文档内容
第7课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况
教学内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
教学目标
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，
反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们
根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有
两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2 3x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；
（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.
二、探索新知
x、x 的关系
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 1 2
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-2 3x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公
式的角度来分析：
b b2 4ac
求根公式：x= ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义， b2 4ac 等于一
2a
b b2 4ac b b2 4ac
个具体数，所以一元一次方程的x= ≠x= ，即有两个不相
1 1
2a 2a
b
等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义 b2 4ac =0，所以x=x= ，即有两个相等
1 2
2a
的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数
b b2 4ac b b2 4ac
根即x= ，x= ．
1 2
2a 2a
b
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x=x= ．
1 2
2a
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分
析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
3 1
（1）x2+10x+23=0 （2）x2-x- =0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+ =0
4 16
1
（5）x2- 3x- =0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
4
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含
a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或
0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a
的取值范围．
五、归纳小结
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元
二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有实数根及其它的运用．
六、布置作业
教材复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．
