ．
（1）求证：△AQB≌△AFD；
（2）若BE＝4，DF＝6，求QE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2❑√13．
【解答】（1）证明：∵将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AF，∠QAF＝90°， ·····（1分）
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠QAF＝∠BAD， ·····（2分）
∴∠QAB＝∠FAD＝90°﹣∠BAF， ·····（3分）
∴△AQB≌△AFD（SAS）； ·····（4分）
（2）解：由（1）得△AQB≌△AFD，
∴BQ＝DF＝6，∠ABQ＝∠ADF， ·····（5分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ·····（6分）
∴∠ABQ＝45°，
∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°， ·····（7分）
∴在Rt QBE中， ． ·····（8分）
QE=❑√BQ2+BE2=2❑√13
△22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BC＝4时，求劣弧AC的长．
【答案】（1）见解答；
8
（2） π．
3
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°， ·····（1分）
又∵∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°， ·····（2分）
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°， ·····（3分）
即：BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线； ·····（4分）
（2）解：如图，连接OC，
∵∠B＝∠D＝60°，且OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4， ·····（5分）
∵∠D＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°， ·····（6分）
nπr 120π×4 8
∴劣弧AC的长为 = = π． ·····（8分）
180° 180 3
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，写出B 点坐标．
2 2 2 2
（3）在x轴上找一点P，使PB+PC的和最小，求出P点坐标．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程；B （2，﹣1）；
2
13
（3）P( ，0)．
5
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
·····（3分）
（2）如图，△A B C 即为所求，B （2，﹣1）； ·····（5分）
2 2 2 2
（3）作点B关于x轴的对称点B ，再连接B C与x轴的交点即为所求点P， ·····（6分）
3 3
由题意可得B （1，﹣2），C（5，3），
3
设直线B C解析式为y＝kx+b，代入得：
3{-2=k+b
，
3=5k+b
5
{ k=
解得 4 ，
13
b=-
4
5 13
∴直线B C解析式为y= x- ， ·····（8分）
3
4 4
5 13 13
令y= x- =0得x= ，
4 4 5
13
∴P( ，0)． ·····（10分）
5
24．（10分）如图①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球
机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽
毛球落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA
＝1.25m，OB＝5m，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为y＝﹣0.25x2+bx+c．
（1）求羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度；
（2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口A的高度来改变羽毛球的落地点，此过程
中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，则发
球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？
【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度为2.25m；
（2）发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m．
【解答】解：（1）由题意可知，A（0，1.25），B（5，0）， ·····（1分）
∵y＝﹣0.25x2+bx+c，
∴{ c=1.25 ，
-0.25×52+5b+c=0{c=1.25
解得 ， ·····（3分）
b=1
∴y＝﹣0.25x2+x+1.25＝﹣0.25（x﹣2）2+2.25， ·····（4分）
∴羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度为2.25m； ·····（5分）
（2）设调整后抛物线的表达式为y＝﹣0.25（x﹣2）2+k， ·····（6分）
∵发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，
∴x＝5+0.6＝5.6时，y＝0，
∴0＝﹣0.25×（5.6﹣2）2+k，
解得k＝3.24， ·····（8分）
∴y＝﹣0.25（x﹣2）2+3.24．
当x＝0时，y＝﹣0.25×（0﹣2）2+3.24＝2.24， ·····（10分）
∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了
某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12
月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若
在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾
客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得50（1+x）2＝72， ·····（2分）
解得x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ·····（4分）
1 2
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； ·····（5分）
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000， ·····（7分）
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y ＝50，y ＝70，
1 2
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以y＝70不合题意，舍去．
所以y＝50． ·····（9分）
答：该品牌头盔每个售价应定为50元． ·····（10分）1
26．（12分）如图，抛物线y=- x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x
2
轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=- x2+mx+n
2
{ 1 { 3
得 - -m+n=0，解得 m= ， ·····（2分）
2 2
n=2 n=2
1 3
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+2； ·····（3分）
2 2
（2）存在．
3
2 3
抛物线的对称轴为直线x=- = ，
1 2
2×(- )
2
3
则D（ ，0），
2
√ 3 5
∴CD=❑√OD2+OC2=❑( ) 2+22= ， ·····（4分）
2 2如图1，
3
当CP＝CD时，则P （ ，4）； ·····（5分）
1
2
3 5 3 5
当DP＝DC时，则P （ ， ），P （ ，- ）， ·····（7分）
2 3
2 2 2 2
3 3 5 3 5
综上所述，满足条件的P点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，- ）；
2 2 2 2 2
1 3
（3）当y＝0时，- x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，则B（4，0），
1 2
2 2
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ 1
把B（4，0），C（0，2）代入得{4k+b=0，解得 k=- ，
2
b=2
b=2
1
∴直线BC的解析式为y=- x+2， ·····（8分）
2
如图21 1 3
设E（x，- x+2）（0≤x≤4），则F（x，- x2+ x+2），
2 2 2
1 3 1 1
∴FE=- x2+ x+2﹣（- x+2）=- x2+2x， ·····（9分）
2 2 2 2
1 1
∵S ＝S +S = ×4×EF＝2（- x2+2x）＝﹣x2+4x， ·····（10分）
BCF BEF CEF
2 2
△ △ △
1 3 5
而S = ×2×（4- ）= ，
BCD
2 2 2
△
∴S四边形CDBF ＝S
BCF
+S
BCD
5 △ △
＝﹣x2+4x+ （0≤x≤4），
2
13
＝﹣（x﹣2）2+ ·····（11分）
2
13
当x＝2时，S四边形CDBF 有最大值，最大值为 ，此时E点坐标为（2，1）． ·····（12分）
2
