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期中试卷（3）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y=x（x﹣1）B．y= ﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
3．（3分）如图，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的
值为（ ）
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．
5．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D
逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴
为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（ ）
第1页（共28页）A．1个B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线 ．
8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣7=0的两根，则代数式 的值为 ．
9．（3分）已知x能使得 + 有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称
点P′在第 象限．
10．（3分）已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解
析式是 ．
11．（3分）若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2
﹣x﹣2=0的解为 ．
12．（3分）如图，A（ ，1），B（1， ）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则
此时点A的对应点A′的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）用适当的方法解方程．
（1）x2﹣3x+1=0
（2）x（x﹣2）+2x﹣4=0．
14．（6分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图
第2页（共28页）中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
15．（6分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上
升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时
0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐
标系是以桥顶点为点O的）
16．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这
个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
17．（6分）已知二次函数y=﹣ x2﹣x+
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
第3页（共28页）18．（8分）已知x ，x 是方程x2﹣4x+2=0的两根，求：（1） 的值；（2）（x ﹣
1 2 1
x ）2的值．
2
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B
（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A B C；平移
1 1
△ABC，若点A的对应点A 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2 2
（2）若将△A B C绕某一点旋转可以得到△A B C ；请直接写出旋转中心的坐标；
1 1 2 2 2
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
21．（8分）小李按市场价格30元/千克收购了一批海鲜1000千克存放在冷库里，
据预测，海鲜的市场价格将每天每千克上涨1元．冷冻存放这批海鲜每天需要支
出各种费用合计310元，而且这些海鲜在冷库中最多存放160天，同时平均每天
有3千克的海鲜变质．
（1）设x天后每千克该海鲜的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若存放x天后，将这批海鲜一次性出售．设这批海鲜的销售总额为P元，试写
出P与x之间的函数关系式；
（3）小李将这批海鲜存放多少天后出售可获得最大利润，最大利润是多少元？
（利润W=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）
第4页（共28页）五、（本大题10分）
22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足
为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP
绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量
关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，
并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
六、（本大题12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，
﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的
横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共28页）第6页（共28页）参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y=x（x﹣1）B．y= ﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．
菁
【分析】依据二次函数的定义回答即可．
【解答】解：A、整理得y=x2﹣x，是二次函数，与要求不符；
B、y= ﹣1是二次函数，与要求不符；
C、y=﹣x2是二次函数，与要求不符；
D、整理得：y=8x+16是一次函数，与要求相符．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
【考点】解一元二次方程-配方法．
菁
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成
完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2=0，
∴x2﹣2x=2，
∴x2﹣2x+1=2+1，
∴（x﹣1）2=3．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
第7页（共28页）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系
数是2的倍数．
3．（3分）如图，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
菁
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点
旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D
不是中心对称图形．
故选D．
【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的
值为（ ）
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【考点】一元二次方程的解．
菁
【专题】计算题．
【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到
关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到
满足题意a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，
解得：a=1或a=﹣1，
将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，
则a的值为﹣1．
第8页（共28页）故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为
能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D
逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；直角梯形．
菁
【专题】压轴题．
【分析】求△ADE的面积，已知底AD=3，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，
EF就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形 EDF 全等于三角形 CDG，
EF=CG=2，则△ADE的面积就能求出来．
【解答】解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于
F，
∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，
∴∠EDF=∠CDG，
又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG，
∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2，
∴EF=2，
∴S = ×AD×EF= ×3×2=3．
△ADE
故选C．
第9页（共28页）【点评】本题需要把旋转的性质、三角形的面积公式结合求解．考查学生综合运用
数学知识的能力．注意旋转变化前后，对应角相等．
6．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴
为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
菁
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与
0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论
进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
由图象可知：对称轴x= =﹣1，
∴2a=b，2a+b=4a，
∵a≠0，
∴2a+b≠0，②错误；
∵图象过点A（﹣3，0），
第10页（共28页）∴9a﹣3b+c=0，2a=b，
∴9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0，④正确．
故选：C．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛
物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线 x=1 ．
【考点】二次函数的性质．
菁
【分析】先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a，由公式x= 得抛物线的对称
轴为x=1．
【解答】解：y=a（x+1）（x﹣3）
=ax2﹣2ax﹣3a
由公式 得，
抛物线的对称轴为x=1．
【点评】本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公
式x= ．
8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣7=0的两根，则代数式 的值为 3
．
【考点】根与系数的关系；二次根式的性质与化简．
菁
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=﹣4，mn=﹣7，然后将代数式化简代入即
第11页（共28页）可求得答案．
【解答】3解：∵m，n是方程x2+4x﹣7=0的两根，
∴m+n=﹣4，mn=﹣7，
∴ = = =3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式
变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（3分）已知x能使得 + 有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称
点P′在第 二 象限．
【考点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标．
菁
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的范围，根据关于原点对
称的点的坐标特点解答．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，2﹣x≥0，
解得，﹣1≤x≤2，
则x+2＞0，x﹣3＜0，即点P（x+2，x﹣3）在第四象限，
故点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、关于原点对称的点的坐标特点，掌
握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解
析式是 y= x 2 ﹣7 x + 1 2 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
菁
【专题】计算题．
【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4），
而a=1，
所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12．
第12页（共28页）故答案为y=x2﹣7x+12．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二
次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三
元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式
来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．（3分）若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2
﹣x﹣2=0的解为 ﹣ 1 或 2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
菁
【分析】利用方程组的解，确定一元二次方程的解即可．
【解答】解：∵y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），
∴ 消去y得到x2﹣x﹣2=0的解为x=﹣1或2，
故答案为﹣1或2．
【点评】本题考查二次函数与cX轴的交点、解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，A（ ，1），B（1， ）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则
此时点A的对应点A′的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ ）或（﹣ 2 ， 0 ） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
菁
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再
分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由
30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标．
第13页（共28页）【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，
∵A（ ，1），
∴OC= ，AC=1，
由勾股定理得：OA=2，
tan∠AOC= = ，
∴∠AOC=30°，
分两种情况：
①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1，
此时OA在x轴上，则A′的坐标为（﹣2，0），
②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2，
过A′作A′D⊥x轴于D，
∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°，
∴∠A′OC=150°﹣30°=120°，
∴∠A′OD=60°，
在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2，
∴OD=1，A′D= ，
∴A′的坐标为（﹣1，﹣ ），
则点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）；
故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）．
第14页（共28页）【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据旋转角的度数判断出点A′的位
置，注意构建直角三角形，同时还要分情况讨论求解．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）用适当的方法解方程．
（1）x2﹣3x+1=0
（2）x（x﹣2）+2x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
菁
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=9﹣4×1×1=5，
∴x= ；
（2）∵x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
∴（x﹣2）（x+2）=0，
∴x﹣2=0或x+2=0，
解得：x=2或x=﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开
平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
14．（6分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图
中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
第15页（共28页）【考点】一元二次方程的应用．
菁
【专题】几何图形问题．
【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面
积公式列方程求解．
【解答】解法一：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为X米，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=540．
整理得x2﹣52x+100=0．
解得x =50（不合题意，舍去），x =2．
1 2
答：道路宽为2米．
解法二：原图经过平移转化为图2．
设道路宽为x米，
根据题意，20×32﹣（20+32）x+x2=540
整理得x2﹣52x+100=0．
解得x =50（不合题意，舍去），x =2．
1 2
答：道路宽为2米．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较
复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
第16页（共28页）15．（6分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上
升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时
0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐
标系是以桥顶点为点O的）
【考点】二次函数的应用．
菁
【分析】先设抛物线的解析式为y=ax2，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求
得抛物线的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的长度，进而求出时间．
【解答】解：设所求抛物线的解析式为：
y=ax2．
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y=ax2得： ，
解得： ，
∴y=﹣ x2；
∵b=﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1， =5小时．
所以再持续5小时到达拱桥顶5小时．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．借助二次函数解决实
际问题是解题的关键．
16．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这
第17页（共28页）个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
菁
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是
哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形
是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是
中心对称图形．
17．（6分）已知二次函数y=﹣ x2﹣x+
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
第18页（共28页）【考点】二次函数的三种形式．
菁
【分析】（1）根据配方法，先提取﹣ ，然后配成完全平方式，整理即可；
（2）根据a是负数以及顶点式解析式分别求解即可．
【解答】解：（1）y=﹣ x2﹣x+ ，
=﹣ （x2+2x+1）+ + ，
=﹣ （x+1）2+4；
（2）∵a=﹣ ＜0，
∴开口向下；
顶点坐标（﹣1，4）；
对称轴为直线x=﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为
常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18．（8分）已知x ，x 是方程x2﹣4x+2=0的两根，求：（1） 的值；（2）（x ﹣
1 2 1
x ）2的值．
2
【考点】根与系数的关系．
菁
【分析】易得到两根之和与两根之积的具体数值，把所求代数式整理成与之有关
的式子而求解．
【解答】解：∵x +x =4，x x =2．
1 2 1 2
（1） =2．
（2）（x ﹣x ）2=（x +x ）2﹣4x x =42﹣4×2=8．
1 2 1 2 1 2
【点评】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B
第19页（共28页）（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A B C；平移
1 1
△ABC，若点A的对应点A 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2 2
（2）若将△A B C绕某一点旋转可以得到△A B C ；请直接写出旋转中心的坐标；
1 1 2 2 2
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题．
菁
【分析】（1）延长AC到A ，使得AC=A C，延长BC到B ，使得BC=B C，利用点A的
1 1 1 1
对应点A 的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A B C ；
2 2 2 2
（2）根据△△A B C绕某一点旋转可以得到△A B C 进而得出，旋转中心即可；
1 1 2 2 2
（3）根据B点关于x轴对称点为A ，连接AA ，交x轴于点P，再利用相似三角形的
2 2
性质求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（ ，﹣1）；
（3）∵PO∥AC，
∴ = ，
∴ = ，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
第20页（共28页）【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴
对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．
菁
【专题】证明题．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据
非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根
据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代
入方程可解得k= ，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x =4，x =2，所以a=b=4，c=2或
1 2
a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）
=4k2+4k+1﹣16k+8，
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
第21页（共28页）∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，
而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方
程化为x2﹣6x+8=0，解得x =4，x =2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
1 2
所以△ABC的周长=4+4+2=10．
【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断
方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程
有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性
质．
21．（8分）小李按市场价格30元/千克收购了一批海鲜1000千克存放在冷库里，
据预测，海鲜的市场价格将每天每千克上涨1元．冷冻存放这批海鲜每天需要支
出各种费用合计310元，而且这些海鲜在冷库中最多存放160天，同时平均每天
有3千克的海鲜变质．
（1）设x天后每千克该海鲜的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若存放x天后，将这批海鲜一次性出售．设这批海鲜的销售总额为P元，试写
出P与x之间的函数关系式；
（3）小李将这批海鲜存放多少天后出售可获得最大利润，最大利润是多少元？
（利润W=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）
【考点】二次函数的应用．
菁
【分析】（1）依题意可求出y与x之间的函数关系式．
（2）存放x天，每天损坏3千克，则剩下1000﹣3x，P与x之间的函数关系式为P=
（x+30）（1000﹣3x）
（3）依题意化简得出w与x之间的函数关系式，求得x=100时w最大．
【解答】解：（1）y=x+30；
（2）p=（x+30）（1000﹣3x）=﹣3x2+910x+30000；
第22页（共28页）（3）W=P﹣30×1000﹣310x=﹣3x2+910x+30000﹣30000﹣310x
=﹣3x2+600x，
∵﹣3＜0，
∴W有最大值，
当x= =100时，
∵100＜160，
∴W最大值= =30000．
∴存放100天后出售时获得最大利润，最大利润为30000元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确列出函数表达式并熟悉二次函数的
性质是解决问题的关键．
五、（本大题10分）
22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足
为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 DE = BC ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP
绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量
关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，
并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
第23页（共28页）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角
三角形．
菁
【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性
质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE= BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”
可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE= BC可得到BF+BP=
DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣
BP=BC，所以BF﹣BP= DE．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE= BC；
故答案为DE= BC．
第24页（共28页）（2）BF+BP= DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC﹣BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE= BC，
∴BC= DE，
∴BF+BP= DE；
（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF﹣BP=BC，
∴BF﹣BP= DE．
第25页（共28页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角
形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
六、（本大题12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，
﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的
横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
菁
【分析】（1）待定系数法分别求解可得；
（2）根据题意可设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），继而可得PM=（t
第26页（共28页）﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣ ）2+ ，知PM最长值为 ，根据S =S +S 可
△ABM △BPM △APM
得答案；
（3）由PM∥OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
据此可分以下三种情况：①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象
限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得．
【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
，
解得： ，
所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得： ，
解得： ，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
∵p在第四象限，
∴PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，
当t= 时，二次函数取得最大值 ，即PM最长值为 ，
则S =S +S = × ×3= ．
△ABM △BPM △APM
（3）存在，
理由如下：
第27页（共28页）∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，
解得t = ，t = （舍去），
1 2
所以P点的横坐标是 ；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t = （舍去），t = ，
1 2
所以P点的横坐标是 ．
所以P点的横坐标是 或 ．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后
根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线
段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．
第28页（共28页）
