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第22 章 二次函数测试卷（3）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2B．y= C．y=kx2D．y=k2x
2．（3分） 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0，﹣2 B．0，2C．0D．﹣2
3．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的
图象可能为（ ）
A． B． C． D ．
4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 …
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac=0
D．若点A（0.5，y ）是该抛物线上一点．则y ＜﹣2.5
1 1
5．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点
第1页（共25页）C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
6．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是
（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
7．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
8．（3分）已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（ ）
A．（2，3）B．（0，3）C．（﹣1，3）D．（﹣3，3）
9．（3分）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；
②a+b+c=2；③a＜ ；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
第2页（共25页）11．（3分）已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
12．（3分）如图是二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y =mx+n（m≠0）的图
1 2
象，当y ＞y ，x的取值范围是 ．
2 1
13．（3分）若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次
函数的解析式为 ．
14．（3分）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成
立，则a的取值范围是 ．
15．（3分）二次函数y=ax（2 a＞0）的图象经过点（1，y ）、（2，y ），则y y（填
1 2 1 2
“＞”或“＜”）．
16．（3分）二次函数y=x2+2x+2的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析
式．
18．（8分）已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，
（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；
（2）如果x=﹣1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；
（3）在（2）的条件下，写出y的最小值．
19．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
第3页（共25页）（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S =10，求出此时点P的坐标．
△PAB
20．（8分）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线
交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．
21．（8分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的
矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的
函数关系式为多少？
22．（10分）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，
为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20
千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
23．（10分）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点
A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
第4页（共25页）（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过
P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH
（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与
△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共25页）参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2B．y= C．y=kx2D．y=k2x
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是分式方程，故B错误；
C、k=0时，不是函数，故C错误；
D、k=0是常数函数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
2．（3分） 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0，﹣2 B．0，2C．0D．﹣2
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2，从而求得m的值．
【解答】解：∵ 是二次函数，
∴
解得：m=﹣2，
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含
有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0．
3．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的
第6页（共25页）图象可能为（ ）
A． B． C． D ．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函
数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜
0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项
错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种
很好的方法．
4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 …
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
第7页（共25页）A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2
B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）
C．b2﹣4ac=0
D．若点A（0.5，y ）是该抛物线上一点．则y ＜﹣2.5
1 1
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、正确．因为x=﹣1或﹣3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=﹣2．
B、正确．根据对称性，x=0时的值和x=﹣4的值相等．
C、错误．因为抛物线与x轴有交点，所以b2﹣4ac＞0．
D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决
问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．
5．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次
函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．
【解答】解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．
A、∵a=1，
∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
第8页（共25页）∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣ =﹣ =1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二
次函数的性质及其图象分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型
题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键
6．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是
（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求
当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x
的取值范围．
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
第9页（共25页）故选B．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考
查二次函数图象的题目．
7．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数
进行判断．
【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求
得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方
程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣
4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．（3分）已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（ ）
A．（2，3）B．（0，3）C．（﹣1，3）D．（﹣3，3）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据一次方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2得出b=2a，由此即可得出抛物
线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，找出点（1，3）关于对称轴对称的点，即可
得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，
∴有﹣2a+b=0，即b=2a．
第10页（共25页）∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=﹣ =﹣1．
∵点（1，3）是抛物线上的一点，
∴点（﹣3，3）是抛物线上的一点．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出抛物线的
对称轴为x=﹣1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出抛物线的
对称轴，找出已知点关于对称轴对称的点即可．
9．（3分）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】二次函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的
增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数
有最小值，当x=﹣ 时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的
增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数
有最大值，当x=﹣ 时，y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量
的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自
变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
第11页（共25页）10．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；
②a+b+c=2；③a＜ ；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与
0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论
进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x= ＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x=1时，函数值为2，
∴a+b+c=2；
故本选项正确；
③∵对称轴x= ＞﹣1，
解得： ＜a，
第12页（共25页）∵b＞1，
∴a＞ ，
故本选项错误；
④当x=﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c=2，
将a+c=2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选D．
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x= 判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个
交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．
（6）由对称轴公式x= ，可确定2a+b的符号．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为 ﹣
1 ．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
第13页（共25页）【解答】解：根据题意得： ，
解得：m=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m﹣1≠0是关键．
12．（3分）如图是二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y =mx+n（m≠0）的图
1 2
象，当y ＞y ，x的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 1 ．
2 1
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位
置关系，判断y ＞y 时，x的取值范围．
2 1
【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y y 时，有﹣2＜x＜1，
2＞ 1
故答案为：﹣2＜x＜1．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同
学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
13．（3分）若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次
函数的解析式为 y=﹣ x 2 ﹣2 x + 5 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过
（2，﹣3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．
第14页（共25页）【解答】解：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，
∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．
答案不唯一．
例如：y=﹣x2﹣2x+5．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析
式的各项系数．
14．（3分）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成
立，则a的取值范围是 ﹣ ≤ a ＜ 0 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一
次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．
【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．
由已知得： ，
解得：﹣ ≤a＜0．
故答案为：﹣ ≤a＜0
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的
关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结
第15页（共25页）合解决问题是关键．
15．（3分）二次函数y=ax（2 a＞0）的图象经过点（1，y ）、（2，y ），则y ＜ y（填
1 2 1 2
“＞”或“＜”）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】根据a＞0，结合二次函数的性质即可得出“当x＞0时，二次函数y值随
着x值的增大而增大”，再由0＜1＜2即可得出结论．
【解答】解：∵a＞0，且二次函数的对称轴为x=0，
∴当x＞0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的
关键是找出当x＞0时，函数为增函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型
题目时，根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键．
16．（3分）二次函数y=x2+2x+2的最小值为 1 ．
【考点】二次函数的最值．
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．
【解答】解：配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1，
当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一
种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析
式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2+2，然后把（0，4）
第16页（共25页）代入求出a的值即可．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，1），
设抛物线为y=a（x﹣1）2+1，
∵抛物线经过点（2，3），
∴3=a（2﹣1）2+1，
解得：a=2．
∴y=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元
一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来
求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．（8分）已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，
（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；
（2）如果x=﹣1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；
（3）在（2）的条件下，写出y的最小值．
【考点】二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】（1）v是x的一次函数，可设v=kx+b，然后把表中两组数据代入得到关于
k、b的方程组，解方程组求出k、b即可；
（2）由于u与x的平方成正比，则设u=ax2，所以y=ax2+2x﹣1，根据二次函数的最
值问题得到﹣ =﹣1，解得a=1，由此得到y关于x的函数式；
（3）把x=﹣1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可．
【解答】解：（1）设v=kx+b，把（0，﹣1）、（1，1）代入得 ，解得 ，
第17页（共25页）∴v=2x﹣1；
（2）设u=ax2，则y=ax2+2x﹣1，
∵当x=﹣1时，y=ax2+2x﹣1取最小值，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即 ，
∴a=1，
∴y=x2+2x﹣1，
（3）把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2，
即y的最小值为﹣2．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值：当a＞0时，抛物线在对称
轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最
低点，所以函数有最小值，当x= 时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称
轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最
高点，所以函数有最大值，当x= 时，y= ．
19．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S =10，求出此时点P的坐标．
△PAB
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用
第18页（共25页）配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S =10，即可算出y的值，代入抛物
△PAB
线解析式即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S = AB•|y|=2|y|=10，
△PAB
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x =﹣2，x =4，
1 2
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数
图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）
根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解
决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．（8分）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线
交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．
第19页（共25页）【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次
函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2﹣4a=0，然后
解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；
（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以
利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a2﹣4a=0，解得a =0（舍去），a =1，
1 2
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；
（2）∵y=（x+1）2，
∴顶点A的坐标为（﹣1，0），
∵点C是线段AB的中点，
即点A与点B关于C点对称，
∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线
与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，
抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．
第20页（共25页）21．（8分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的
矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的
函数关系式为多少？
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC= （30﹣x），然后根据矩形的面积
公式即可求出函数关系式．
【解答】解：∵AB边长为x米，
而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC= （30﹣x），
菜园的面积=AB×BC= （30﹣x）•x，
则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣ x2+15x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式
用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到 BC
长．
22．（10分）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，
为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20
千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x
的函数关系式；
（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可
第21页（共25页）得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：
y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．
（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，
解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数
关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程．本题属于基础
题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键．
23．（10分）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点
A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）将点C坐标代入解析式求得a即可；
（2）先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标，继而可得线段BC、CM、BM的长，
根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
第22页（共25页）∵由（1）知抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
令y=0，得：x2+2x﹣3=0，
∴x =﹣3，x =1，
1 2
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题
意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过
P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH
（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与
△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣ m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO
第23页（共25页）即可解决问题．
（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣ m2+1），由 = 列出
方程即可解决问题．
【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
∴﹣3=16a+1，
∴a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1
PO= = m2+1，
∴PO=PH．
（3）∵BC= = ，AC= = ，AB= =4
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴ = ，设点P（m，﹣ m2+1），
∴ = ，
解得m=±1，
第24页（共25页）∴点P坐标（1， ）或（﹣1， ）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，
属于中考压轴题．
第25页（共25页）
