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第22 章 二次函数（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的函数 是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 ，若点 都在该抛物线上，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数 ，且 ，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
4．二次函数 的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．坐标平面上有一水平线 与二次函数 的图形，其中 为一正数，且 与二次函数
图象相交于 、 两点，其位置如图所示．若 ： ： ，则 的长度为（ ）A．17 B．19 C．21 D．24
7．将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达
式是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D． 或
9．对于每个非零自然数 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点，以 表示这
两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，要围一个矩形菜园 ，共中一边 是墙，且 的长不能超过 ，其余的三边
用篱笆，且这三边的和为 ．有下列结论：
① 的长可以为 ；
② 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ；
③菜园 面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．二次函数 的对称轴是直线 ．
12．抛物线 的顶点坐标是 ．
13．二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为 ．
14．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式是 ；
15．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
16．如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于 ，
两点，则关于x的不等式 的解集为 ．
17．如图，已知二次函数 （ ， 为常数，且 ）的图像与 轴交于 ， 两点，
若线段 的长为4，则 的值是 ．18．如图，二次函数 的图像与 轴的交于 与 点，则下列结论正确的是
．（填序号）
①
②
③抛物线与 轴的另一个交点坐标是
④若点 ， ， 在抛物线上，则
⑤一元二次方程 的
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）以下是某同学将二次函数 改写成 形式的部分运算过程：
解： 第①步
第②步
第③步
……
（1）上面的运算过程中，从第_______步开始出现了错误．
（2）请你写出正确的解答过程．20．（8分）已知二次函数 的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）当 时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线 ，求出抛物线
的解析式．
21．（10分）已知抛物线 ，求：
（1）这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当x取什么值时， ？
（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？
22．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）设每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月获得最大利润？
（2）如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为多少元？；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月销售单价不低于60元，
那么每月成本最少需要多少元？
23．（10分）已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含 的代数式表示）；
（2）若点 ， 在该抛物线上，试比较 的大小；
（3）已知点 ， ，若该抛物线与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．
24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线的顶点，连接 、 ，求 的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据二次函数的定义，形如 这样的函数是二次函数，其中a、b、c是常
数，直接求解即可得到答案．
解：当 ，即 ，则 是二次函数．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的条件，知道二次函数二次项系数不为0是关键．
2．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵ ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∵点 都在该抛物线上， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
3．A
【分析】根据 ， ， ，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负
半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．
解：∵二次函数 中 ， ， ，
∴二次函数的解析式为 ，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为（0，c），在y轴负半轴，
∴二次函数 的图象 经过三、四象限；
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之
间的关系．
4．C
【分析】由图知， ，对称轴 ，得 ， ， ； 时， ；
时， ，变形求解．
解：由图知， ，对称轴 ，得 ， ， ，故A选项错误，D选项错误；
时， ，故B错误；
时， ，得 ，故C正确；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是
解题的关键．
5．D【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数 的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误；
B、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的顶点 ， ，矛盾，故
错误；
C、由一次函数 的图象可得： ，由其与y轴的交点可知 ，矛盾，故错误；
D、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的顶点 ， ，故正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，
以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．C
【分析】根据对称轴 ，结合 即可求解．
解：设对称轴与 交于点 ．
.
，
．
对称轴 ， ． ，
： ： ．
： ： ： ：
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．
7．C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律：上加下减，左加
右减是解题的关键．
8．D
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
由图可知：抛物线 在直线 上方时，x的范围是： 或 ，
即 的解集是 或 ，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．B
【分析】通过解方程 得 ， ，则 两点为 ，
，所以 ，则
，然后进行分数的混合运算
即可．
解：当 时， ，
，
解得 ， ，
∴ 两点为 ， ，∴ ，
∴
．
故选∶B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数， ）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
10．C
【分析】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，根据矩形的面积公式
列二次函数解析式，再分别根据 的长不能超过 ，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
解：设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，由题意得
，
其中 ，即 ，
① 的长不可以为 ，原说法错误；
③菜园 面积的最大值为 ，原说法正确；
②当 时，解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题
的关键．
11．【分析】根据二次函数 的对称轴为直线 计算即可．
解：已知二次函数 ， ，
所以对称轴为直线 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数 的对称轴为直线
是解题的关键．
12．
【分析】根据抛物线 的顶点坐标为 直接写出即可．
解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查抛物线的顶点求解方法，掌握抛物线的顶点求解方法是解题的关键．
13．
【分析】把 代入函数解析式，即可求解．
解：把 代入函数解析式，得
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的
关键．
14．
【分析】由关于x轴对称的点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可直接得出答案．解：∵抛物线 的图象上的点关于 轴对称后横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的抛物线的解析式是 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴、y轴对称的点的坐标
特征．
15．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
将 代入 得 ，
当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不
等式的关系．
16．
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
解：由图象可知，关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键
是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
17．12
【分析】先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标，再根据线段 的长为4，列出方程求解即可．
解：令 ，则 ，
解得 ，∵线段 的长为4，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查了二次函数与x轴交点的问题，正确求出抛物线与x轴两个交点的横坐标是解
题的关键．
18．①③④
【分析】根据函数图像可得 ， ，对称轴为直线 ，由此可判定①；根据图示，令 ，
函数值小于零可判定②；根据点 的坐标与对称轴可判定③；根据函数的对称轴，增减性可判定④；根据
图像确定二次函数系数的符号可判定⑤；由此即可求解．
解：二次函数 的图像与 轴的交于 与 点，且对称轴为 ，
∴点 ， ，且 ， ，
∴ ，
∴结论① ，
∵ ，
∴ ，故结论①正确；
结论② ，
根据图示，当 时， ，故结论②错误；
结论③抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ，
∵ ，对称轴为 ，
∴ ，故结论③正确；
结论④若点 ， ， 在抛物线上，则 ，
∵对称轴为 ，∴当 与 时的函数值相等，即 ，
当 时， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论④正确；
结论⑤一元二次方程 的 ，
∵ ， ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，故结论⑤错误；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握根据图像判定系数的符合，函数值的大小，函数的
增减性等知识是解题的关键．
19．（1）②；（2）
【分析】（1）由第② 步前面的系数丢了，所以出现错误；
（2）把第二步改为 ，再配方即可．
（1）解：上面的运算过程中，从第②步开始出现了错误
（2）解：
．
【点拨】本题考查的是利用配方法把二次函数化为顶点式，熟记配方法的步骤是解本题的关键．
20．（1） ；（2） ；（3）【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得出答案；
（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
（1）解： ，
∴抛物线C的顶点坐标为 ；
故答案为：
（2）解：∵ ， ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴ 当 时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1；
当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，二次函数的函数值y的取值范围为 ；
（3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线 ，且抛
物线C的顶点坐标为 ，
∴抛物线 的解析式为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（1）抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）求出抛物线与x轴的交点横坐标，再利用增减性求解即可；
（3）根据（2）即可得到答案．
（1）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（2）解：当 时，则 ，
解得 或 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当 或 时 ；
（3）解：由（2）可得当 时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握二次函数的相关
知识是解题的关键．
22．（1）当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；（2）如果每月获得8000元的利润，那么销
售单价应定为60元或80元；（3）每月成本最少需要10000元．
【分析】（1）设 ，把 代入即可求出一次函数的解析式，再根据总利润=单
件的利润×件数即可求出每月获得利润 （元）关于销售单价 （元）的函数解析式，利用二次函数的性质
求解即可；
（2）当 时，得到 ，解一元二次方程即可求解；
（3）求出x的取值范围，设成本为S，根据成本=进价×销售量，即可求出S与x的函数关系式，然后
利用一次函数的增减性即可求出S的最小值．
（1）解：设 ，把 代入可得 ，
解得 ；
∴ ，
，
∵ ，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，
∴当 时，w有最大值为 元，
∴当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；（2）解：当 时，则 ，
解得： ， ；
答：如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；
（3）解：设成本为S，
依题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴S随x增大而减小，
∴ 时，S有最小值为10000元，
答：每月成本最少需要10000元．
【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和实际问
题中的等量关系是解决此题的关键．
23．（1）对称轴为 ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据抛物线的交点式可确定抛物线与 轴的两个交点的横坐标，根据对称轴的计算方法
即可求解；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴，且抛物线开口向上，根据抛物线的增减性即可求解；
（3）抛物线 的开口向上，与 轴的两个交点为 ， ，点 在线段 上，
则点 不在线段 上，由此即可求解．
（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向上，与 轴的两个交点的横坐标为 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，即对称轴为 ．
（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；
∵ ，
∴ ．（3）解：已知点 ， ，
∴线段 在 轴上，且长为 ，
∵抛物线 的开口向上，与 轴的两个交点为 ， ，
∴点 在线段 上，
∵抛物线与线段 只有一个公共点，
∴点 不在线段 上，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，二次函数与线段交点，解一元一次
不等式等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
24．（1） ；（2）
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得 ， ，代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得顶点 的坐标，勾股定理求得 的长，勾股定理的逆定理可得
是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．
（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ；当 时，
∴ ， ；
∵抛物线 经过 、 两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为 ；（2）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
