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第21 章 一元二次方程测试卷（3）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c=0
C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0
2．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的
取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1
3．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况与k的取值有关
4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周
长是（ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每
次降价的百分率是（ ）
A．20%B．27%C．28%D．32%
6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，
面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方
程为（ ）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100
7．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如
果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（ ）
A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000
C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000
8．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙
第1页（共17页）围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD．则该矩形草坪 BC 边的长是
（ ）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
9．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1 D．﹣2
10．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（ ）
A．﹣1或3 B．3C．﹣1 D．无法确定
11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（
）
A．﹣3 B．3C．±3 D．不确定
12．（3分）若x ，x（x ＜x ）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x ，
1 2 1 2 1
x ，a，b的大小关系为（ ）
2
A．x ＜x ＜a＜bB．x ＜a＜x ＜bC．x ＜a＜b＜x D．a＜x ＜b＜x
1 2 1 2 1 2 1 2
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元二次方
程．
14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是 ．
15．（3分）若x ，x 是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x +x = ，x x =
1 2 1 2 1 2
，x 2+x 2= ．
1 2
16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使
剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路
的宽是xm，根据题意可列方程为 ．
第2页（共17页）三、解答题
17．（18分）解方程：
（1）2x2﹣6x+3=0
（2）（x+3）（x﹣1）=5
（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．
18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20
件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降
价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，
要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？
19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不
低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x
（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售
单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始
沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始
沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是
△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动
（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几
秒钟后，P、Q相距6厘米？
第3页（共17页）第4页（共17页）参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c=0
C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】方程思想．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为
正确答案．
【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；
故B选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首
先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高
次数是2．
2．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的
取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，所以
第5页（共17页）k≠0且△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△=b2﹣4ac=36﹣36k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方
程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜ ⇔0 方程没有实数根． ⇔
⇔
3．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况与k的取值有关
【考点】根的判别式．
【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．
【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周
长是（ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
第6页（共17页）【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长
【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得：x =3，x =4，
1 2
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．
故选C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本
题的关键．
5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每
次降价的百分率是（ ）
A．20%B．27%C．28%D．32%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连
降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可
列方程求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96
x=0.2或1.8
x=1.8不符合题意，舍去，
故x=0.2
答：平均每次降价的百分率是20%．
故选A．
【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或
降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整
就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，
第7页（共17页）面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方
程为（ ）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】本题可先求出桌布的面积，再根据题意用x表示桌面的长与宽，令两者的
积为桌布的面积即可．
【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，
桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，
则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．
故选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面积公式来求解．
7．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如
果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（ ）
A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000
C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系
式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000，把相关数值代
入即可求解．
【解答】解：二月份的月营业额为200×（1+x），三月份的月销售额在二月份月销
售额的基础上增加x，
为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=1000，故选
C．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变
化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙
第8页（共17页）围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD．则该矩形草坪 BC 边的长是
（ ）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设草坪BC的长为x米，则宽为 ，根据面积为120平方米，列方程求
解．
【解答】解：设草坪BC的长为x米，则宽为 ，
由题意得，x• =120，
解得：x =12，x =20，
1 2
∵墙为16米，
∴x=20不合题意．
故x=12．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，找出合适的等量关系，列方程求解．
9．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出
即可．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，
第9页（共17页）代入得：n2+mn+2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，
∴m+n=﹣2．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值
是解此题的关键，题型较好，难度适中．
10．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（ ）
A．﹣1或3 B．3C．﹣1 D．无法确定
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设y=m2+n2，原式化成关于y的一元二次方程，解方程即可求得．
【解答】解：设y=m2+n2，
则原式化为：y2﹣2y﹣3=0，
（y﹣3）（y+1）=0，
∴y=3或y=﹣1，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2=3．
故选B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是能准确的找出可用替换
的代数式m2+n2，再用字母y代替解方程．
11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（
）
A．﹣3 B．3C．±3 D．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替
未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．
【解答】解：把x=0代入原方程得m2﹣9=0；
第10页（共17页）解得：m=±3；
故选C．
【点评】本题考查的是方程的根即方程的解的定义；注意该题没有说明该方程是
一元二次方程，所以也能是一元一次方程，所以m的值是±3．
12．（3分）若x ，x（x ＜x ）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x ，
1 2 1 2 1
x ，a，b的大小关系为（ ）
2
A．x ＜x ＜a＜bB．x ＜a＜x ＜bC．x ＜a＜b＜x D．a＜x ＜b＜x
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】因为x 和x 为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知条件
1 2
x ＜x 、a＜b结合图象，可得到x ，x ，a，b的大小关系．
1 2 1 2
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开
口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这
时与x轴的交点就是x ，x ，画在同一坐标系下，很容易发现：
1 2
答案是：x ＜a＜b＜x ．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关
键．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m ≠ 1 时为一元二次
方程．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是
第11页（共17页）整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：由关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，得
m﹣1≠0，
解得m≠1．
故答案为：m≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首
先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高
次数是2．
14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是 x =0 ， x =2 ．
1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，
提公因式得，x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
∴x =0，x =2．
1 2
故答案为：x =0，x =2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开
平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．（3分）若x ，x 是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x +x = 3 ，x x =
1 2 1 2 1 2
1 ，x 2+x 2= 7 ．
1 2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x +x =3，x x =1，再利用完全平方公式变形得到
1 2 1 2
x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x ，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：根据题意得x +x =3，x x =1，
1 2 1 2
x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x =32﹣2×1=7．
1 2 1 2 1 2
故答案为3，1，7．
第12页（共17页）【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使
剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路
的宽是xm，根据题意可列方程为 （ 30﹣ x ）（ 20﹣ x ） = × 3 0 × 2 0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花
草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（30﹣x）（20﹣x）= ×30×20．
故答案为：（30﹣x）（20﹣x）= ×30×20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移
到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
三、解答题
17．（18分）解方程：
（1）2x2﹣6x+3=0
（2）（x+3）（x﹣1）=5
（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
第13页（共17页）（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣6，c=3，
∵△=36﹣24=12，
∴x= = ，
解得：x = ，x = ；
1 2
（2）方程整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，
解得：x =2，x =﹣4；
1 2
（3）开方得：2（2x+1）=3（2x﹣1）或2（2x+1）=﹣3（2x﹣1），
解得：x =2.5，x =0.1．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练
掌握各种解法是解本题的关键．
18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20
件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降
价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，
要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件
获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，
要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．
【解答】解：设每件童装应降价x元，
由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得：x=10或x=20．
因为减少库存，所以应该降价20元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利
润列方程求解．
第14页（共17页）19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不
低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x
（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售
单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．
（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得
解得k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）W=（x﹣60）•（﹣x+120）
=﹣x2+180x﹣7200
=﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700≤0，
第15页（共17页）而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x =70，x =110．
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即x =70，x =110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要
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使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种
是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始
沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始
沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是
△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动
（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几
秒钟后，P、Q相距6厘米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，分别表示出
线段PB和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可；
（2）根据勾股定理列出方程求解即可；
【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：
×2t（6﹣t）= × ×6×8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．
第16页（共17页）（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：
（6﹣x）2+（2x）2=36，
解得：x=0（舍去）或x= ．
答： 秒时，P、Q相距6厘米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，
能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．
第17页（共17页）
