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人教版九年级上册 期末试卷（1）
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，
其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1）B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC
上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
A． B．2C． D．3
3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则
对角线AC与BD需要满足条件是（ ）
A．垂直B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件
4．（3分）已知点A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）、C（3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3
则（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的
售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ）
A．9% B．8.5% C．9.5% D．10%
6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行
驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D ．
第1页（共29页）7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1C．（x+2）2+7D．（x+2）2﹣1
8．（3分）函数y= 的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是
AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短B．变长 C．不变D．无法确定
10．（3分）如图，点A在双曲线y= 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA
的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
A． B．5C． D．
二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）
第2页（共29页）11．（4分）反比例函数 的图象在一、三象限，则k应满足 ．
12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，
那么边长应缩小到原来的 倍．
13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值
为 ．
14．（4分）已知 = = ，则 = ．
15．（4分）如图，双曲线 上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB
的面积为2，则该双曲线的表达式为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=
．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S ：S =1：9，则
△AOD △COB
S ：S = ．
△DOC △BOC
18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，
第3页（共29页）则 的值为 ．
三、解答题：（共9道题，总分88分）
19．（8分）解方程
（1）2x2﹣2 x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻
AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE
的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC
的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
第4页（共29页）22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1的卡片，乙同学手中
藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张
卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等
的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概
率知识解释．
23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等
边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
24．（10分）如图，已知A（ ﹣4，n），B（ 2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比
例函数 的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式 的解集（请直接写出答案）．
第5页（共29页）25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售
出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，
调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100
张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
26．（10分）如图，P 、P 是反比例函数 （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A
1 2 1
的坐标为（2，0），若△P OA 与△P A A 均为等边三角形．
1 1 2 1 2
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A 点的坐标．
2
27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC
边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简
要说明理由；若存在，请求出EF的长．
第6页（共29页）参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，
其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1）B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点评】判断一个方程是不是一元二次方程：
首先要看是不是整式方程；
然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC
上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
第7页（共29页）A． B．2C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾
股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】解：设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
Rt△ABC中，AC= = =5，
∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X，
∴（4﹣x）2=x2+22，
解得x= ．
故选A．
【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是
正确解答题目的关键．
3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则
对角线AC与BD需要满足条件是（ ）
A．垂直B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件
【考点】中点四边形．
【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线AC与BD
需要满足条件是相等．
【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=FG=EF=HG= BD= AC，故AC=BD．
第8页（共29页）故选B．
【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．解题的关键在
于牢记有关的判定定理，难度不大．
4．（3分）已知点A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）、C（3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3
则（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象限，点C
在第一象限，
∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，
∴y 最大，
3
∵在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴y ＜y ．
2 1
故选：D．
【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点
是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象
限内，按坐标系内点的特点来比较．
5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的
售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ）
A．9% B．8.5% C．9.5% D．10%
【考点】一元二次方程的应用．
第9页（共29页）【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降价的百分数是x，则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第
二次降价后的价格是100（1﹣x）（1
﹣x），根据“现在的售价是81元”作为相等关系列方程求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分数是x，依题意得100（1﹣x）2=81，
解方程得x =0.1，x =1.9（舍去）
1 2
所以平均每次降价的百分数是10%．
故选D．
【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．若设变化前的量为a，变化后的量
为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时
中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行
驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值
范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系
式为：y= （x＞0），所以函数图象大致是B．
故选B．
第10页（共29页）【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关
系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范
围作图．
7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1C．（x+2）2+7D．（x+2）2﹣1
【考点】配方法的应用．
【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数﹣
4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和﹣1，然后再按完全平方公式进行计算．
【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1．
故选B．
【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项
进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．
8．（3分）函数y= 的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】待定系数法．
【分析】先根据函数y= 的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数y=kx﹣2
的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答．
【解答】解：∵图象经过（1，﹣1），
∴k=xy=﹣1，
∴函数解析式为y=﹣x﹣2，
所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）．
故选A．
【点评】主要考查一次函数y=kx+b的图象．当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象
第11页（共29页）经过第二、三、四象限．
9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是
AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短B．变长 C．不变D．无法确定
【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】易得EF为三角形AMR的中位线，那么EF长恒等于定值AR的一半．
【解答】解：∵E，F分别是AM，MR的中点，
∴EF= AR，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，故选C．
【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质．
10．（3分）如图，点A在双曲线y= 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA
的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
A． B．5C． D．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；压轴题；数形结合．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，
设 OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于 a、b 的方程组
第12页（共29页），解之即可求出△ABC的周长．
【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=OC+AC，
设OC=a，AC=b，
则： ，
解得a+b=2 ，
即△ABC的周长=OC+AC=2 ．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合
应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题
二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）
11．（4分）反比例函数 的图象在一、三象限，则k应满足 k ＞ ﹣ 2 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】由于反比例函数 的图象在一、三象限内，则k+2＞0，解得k的取值
范围即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数 的图象在二、四象限内，
则k+2＞0，
解得k＞﹣2．
故答案为k＞﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y= （k≠0）中k的取值，①当
k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k＜0时，反比例函数的图象位
于二、四象限．
第13页（共29页）12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，
那么边长应缩小到原来的 倍．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的 倍，
∴边长应缩小到原来的 倍．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是
解题的关键．
13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值
为 ﹣ 4 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相
等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程
即可求得a的值．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0，
可得a2+3a﹣4=0，
解得a=﹣4或a=1，
∵二次项系数a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方
程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
第14页（共29页）14．（4分）已知 = = ，则 = ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化
简即可得到结果．
【解答】解：设 = = =k，
∴a=5k，b=3k，c=4k，
∴ = = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，双曲线 上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB
的面积为2，则该双曲线的表达式为 y=﹣ ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S =2求出
△AOB
k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，
∵S =2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣ ，
△AOB
第15页（共29页）故答案为：y=﹣ ．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一
点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，
且保持不变．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=
2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的
长．
【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S ：S =1：9，则
△AOD △COB
S ：S = 1 ： 3 ．
△DOC △BOC
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】压轴题．
【分析】根据在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S ：
△AOD
第16页（共29页）S =1：9，可求 = ，则S ：S =1：3，所以S ：S =1：3．
△COB △AOD △DOC △DOC △BOC
【解答】解：根据题意，AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∵S ：S =1：9
△AOD △COB
∴ =
则S ：S =1：3
△AOD △DOC
所以S ：S =3：9=1：3．
△DOC △BOC
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的
平方．
18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，
则 的值为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比
例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．
【解答】解：∵AD=4，DB=2，
∴AB=AD+BD=4+2=6，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，∴ = ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段
的对应关系是解此题的关键．
第17页（共29页）三、解答题：（共9道题，总分88分）
19．（8分）解方程
（1）2x2﹣2 x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）利用求根公式计算即可；
（2）利用因式分解可得到（4y+1）（3﹣2y）=0，可求得方程的解．
【解答】解：
（1）∵a=2，b=﹣2 ，c=﹣5，
∴△=（﹣2 ）2﹣4×2×（﹣5）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x= = ，
即x = ，x = ，
1 2
（2）移项得（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
分解因式得（4y+1）（3﹣2y）=0，
解得y =﹣ ，y = ．
1 2
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解
题的关键．
20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻
AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE
的长．
第18页（共29页）【考点】平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；
（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系 ．计
算可得DE=10（m）．
【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的
投影．
（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF．
∴ ，∴ ∴DE=10（m）．
说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF
即可．
【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
要求学生通过投影的知识并结合图形解题．
21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC
的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
第19页（共29页）【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角
边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等
量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行
四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角
形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
【解答】解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，
是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
第20页（共29页）22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1的卡片，乙同学手中
藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张
卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等
的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概
率知识解释．
【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的
结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概
率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规
是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（1，
1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值结果共有9种；
（2）∵当a= ，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a= ，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a= ，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a= ，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a= ，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a= ，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
第21页（共29页）当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）= ＞P（乙获胜）= ，
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的
概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等
边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．
【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等
边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继
而证得结论；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，
而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形
ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
第22页（共29页）又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判
定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．
24．（10分）如图，已知A（ ﹣4，n），B（ 2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比
例函数 的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式 的解集（请直接写出答案）．
第23页（共29页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题；压轴题；待定系数法．
【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=
，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）由图象观察函数y= 的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y= 上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
∵点A（﹣4，n）在y=﹣ 上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴ ．
解之得
．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．
第24页（共29页）（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC=2．
∴S =S +S = ×2×2+ ×2×4=6．
△AOB △ACO △BCO
（3）不等式 的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；
要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接
考查函数的增减性，从而来解不等式．
25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售
出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，
调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100
张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】经济问题；压轴题．
【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张数
+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．
【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出
100x÷0.1=1000x张．
（0.3﹣x）（500+1000x）=120，
解得x =﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x =0.1．
1 2
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本
题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．
26．（10分）如图，P 、P 是反比例函数 （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A
1 2 1
的坐标为（2，0），若△P OA 与△P A A 均为等边三角形．
1 1 2 1 2
第25页（共29页）（1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A 点的坐标．
2
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；等边
三角形的性质．
【分析】（1）首先作P B⊥OA 于点B，由等边△P OA 中，OA =2，可得OB=1，P B=
1 1 1 1 1 1
，继而求得点P 的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；
1
（2）首先作P C⊥A A 于点C，由等边△P A A ，设A C=a，可得P C= ，OC=2+a，
2 1 2 2 1 2 1 2
然后把P 点坐标（2+a， ）代入 ，继而求得a的值，则可求得A 点的坐标．
2 2
【解答】解：（1）作P B⊥OA 于点B，
1 1
∵等边△P OA 中，OA =2，
1 1 1
∴OB=1，P B= ，
1
把P 点坐标（1， ）代入 ，
1
解得： ，
∴ ；
（2）作P C⊥A A 于点C，
2 1 2
∵等边△P A A ，设A C=a，
2 1 2 1
则P C= ，OC=2+a，
2
把P 点坐标（2+a， ）代入 ，
2
即： ，
解得 ， （舍去），
∴OA =2+2a= ，
2
∴A （ ，0）．
2
第26页（共29页）【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及等边三角形的性质．
此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应
用．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC
边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简
要说明理由；若存在，请求出EF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平
方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三
角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S ：S =1：2
△ECF △ACB
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB
= =
第27页（共29页）∵AC=4，
∴CE= ；
（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴ =
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
得x+EF+ x=（4﹣x）+5+（3﹣ x）+EF
解得
∴CE的长为 ；
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=
即 =
解得x= ，即EF=
当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF= ；
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为 EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
第28页（共29页）= ，即 =
解得x= ，即EF=
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF= 或EF=
．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，有一定的开放性，难点在于作出辅助线就
具体情况进行分类讨论．
第29页（共29页）
