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21.2.5 一元二次方程根与系数的关系
【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重
要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一
度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相
关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头
脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发，针对本班学生的特
点，本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.
教学目标：1、理解根系关系的推导过程；
2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；
3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
教学重点：应用根系关系解决问题；
教学难点：根系关系的推导过程
教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，
教学过程：
一、前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：
郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？
董：什么秘密？
郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
董：哦？
郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2 –
12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了.
董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊
还是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢.
郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师
的年龄.
【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自
己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.
二、求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程
各项系数之间的关系
序号 一元二次方程 x x x+x xx
1 2 1 2 1 2
（1） x2 – 5x +6 =0 2 3 5 6
（2） 2x2 – 3x +1 =0
1
（3） 3x2 + x -2 =0 - -
- 1
【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学
生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.
三、引导学生独立证明：
x 和x 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0)
1 2
x+x = - , xx = 注意：负号不能漏写
1 2 1 2
【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x 和x 的
1 2
值，接下来将字母系数表示的x 和x 的值代入相应的代数式 x+x 和xx 得出根系关系
1 2 1 2 1 2
的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些
结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.
四、应用
第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积
（1） x2 – 3x +1 =0
（2） 3x2 – 2x - 2=0
（3） 2x2 –3x =0（4） 3x2 =1
【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，
这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，
可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着
整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.
例2：已知：
x 和x 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代数式的值
1 2
（1） +
（2）x2 + x2
1 2
（3）（x - x）2
1 2
学生练习：（1） +
（2）（x+1）（x+1）
1 2
【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，
还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .
五、本课小结：
六、课后作业：
