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人教版九年级上册数学
期末测试题（1）
考试时间:120分钟 满分120分
班级：________________ 姓名：________________ 考号： A. B.
________________
卷Ⅰ（选择题）
一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分 ）
1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
C. D.
A. B.
【答案】D
【解析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解
题关键．
根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答．
C. D.
【解答】解：y=ax2−a中，当x=0时，y=−a；
【答案】B y=ax−a(a≠0)中，当x=0时，y=−a；
∴两个函数同时经过点(0,−a)，即与y轴的交点为同一个点，
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念选择即可．
∴由选项得只有D选项符合题意
【解答】A．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：D．
B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
3.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意． 蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
故选B．
2.函数y=ax2−a与y=ax−a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
1 3 1 1
A. B. C. D.
3 1
4 4 3 2 ∴可配成紫色的概率是： =
6 2
【答案】D
故选D．
【解析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由
4.已知x=−2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
A.−3 B.3 C.0 D.0或3
【解答】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
【答案】B
【解析】将x=−2代入方程可得一个关于m的一元一次方程，解方程即可得．
【解答】解：由题意，将 代入方程 得： ，
x=−2 x2+mx+2=0 (−2) 2−2m+2=0
解得m=3，
故选：B．
5.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=20∘，则∠C的度数为（ ）
画树状图得：
A.45∘ B.60∘ C.70∘ D.90∘
【答案】C
【解析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆周角定理，连接AO，由等边对等角得出∠BAO=∠ABO=20∘，由三角形内角和定理得出 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题点关键．
设修建的路宽应为x米，列方程得到(15−x)(10−x)=126，即可得到答案．
1
∠AOB=180∘−∠ABO−∠BAO=140∘，由圆周角定理即可得出∠C= ∠AOB=70∘
2
【解答】解：设修建的路宽应为x米，
【解答】解：连接AO， 根据题意列方程得(15−x)(10−x)=126，
∵OA=OB， 故选：B．
∴∠BAO=∠ABO=20∘，
7.随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：
∴∠AOB=180∘−∠ABO−∠BAO=140∘，
⌢ ⌢ ， 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
∵AB=AB
“正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
1
∴∠C= ∠AOB=70∘，
“正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521 0.520
2
n
故选：C． m
下面有3个推断：
① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520；
③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．
6.如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要 其中所有合理推断的序号是 （ ）
使绿化面积为126m2，则修建的路宽应列方程为（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.③
【答案】B
【解析】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及
频率和概率的概念判断．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的
幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511，
A.(15−x)(10+x)=126 B.(15−x)(10−x)=126
不合理；
C.(15+x)(10+x)=126 D.(15−2x)(10+x)=126
② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
【答案】B
面向上”的概率是0.520，判断合理；③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次，判断合理，
故选：B．
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2❑√6，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60∘，将菱
形OABC绕原点O逆时针方向旋转60∘，得到四边形OA′B′C′ (点A′与点C重合)，则点B′的坐标是(
)
∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60∘，
∴∠COB=∠AOB=30∘，∠CBA=60∘
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60∘，
1
∴∠C′OC=60∘，则∠OB′C= ∠C′B′C=30∘，AB=CB′
2
∴∠B′OD=60∘
∴∠B′DO=90∘，
在Rt△CDO中，OC=B′C=2❑√6
1
∴CD= OC=❑√6，OD=❑√3CD=❑√3×❑√6=3❑√2
2
∴DB′=3❑√6，
，
∴B′(3❑√2,3❑√6)
A. B. C. D.
(3❑√6,3❑√2) (3❑√2,3❑√6) (3❑√2,6❑√2) (6❑√2,3❑√6)
故选：B．
【答案】B
9.已知，如图， AB 为 ⊙O 的直径， △ABC 内接于 ⊙O ， BC>AC ，
A
⌢
D=B
⌢
D
， BD=PD ，延长 CP 交
【解析】延长B′C′交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B′DO=90∘，进而求得OD,DB′的
⊙O于点D，连接BP．⊙O的直径是5❑√2，CD=7，则BC的长等于（ ）
长，即可求解．
【解答】解：如图所示，延长B′C′交x轴于点D，∴△ABD是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴BD= AB= ×5❑√2=5，
2 2
∵∠BCD=45∘，BH⊥CD，
∴∠BCH=∠CBH=45∘，
∴BH=CH，
∴BC=❑√2BH，
∵BD2=DH2+BH2，
，
∴25=(7−BH) 2+BH2
A.3 B.3❑√2 C.4 D.4❑√2
∴BH=4或BH=3，
【答案】D
∴BC=4❑√2或3❑√2（此时BC0；③−5a+c=−4；④若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1；⑤a< ．其中
5
【解答】解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示：
结论正确的个数为（ ）
∵AB为直径，
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
∴∠ACB=90∘，AB=5❑√2，
【答案】B
⌢ ⌢ ，
∵AD=BD
【解析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题
∴∠ACD=∠BCP=45∘， 的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得
∴∠ABD=∠ACD=45∘， 最值，即可判断②，把(−1,−4)代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确，由(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，进而得若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④
卷Ⅱ（选择题）
错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(−3,−6)，b=6a，得c=9a−6，再由−5a+c=−4，得
二、填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
1 4
a= < ，故⑤正确．
2 5
11.在平面直角坐标系中，将点P(−3,2)向右平移3个单位长度到P 处，则点P 关于原点对称的点的坐标是
1 1
【解答】解：∵抛物线开口向上，
____(0,−2)_______．
∴a>0，
【答案】(0,−2)
b
∵对称轴为直线x=−3=− <0，
【解析】本题主要考查点的平移及对称问题，掌握平移及对称点的变化规律是解题的关键；
2a
点P向右平移3个单位后得到点P ，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点P 关于原点对称的点
∴b>0，b=6a， 1 1
的坐标．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0， 【解答】点P(−3,2)向右平移3个单位长度，横坐标增加3，纵坐标不变，
∴abc<0，故①正确； 因此点P
1
的坐标为(−3+3,2)=(0,2)，
∵抛物线的顶点坐标为(−3,−6)，即x=−3时，函数有最小值， 点P (0,2)关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均取相反数，即(0,−2)．
1
∴ ax2+bx+c≥−6， 故答案为：(0,−2)．
∴对于任意的m，均有am2+bm+c+6≥0，故②错误； 12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，
2n 4❑√6 ❑√6
方程为“倍根方程”，若(❑√3−x)(nx−❑√2m)=0是倍根方程，则 的值为______ 或
∴a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确；
m 3 3
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，
____________．
∴若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；
4❑√6 ❑√6
【答案】 或
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(−3,−6)，b=6a， 3 3
4ac−b2 4ac−36a2
【解析】先求出(❑√3−x)(nx−❑√2m)=0的两个根，再根据“倍根方程”的定义求值即可．
∴ = =c−9a=−6，
4a 4a
❑√2m
【解答】解方程(❑√3−x)(nx−❑√2m)=0得x =❑√3,x =
∴c=9a−6， 1 2 n
∵−5a+c=−4， ∵(❑√3−x)(nx−❑√2m)=0是倍根方程，
∴−5a+9a−6=−4，
❑√2m ❑√2m
∴❑√3=2× 或2❑√3=
n n
1 4
解得a= < ，故⑤正确．
2 5
❑√2m 2n 4❑√2 4❑√6
当❑√3=2× 时， = = ，
∴正确的个数为3. n m ❑√3 3
故选：B．
❑√2m 2n ❑√2 ❑√6
当2❑√3= 时， = = ，
n m ❑√3 34❑√6 ❑√6 14.如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，当 时，自变量 的
故答案为： 或 ． y =ax2+bx+c y =kx+m A(0,−3) C(3,0) y >y x
3 3 1 2 1 2
13.“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形ABCD中，
取值范围为_____x<0或x>3_______．
20
AB=❑√29，AE:EF=2:3，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为_____
29
_______．
【答案】x<0或x>3
【解析】本题考查二次函数与不等式（组），结合图象可得出答案．
【解答】解：由图象可得，当y >y 时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量x的取值
1 2
20
【答案】
范围为x<0或x>3．
29
故答案为：x<0或x>3．
【解析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设AE=2x，则EF=3x，根据BF2+AF2=AB2，求出
15.如图，矩形ABCD的外接圆为⊙O，E是弧AD上一点，BE交AC于点F，且∠AFB=2∠BAC．若
EF，得到正方形EFGH的面积，利用概率公式代入计算即可．
AF=1，AB=❑√30，则⊙O的直径为_______10_________．
【解答】解：设AE=2x，则EF=3x，
∴BF=AE=2x，AF=AE+EF=5x，
∵BF2+AF2=AB2，
∴4x2+25x2=29，
解得：x=1或−1(舍去)，
∴EF=3，
S =9，
EFGH
∵S =29，
ABCD
S =29−9=20，
阴影
【答案】10
20
这个点落在阴影部分的概率为 ， 【解析】连接BO，过点B作BG⊥AC于点G，根据圆周角定理得出∠BOC=∠AFB，证明△BOF为等
29
r−1
20 腰三角形，判定出△ABG∽△BCG，得到BG2=AG⋅CG，假设圆的半径为r，则FG=GO= ，
故答案为： . 2
29表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解即可．
即( r−1) 2 ( r−1) ( r−1) ，
1+ + 1+ × r+ =30
2 2 2
【解答】解：如图，连接BO，过点B作BG⊥AC于点G，
整理得r2+r−30=0，
解得r=5（负值已舍），
∴⊙O的直径为2r=10，
故答案为：10
16.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC=2AD=2AE=4，点O在边BC上
满足OC=3OB，将△ADE绕着点A顺时针旋转，连接CE，记CE的中点为P，则OP的最大值是________
❑√10+1________．
∵∠AFB=2∠BAC，∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠AFB，
∴∠BFO=∠BOF，
∴△BOF为等腰三角形，
∴GF=GO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ABG=∠BCG=90∘−∠GBC，
又∵∠AGB=∠BGC=90∘，
∴△ABG∽△BCG，
【答案】❑√10+1
BG CG
∴ = ， 【解析】取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，利用三角形中位线定理可求PQ=1，
AG BG
根据OQ+PQ≥OP判出断当O 、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ，利
∴BG2=AG⋅CG，
用等腰三角形的判定和勾股定理可求QH=CH=❑√2，在Rt△OQH中利用勾股定理可求OQ=❑√10，即可
r−1
假设圆的半径为r，则FG=GO= ， 求解．
2
【解答】解：取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，
r−1 r−1
∴AG=1+ ,CG=r+ ，
2 2
∴BG2= ( 1+ r−1) × ( r+ r−1)，
2 2
由勾股定理得AG2+BG2=AB2，卷Ⅰ（选择题）
三、解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）
17.解下列方程：
（1）2x2−4x−1=0（用配方法解）
（2） （用因式法解）
∵点P是CE的中点，AE=2， (2−3x)+(3x−2) 2=0
∴PQ=
1
AE=1，
（3）x2−18=7x（用公式法解）
2
❑√6 ❑√6
∵OQ+PQ≥OP， 【答案】x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2
∴当O 、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ
2
∵∠BAC=90∘，AB=AC=4， x
1
=1，x
2
=
3
；
1 x =9，x =−2．
∴∠ACB=45∘，CQ= AC=2，BC=❑√AB2+AC2=4❑√2， 1 2
2
【解析】（1）本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式
又QH⊥BC，
法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
∴∠HQC=45∘=∠QCH，
∴QH=CH，
(1)利用配方法得到(x−1) 2=
3
，再计算即可求解；
2
由勾股定理得 ，即 ，
CQ2=QH2+CH2 22=2CH❑2 (2)提取公因式(3x−2)，利用因式分解法求解即可；
(3)求得根的判别式，再利用公式法求解即可．
∴CH=QH=❑√2，
【解答】（1）解：2x2−4x−1=0，
∵OC=3OB，BC=BO+CO=4❑√2，
∴CO=3❑√2， 1
整理得x2−2x= ，
2
∴OH=OC−HC=2❑√2，
1 3
， 配方得x2−2x+1= +1，即可(x−1) 2= ，
∴OQ=❑√OH2+QH2=❑√10 2 2
∴OQ+PQ=❑√10+1， ❑√6
开方得x−1=± ，
2
∴OP取最大值为❑√10+1．
故答案为：❑√10+1． ❑√6 ❑√6
即x−1= 或x−1=− ，
2 2
❑√6 ❑√6
∴x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2（2）解： ， （1）在图1中，作出△≝¿，使点D落在x轴上．
(2−3x)+(3x−2) 2=0
（2）在图2中，作出△≝¿，使点E的横坐标是纵坐标的3倍．
整理得 ，
(3x−2) 2−(3x−2)=0 【答案】见解答
见解答
因式分解得 ，
(3x−2)[(3x−2)−1)=0
【解析】（1）若点D落在x轴上，则△≝¿是由△ABC绕点O旋转180∘得到的，根据旋转的性质作图即可．
即3x−3=0，3x−2=0，
（2）由题意可取点E(3,1)或(−3,−1)，即△≝¿是由△ABC绕点O逆时针旋转90∘或顺时针旋转90∘得到
2 的，再根据旋转的性质作图即可．
∴x =1，x = ；
1 2 3
【解答】（1）解：如图1，△≝¿即为所求．
（3）解：x2−18=7x，
整理得x2−7x−18=0，
a=1，b=−7，c=−18，
，
Δ=(−7) 2−4×1×(−18)=121>0
∴方程有两个不相等的实数根，
7±❑√121 7±11
∴x= = ，
2×1 2
∴x =9，x =−2．
1 2
18.如图，在直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(1,−3)，C(0,−1)，将△ABC绕点O旋转得到△≝¿，
点A，B的对应点分别是点D，E．
（2）解：如图2，△D′E′F′和△D″E″F″均满足题意．
19.某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾 故答案为：50；
制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只
30
（2）解：800× =120（人），
200
能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
故答案为：120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)
B (B,A) (B,C)(B,D)(B,E)
请结合统计图，回答下列问题： C (C,A)(C,B) (C,D)(C,E)
（1）a=______50_____，E所对应的扇形圆心角是_____72______❑∘； D (D,A)(D,B)(D,C) (D,E)
（2）根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有_____120______人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还 E (E,A)(E,B)(E,C)(E,D)
原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用
6 3
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）= = ．
列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 20 10
【答案】50，72
20.已知关于 的一元二次方程 有实数根．
x x2+(2k−1)x+k2−3=0
120
（1）求实数k的取值范围；
3
10
（2）当 时，方程的根为 ， ，求代数式 的值．
k=2 x x (x2+2x −1)(x2+4x +3)
1 2 1 1 2 2
【解析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，求得对应的频数，补图即可；利用圆心角
13
计算公式计算即可． 【答案】k≤
4
（2）利用样本估计总体的思想计算即可．
1
（3）根据列表或画树状图法，解答即可．
【解析】（1）根据根的判别式进行求解；
【解答】（1）解：60÷30%=200（人），
（2）由方程的根为 ， ，得到 ， ，据此对原式进行化简，最后根据根与系
x x x2+3x +1=0 x2+3x +1=0
a=200−20−60−30−40=50（人）， 1 2 1 1 2 2
数的关系进行求解．
40
×360∘=72∘，
200
【解答】（1）解：∵方程有实数根，， 不会碰到头，理由见解答
∴Δ=(2k−1) 2−4(k2−3)≥0
【解析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点 ，先设抛物线的顶点式 ，再
B(4,4) y=a(x−4) 2+4
13
解得：k≤ ；
4
根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）解：当k=2时，方程化为x2+3x+1=0，
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
∴x +x =−3，x x =1，
1 2 1 2 【解答】（1）解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象
∵x ，x 是方程的解，
1 2 可知，顶点B(4,4)，点O(0,0)，
， ，
∴x2+3x +1=0 x2+3x +1=0
设二次函数的表达式为 ，
1 1 2 2 y=a(x−4) 2+4
， ， 将点O(0,0)代入函数表达式，
∴x2+3x =−1 x2+3x =−1
1 1 2 2
1
∴原式=(−1−x −1)(−1+x +3) 解得：a=− ，
1 2 4
=−(x +2)(x +2)
1 2
1
∴二次函数的表达式为y=− (x−4) 2+4，
4
=−[x x +2(x +x )+4)
1 2 1 2
1
=−(1−6+4) 即y=− x2+2x(0≤x≤8)；
4
=1．
（2）解：工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
21.如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到
1
水面的距离是4m． 由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2=1，
2
1
∴将x=1代入y=− x2+2x，
4
7
解得：y= =1.75，
4
∵1.75m>1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
22.商场购进某种新商品每件进价为50元，在试销期间发现，当每件商品的售价为60元时，每天可销售30件．
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，
当每件商品的售价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
（1）当每件商品的售价为65元时，商场销售该商品每天可盈利多少元；
船底与水面齐平）．
（2）商场销售该商品每天盈利能否达到410元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由．
1
【答案】y=− x2+2x(0≤x≤8)；
4 【答案】375元不能，见解答 9 9
π−
4 2
【解析】（1）每件商品的售价为65元时，涨价(65−60)元，日销售量减少(65−60)件，根据题意计算即
【解析】（1）连接OC，证明∠EAC=∠ACO，可得OC∥AE，再进一步可得结论；
可；
（2）连接DB，OD，证明四边形DECF是矩形，可得DF=EC，再证明AD=DB，可得
（2）设每件商品涨价x元，根据题意列出方程，根据根的判别式可知方程没有实数根，则商场每天盈利不
∠DAB=∠DBA=45∘，可得∠DOA=2∠DBA=90∘，利用S =S −S 可得答案．
能达到410元． 阴影 扇 形AOD△AOD
【解答】（1）解：证明： 是 的直径， 是 ⏜ 的中点，过点 作 的垂线，垂足为点 ．如图 ，
【解答】（1）解：
(65−50)×[30−(65−60))=15×25=375
（元） AB ⊙O C
BD
C AD E 1
连接OC，则OA=OC，
答：当每件商品的售价为65元时，商场每天可盈利375元；
（2）解：商场每天盈利不能达到410元．
理由：设每件商品涨价x元，根据题意得，
(60+x−50)(30−x)=410
整理得，x2−20x+110=0
，
∴b2−4ac=(−20) 2−4×1×110=−40<0
∴方程没有实数根，
∴商场每天盈利不能达到410元．
23.如图， 是 的直径， 是 ⏜ 的中点，过点 作 的垂线，垂足为点 ．
AB ⊙O C C AD E
BD
， ⏜ ⏜ ，
∴∠CAO=∠ACO
BC=DC
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：AB是⊙O的直径，如图2，连接DB，OD，OC交BD于点F，
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=2CE，OA=3，求阴影部分的面积．
【答案】见解答（1）求证：△ABC≅△BDE．
（2）用圆规和无刻度的直尺作∠ABD的平分线与AC的延长线相交于点F，连接DF并延长与BC的延长
线相交于点P．（保留作图痕迹）
①求证：DF=BE+CF．
②若∠A=α，则∠P的大小为__(180−2α)_____度．（用含α的代数式表示）
【答案】证明见解析
∴∠ADB=90∘，
作图见解析；①证明：见解析；②(180−2α)
∴∠EDB=90∘，
【解析】（1）根据已知条件，利用“AAS”证明△ABC≅△BDE即可；
∵∠AEC=∠ECO=90∘，
（2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；①通过角平分线定义得出
∴四边形DECF是矩形，
∠ABF=∠DBF=45∘，再利用“SAS”证明△ABF≅△DBF，得出AC=BE，通过线段间的等量关
∴DF=EC，∠DFC=90∘，
系证明出最终结论；②根据题意得到∠A=∠PBD=α，由于△ABF≅△DBF得到∠A=∠FDB=α，
∴OC⊥BD，
进而得出∠PBD=∠FDB=α，此时△PBD为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到∠P的表达式．
∴DF=FB，
∴DB=2DF=2EC，
【解答】（1）解：证明：∵∠ACB=90∘，DE⊥BC，
∵AD=2CE，
∴∠ACB=∠BED=90∘，
∴AD=DB，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，
∴∠DAB=∠DBA=45∘，
∴AB=BD，∠ABD=90∘，
∴∠DOA=2∠DBA=90∘，
∵∠ABC+∠DBE=180∘−∠ABD=90∘，∠ABC+∠A=90∘，
∴∠A=∠DBE，
90π×32 1 9 9
∴S
阴影
=S
扇 形A
−
OD
S
△AOD
=
360
−
2
×3×3=
4
π−
2
． 在△ABC和△BDE中，
24.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，0∘<∠ABC<45∘．将线段AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，
{∠ACB=∠BED
)
过点D作DE⊥BC于点E． ∠A=∠DBE ，
AB=BD
∴△ABC≅△BDE(AAS)．
（2）解：如图所示为所求：①证明：∵BF平分∠ABD，∠ABD=90∘，
∴∠ABF=∠DBF=45∘，
在△ABF和△DBF中，
{
AB=BD
)
∠ABF=∠DBF=45∘
， （1）求b的值；
BF=BF
∴△ABF≅△DBF(SAS)，
（2）求M的坐标；
∴AF=DF，
（3）若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作PQ// y轴，
∵△ABC≅△BDE，
交直线AD于点Q．当线段PQ的长随n的增大而增大时，请求出n的取值范围．
∴AC=BE，
【答案】b=3
∴AC+CF=BE+CF=AF=DF，
即DF=BE+CF．
(3 25)
,
2 4
②∵∠A=α，△ABC≅△BDE，
∴∠A=∠PBD=α，
−1
