文档内容
2025年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正
确的】
1．（4分）（2025•徐汇区二模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
2．（4分）（2025•徐汇区二模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛
物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3
1
3．（4分）（2025•徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y= 的图象交于A、
x
B两点，如果点A的坐标是（1，1），那么点B的坐标是（ ）
A．B（﹣1，﹣1） B．B（﹣1，1） C．B（1，﹣1） D．B（1，1）
4．（4分）（2025•徐汇区二模）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）
A．对全国初中学生视力状况的调查
B．对某科学通讯卫星上一种零部件的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查
5．（4分）（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500√3米
到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、C两地的距离
是（ ）
A．1000√3米 B．1500米 C．500√6米 D．1000米
6．（4分）（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回
时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是
第1页（共30页）（ ）
A．2千米/小时 B．3千米/小时
C．4千米/小时 D．5千米/小时
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2025•徐汇区二模）方程√x+1=3的根是 ．
2
8．（4分）（2025•徐汇区二模）函数y=- 的定义域是 ．
x+3
{x2- y2=0
9．（4分）（2025•徐汇区二模）方程组 的解是 ．
x-2y=6
10．（4分）（2025•徐汇区二模）如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是
．
11．（4分）（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值
范围是 ．
12．（4分）（2025•徐汇区二模）如果抛物线y＝x2﹣3x+2上的点A（﹣1，6）和B关于它的对称轴对称，
那么点B的坐标是 ．
13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知三张外观完全相同的卡片正面分别标有数字 1、2、3，从反面朝上
的三种卡片中随机抽出两张，那么这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是 ．
14．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，甲、乙两楼的楼间距 AC为10米，小杰在甲楼楼底A处测得乙
楼楼顶 B 的仰角为 60°，在乙楼楼底 C 处测得甲楼楼顶 D 的仰角为 45°，那么乙楼比甲楼高
米（结果保留根号）．
→ → → → →
15．（4 分）（2025•徐汇区二模）如图，正六边形 ABCDEF 中， BC=a，BE=b ，那么 BF
→ →
（用含 、 的式子表示）．
a b
第2页（共30页）16．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，梯形 ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3，那么
sin∠BDA的值是 ．
17．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝
2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是 ．
18．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得
矩形A′B′CD′，B′C恰好落在对角线AC上，联结A′A，如果A′C与边AD相交，且∠A′CB＝∠A′AC，那
么AC的长是 ．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
2 x+1 1
19．（10分）（2025•徐汇区二模）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x= ．
x-1 x2-2x+1 √2-1
{2(x-3)+x≤3
20．（10分）（2025•徐汇区二模）解不等式组： x+5 x 并在数轴上把解集表示出来．
＜ +2
3 2
第3页（共30页）21．（10分）（2025•徐汇区二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计
算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．
（1）根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量；
（2）求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整；
（3）该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相
同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器x个、B型计算器y个，求y关于x的函数关系式．
其中，三种型号的计算器的进价如表：
A型 B型 C型
进价（单位： 50 30 20
元/个）
22．（10分）（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，
求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直．
小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那
么四边形MBNC就是所求作的四边形．
（1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；
（2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出
作法或画出图形、结论，不必说明理由）．
第4页（共30页）23．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，
EF∥BD，延长CB到G，且BG＝BC，联结GF、CE．
（1）求证：GF＝CE；
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2＝GH•GF．
24．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点
3 5
C，与直线y=- x+ 交于点A（﹣2，n）和B（m，1）．
4 2
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点D在y轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点D到直线AC的距离；
3 5
（3）设直线y=- x+ 与x轴交于点E，已知点P、Q在直线CE上且在直线AB的下方（点P在点
4 2
Q的右侧），如果PQ=√34，BQ=AP，求点P、Q的坐标．
25．（14分）（2025•博山区二模）如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O
1
是边BC上的
动点，以点O 为圆心、O C为半径的圆交边▱AC于点E．设O C＝r．
1 1 1
（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；
（2）已知点O 是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O 也与点A重合），以点O 为圆
2 2 2
第5页（共30页）心、O O 为半径作 O ．
1 2 2
①当 O
2
与边AD有⊙公共点时，求r的取值范围；
②如⊙果 O
2
经过边AD的中点，求此时 O
2
与 O
1
的公共弦长．
⊙ ⊙ ⊙
第6页（共30页）2025年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C A B D B
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正
确的】
1．（4分）（2025•徐汇区二模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
a2•a3＝a5，则B不符合题意，
（a2）3＝a6，则C不符合题意，
（ab）2＝a2b2，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题
的关键．
2．（4分）（2025•徐汇区二模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛
物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第7页（共30页）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
再向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题
的关键．
1
3．（4分）（2025•徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y= 的图象交于A、
x
B两点，如果点A的坐标是（1，1），那么点B的坐标是（ ）
A．B（﹣1，﹣1） B．B（﹣1，1） C．B（1，﹣1） D．B（1，1）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，正比例函数与反比例函数图象的两个交点一定关于
原点对称，即可得出答案．
【解答】解：根据题意知：点A（1，1）与B关于原点对称，
所以B点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则与正比例函数
的两个交点一定关于原点对称．
4．（4分）（2025•徐汇区二模）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）
A．对全国初中学生视力状况的调查
B．对某科学通讯卫星上一种零部件的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查
【考点】全面调查与抽样调查．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时
长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代
表性，直接关系到对总体估计的准确程度，据此进行判断即可．
【解答】解：对全国初中学生视力状况的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则A不符合题意，
对某科学通讯卫星上一种零部件的调查，最适宜采用普查方式，则B符合题意，
第8页（共30页）对一批节能灯管使用寿命的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则C不符合题意，
对动画电影《哪吒2》的观影情况的调查，最适宜采用抽样调查的方式，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其优缺点是解题的关键．
5．（4分）（2025•徐汇区二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500√3米
到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C处（如图所示），那么A、C两地的距离
是（ ）
A．1000√3米 B．1500米 C．500√6米 D．1000米
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】求出∠FBC，根据平角的定义求出∠CBA，根据勾股定理求出AC即可；
【解答】解：∵SN∥AD，
∴∠EBA＝∠DAB＝60°，
∵∠FBC＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠FBC﹣∠EBA＝90°，
∵AB＝500√3米，BC＝500米，
由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=1000（米），
答：A、C两点之间的距离是1000米．
故选：D．
【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是能熟练地根据
性质进行推理和计算，题型较好，难度适中．
6．（4分）（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回
时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是
（ ）
第9页（共30页）A．2千米/小时 B．3千米/小时
C．4千米/小时 D．5千米/小时
【考点】分式方程的应用．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，根据时间
＝路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结
论．
【解答】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，
6 6 1
依题意，得： - = ，
x x+1 2
整理，得：x2+x﹣12＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣4，
1 2
经检验，x ＝3，x ＝﹣4是原方程的解，x ＝3符合题意，x ＝﹣4不符合题意，舍去．
1 2 1 2
所以学生返回时步行的速度为3千米/小时，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2025•徐汇区二模）方程√x+1=3的根是 x ＝ 8 ．
【考点】无理方程．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x＝8．
【分析】根据平方根的意义求解．
【解答】解：方程两边分别平方得：x+1＝9，
∴x＝8，
当x＝8时，左边=√8+1=3＝右边，
∴x﹣8是原方程的解，
故答案为：x＝8．
【点评】本题考查了无理方程，掌握平方根的意义是解题的关键．
2
8．（4分）（2025•徐汇区二模）函数y=- 的定义域是 x ≠﹣3 ．
x+3
【考点】函数自变量的取值范围．
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第10页（共30页）【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≠﹣3．
【分析】根据分母不为零列出不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，
∴函数的定义域是x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
{x2- y2=0 { x=2 {x=-6
9．（4分）（2025•徐汇区二模）方程组 的解是 或 ．
x-2y=6 y=-2 y=-6
【考点】高次方程．
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【专题】方程与不等式；运算能力．
{ x=2 {x=-6
【答案】 或 ．
y=-2 y=-6
{ x+ y=0
【分析】因为 x2﹣y2＝0，所以（x+y）（x﹣y）＝0，原来的方程组可以转化成 或
x-2y=6
{ x- y=0
，求出x、y即可．
x-2y=6
【解答】解：因为x2﹣y2＝0，
所以（x+y）（x﹣y）＝0，
{x2- y2=0
由 可得方程组：
x-2y=6
{ x+ y=0 { x- y=0
或 ，
x-2y=6 x-2y=6
{ x=2 {x=-6
解得： 或 ．
y=-2 y=-6
{ x=2 {x=-6
故答案为： 或 ．
y=-2 y=-6
【点评】本题考查了高次方程，解决本题的关键是将二元二次方程组转化成二元一次方程组计算．
10．（4分）（2025•徐汇区二模）如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是
1
m≥- ．
4
【考点】根的判别式．
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第11页（共30页）【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
1
【答案】m≥- ．
4
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m
的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m≥0，
1
解得：m≥- ．
4
1
故答案为：m≥- ．
4
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方
程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．⇔
11．（4分）（2025•徐汇区二模）若抛物⇔线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分⇔是下降的，则m的取值
范围是 m ＜ 0 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】m＜0．
【分析】求得抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可判断m＜0．
-4m
【解答】解：抛物线y＝mx2﹣4mx+1的对称轴为直线x=- =2，
2m
∵抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，
∴抛物线开口向下，
∴m＜0，
故答案为：m＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
12．（4分）（2025•徐汇区二模）如果抛物线y＝x2﹣3x+2上的点A（﹣1，6）和B关于它的对称轴对称，
那么点B的坐标是 （ 4 ， 6 ） ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（4，6）．
【分析】根据抛物线的对称性，将y＝6代入抛物线的解析式进行计算即可．
第12页（共30页）【解答】解：由题知，
因为点A（﹣1，6）和B关于抛物线y＝x2﹣3x+2的对称轴对称，
则将y＝6代入抛物线的解析式得，
x2﹣3x+2＝6，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
所以点B的坐标是（4，6）．
故答案为：（4，6）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，
熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知三张外观完全相同的卡片正面分别标有数字 1、2、3，从反面朝上
1
的三种卡片中随机抽出两张，那么这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是 ．
3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】 ．
3
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片上的数字恰好都小于 3的结果数，再利用概
率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字恰好都小于3的结果有：（1，2），（2，1），共2
种，
2 1
∴这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率为 = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
14．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，甲、乙两楼的楼间距 AC为10米，小杰在甲楼楼底A处测得乙
第13页（共30页）楼楼顶B的仰角为60°，在乙楼楼底C处测得甲楼楼顶D的仰角为45°，那么乙楼比甲楼高 （ 1 0
√3- 10 ） 米（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（10√3-10）．
【分析】在Rt△ADC和Rt△ABC中，利用45°、60°角的正切值，分别求出AD和BC，即可找出差距．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝10m，
∴BC＝ACtan60°＝10√3，
在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，
∴AD＝ACtan45°＝10，
∴BC﹣AD＝10√3-10（米），
答：乙楼比甲楼高（10√3-10）米．
故答案为：（10√3-10）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形
是解题的关键．
→ → → → → → →
15．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，正六边形 ABCDEF中， BC=a，BE=b ，那么 BF =b-a
→ →
（用含 、 的式子表示）．
a b
【考点】正多边形和圆；*平面向量．
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【专题】正多边形与圆；运算能力．
第14页（共30页）→ →
【答案】 b-a ．
【分析】根据正多边形的性质和向量的和差进行计算求解．
【解答】解：在正六边形ABCDEF中，
→ → →
有： BC=FE=a ，
→ → → → → → → → → →
∵ BF+FE=BE ，∴ BF=BE-FE=b-a ，故答案为： b-a ．
【点评】本题考查了正多形和圆，掌握正多边形的性质和向量的和差是解题的关键．
16．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，梯形 ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3，那么
4
sin∠BDA的值是 ．
5
【考点】梯形；解直角三角形．
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【专题】梯形；推理能力．
4
【答案】 ．
5
【分析】过点C作CE∥BD，交AD的延长线于E，根据平行四边形的性质求出CE，根据勾股定理求出
AE，再根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于E，
则∠BDA＝∠CEA，
∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∵BC∥AD，CE∥BD，
∴四边形BDEC为平行四边形，
∴CE＝BD＝3，
由勾股定理得：AE=√AC2+CE2=√42+32=5，
AC 4
∴sin∠CEA= = ，
AE 5
第15页（共30页）AC 4
∴sin∠BDA= = ，
AE 5
4
故答案为： ．
5
【点评】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形，掌握梯形的性质、正弦的定义、正确作出辅助线
是解题的关键．
17．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE＝
2BE，AE和BD交于点O，那么△BOE和四边形OECD的面积比是 1 ： 5 ．
【考点】三角形的面积．
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【专题】三角形；运算能力．
【答案】1：5．
【分析】连接OC，设S ＝S，S ＝S ，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”
△BOE △COD 1
将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出△BOE和四边形OECD的面积比即可．
【解答】解：如图，连接OC．
设S ＝S，S ＝S ，
△BOE △COD 1
∵CE＝2BE，点D是边AC的中点，
∴S ＝2S，S ＝S ，
△COE △AOD 1
∵S ＝S ，
△ABD △BCD
∴S +S ＝3S+S ，
△AOB 1 1
∴S ＝3S，
△AOB
第16页（共30页）∵S ：S ＝1：2，即（3S+S）：（2S +2S）＝1：2，
△ABE △ACE 1
∴S ＝3S，
1
∴S四边形OECD ＝2S+S
1
＝2S+3S＝5S，
∴S
△BOE
：S四边形OECD ＝S：5S＝1：5．
故答案为：1：5．
【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关
键．
18．（4分）（2025•徐汇区二模）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得
矩形A′B′CD′，B′C恰好落在对角线AC上，联结A′A，如果A′C与边AD相交，且∠A′CB＝∠A′AC，那
么AC的长是 2√5-2 ．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2√5-2．
【分析】先证明△CMD≌△A'AB'，推出 AB'＝DM，设AB'＝DM＝x，由勾股定理得AB2＝（2+x）2﹣
22，CD2＝（2﹣x）2﹣x2，根据 AB＝CD，列式计算即可求解．
【解答】解：设∠ACB＝ ，记AC和AD相交于点M，
α
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD，AD∥CB，
∴∠DAC＝∠ACB＝ ，
由旋转的性质得∠Aα'CB'＝∠ACB＝ ，A'B'＝CD，
∴∠MAC＝∠MCA＝ ， α
∴AM＝CM，∠CMDα＝2 ，
α
第17页（共30页）∵∠A'CB＝∠A'AC，
∴∠A'CB＝∠A'AC＝2 ，
∴∠CMD＝∠A'AB'＝2α，
∵∠CDM＝∠A'B'A＝90α°，
∴△CMD≌△A'AB'，
∴AB'＝DM，
设AB'＝DM＝x，
∴AM＝CM＝2﹣x，AC＝AB'+B'C＝2+x，
由勾股定理得AB2＝AC2﹣BC2＝（2+x）2﹣22，CD2＝CM2﹣DM2＝（2﹣x）2﹣x2，
∵AB＝CD，
∴（2+x）2﹣22＝（2﹣x）2﹣x2，
解得b=-4±2√5，
∴AC=2-4+2√5=2√5-2，
故答案为：2√5-2．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元
二次方程，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
2 x+1 1
19．（10分）（2025•徐汇区二模）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x= ．
x-1 x2-2x+1 √2-1
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1，√2．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原
式＝x+1，然后分母有理化得到x的值，最后把x的值代入计算即可．
x-1+2 (x-1) 2
【解答】解：原式= •
x-1 x+1
x+1 (x-1) 2
= •
x-1 x+1
＝x﹣1，
1
当x = =√2+ 1，原式=√2+1﹣1=√2．
√2-1
【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据
题目的具体条件选择合适的方法．
第18页（共30页）{2(x-3)+x≤3
20．（10分）（2025•徐汇区二模）解不等式组： x+5 x 并在数轴上把解集表示出来．
＜ +2
3 2
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【答案】见试题解答内容
【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等
式的解集．若没有交点，则不等式无解．
{ 2x-6+x≤3 {3x≤9
【解答】解：原不等式组可化为： ，即 ，
2x+10＜3x+12 -x＜2
{ x≤3
解得： ．
x＞-2
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等
式的解，若x同时小于某一个数，那么解集为x小于较小的那个数．
21．（10分）（2025•徐汇区二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计
算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．
（1）根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量；
（2）求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整；
（3）该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相
第19页（共30页）同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器x个、B型计算器y个，求y关于x的函数关系式．
其中，三种型号的计算器的进价如表：
A型 B型 C型
进价（单位： 50 30 20
元/个）
【考点】条形统计图；一次函数的应用；扇形统计图．
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【专题】一次函数及其应用；统计的应用；应用意识．
【答案】（1）3月份各种型号计算器的销售总量为300个；
（2）A型计算器销售量为120个；
（3）y关于x的函数关系式为y＝220﹣3x．
【分析】（1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号
计算器的销售总量；
（2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图；
（3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为（300﹣x﹣y）只，根据其数量和
与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到50x+30y+20（300﹣x﹣y）＝
8200，整理即可．
【解答】解：（1）60÷20%＝300（个），
∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个；
（2）A型计算器销售量为：300×40%＝120（个），
条形统计图如图：
（3）∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只，
∴C型计算器为（300﹣x﹣y）只，
根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，
第20页（共30页）∴50x+30y+20（300﹣x﹣y）＝8200，
整理得：y＝220﹣3x，
∴y关于x的函数关系式为y＝220﹣3x．
【点评】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题．
22．（10分）（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，
求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直．
小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那
么四边形MBNC就是所求作的四边形．
（1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；
（2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出
作法或画出图形、结论，不必说明理由）．
【考点】作图—复杂作图；菱形的性质；矩形的性质．
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【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）分别证明四边形ABNM，四边形MNCD是平行四边形即可；
（2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于
∠DAB．
【解答】解：（1）作法正确．
理由：∵MN＝AB，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴BN＝AM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB∥MN，
第21页（共30页）∴MN⊥BC，
∵MN＝CD，MN∥CD，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴CN＝DM；
（2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于
∠DAB．
方法：1．过点N作MN∥AD并截取MN＝AD；
2．分别联结AM、BM．那么四边形AMBN就是所求作的四边形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
23．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，
EF∥BD，延长CB到G，且BG＝BC，联结GF、CE．
（1）求证：GF＝CE；
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2＝GH•GF．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由正方形的性质得∠ABC＝∠CDA＝90°，AB＝AD，则∠GBF＝∠CDE＝90°，∠ABD
＝∠ADB，由EF∥BD，推导出∠AFE＝∠AEF，则AF＝AE，可证明BF＝DE，BG＝DC，即可根据
“SAS”证明△GBF≌△CDE，则GF＝CE；
（2）延长 GF交CE 于点 H，联结 BH，由 BC∥AD，得∠GCH＝∠CED，而∠G＝∠DCE，所以
第22页（共30页）1
∠G+∠GCH＝∠DCE+∠CED＝90°，则∠GHC＝90°，所以BH＝GB= GC，则GC•GB＝2BH2，再证明
2
GF GB
△GBF∽△GHC，得 = ，所以GC•GB＝GH•GF，则2BH2＝GH•GF．
GC GH
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠CDA＝90°，AB＝AD，
∴∠GBF＝∠CDE＝90°，∠ABD＝∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠AFE＝∠ABD，∠AEF＝∠ADB，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∴AB﹣AF＝AD﹣AE，
∴BF＝DE，
∵BG＝BC，DC＝BC，
∴BG＝DC，
在△GBF和△CDE中，
{
BG=DC
∠GBF=∠CDE，
BF=DE
∴△GBF≌△CDE（SAS），
∴GF＝CE．
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，
∵BC∥AD，
∴∠GCH＝∠CED，
由（1）得△GBF≌△CDE，
∴∠G＝∠DCE，
∴∠G+∠GCH＝∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠GHC＝180°﹣（∠G+∠GCH）＝90°，
1
∴BH＝GB= GC，
2
∴GC＝2BH，
∴GC•GB＝2BH•BH＝2BH2，
∵∠GBF＝∠GHC＝90°，∠G＝∠G，
第23页（共30页）∴△GBF∽△GHC，
GF GB
∴ = ，
GC GH
∴GC•GB＝GH•GF，
∴2BH2＝GH•GF．
【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质等知识，证明△GBF≌△CDE及△GBF∽△GHC是解题的关键．
24．（12分）（2025•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点
3 5
C，与直线y=- x+ 交于点A（﹣2，n）和B（m，1）．
4 2
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点D在y轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点D到直线AC的距离；
3 5
（3）设直线y=- x+ 与x轴交于点E，已知点P、Q在直线CE上且在直线AB的下方（点P在点
4 2
Q的右侧），如果PQ=√34，BQ=AP，求点P、Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
9 3
【答案】（1）y= x2- x﹣2；
8 4
7√10
（2） ；
10
5 1 5 7
（3）P（ ，- ），Q（- ，- ）．
2 2 2 2
第24页（共30页）【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可；
（2）利用矩形对角线相等求出OD＝AB＝5，所以D（0，5），再求出C点坐标，进而利用△ACD的
面积建立方程求解即可；
（3）先求出直线CE的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出PQ、BQ、AP，建立方
程求解即可．
3 5
【解答】解：（1）将A（﹣2，n）代入y=- x+ 得，n＝4，
4 2
3 5
将B（m，1）代入y=- x+ 得，m＝2，
4 2
∴A（﹣2，4），B（2，1），
将A、B代入抛物线y＝ax2+bx﹣2得，
9
{ a=
{4a-2b-2=4 8
，解得 ，
4a+2b-2=1 3
b=-
4
9 3
∴抛物线表达式为y= x2- x﹣2；
8 4
（2）如图，
由A，B坐标可知AB被y轴平分，
∴AB为对角线，
∴OD＝AB=√(-2-2) 2+(4-1) 2=5，
∴D（0，5），
9 3
由y= x2- x﹣2可知，当x＝0时，y＝﹣2，
8 4
∴C（0，﹣2），
第25页（共30页）∴AC=√(-2-0) 2+(4+2) 2=2√10，CD＝7，
设点D到AC的距离为h，
1 1
则S = CD•|x |= AC•h，
△ACD 2 A 2
CD⋅|x | 7×2 7√10
∴h= A = = ，
AC 2√10 10
7√10
即点D到AC的距离为 ；
10
3 5
（3）∵直线y=- x+ 与x轴交于点E，
4 2
10 10
∴当y＝0时，x= ，即E（ ，0），
3 3
设直线CE的表达式为y＝kx+b′，
{10 { 3
k+b'=0 k=
∴ 3 ，解得 5 ，
b'=-2 b'=-2
3
∴直线CE的表达式为y= x﹣2，
5
3 3
设P（m， m﹣2），Q（n， n﹣2），且m＞n，
5 5
∵PQ=√34，
3 3
∴PQ2＝（m﹣n）2+（ m﹣2- n+2）2＝34，
5 5
34
整理得 （m﹣n）2＝34，
25
∴（m﹣n）2＝25，
∵m＞n，
∴m﹣n＝5，
即m＝5+n，
∵BQ＝AP，
3 3
∴BQ2＝AP2，即（n﹣2）2+（ n﹣2﹣1）2＝（m+2）2+（ m﹣6）2，
5 5
第26页（共30页）5
将m＝5+n代入上式得n=- ，
2
5
∴m= ，
2
5 1 5 7
∴P（ ，- ），Q（- ，- ）．
2 2 2 2
【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公
式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（14分）（2025•博山区二模）如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O
1
是边BC上的
动点，以点O 为圆心、O C为半径的圆交边▱AC于点E．设O C＝r．
1 1 1
（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；
（2）已知点O 是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O 也与点A重合），以点O 为圆
2 2 2
心、O O 为半径作 O ．
1 2 2
①当 O
2
与边AD有⊙公共点时，求r的取值范围；
②如⊙果 O
2
经过边AD的中点，求此时 O
2
与 O
1
的公共弦长．
⊙ ⊙ ⊙
【考点】圆的综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
5
【答案】（1） ；
2
（2）①0＜r≤5；②5√3．
1
【分析】（1）过O
1
作O
1
H⊥AC于点H，由垂径定理可得CH＝EH=
4
AC＝2，再利用相似或者三角函
数求解即可；
（2）①当点E与A重合时可知r＝5，再根据O O ＞O M，O O ＜O D可知在点O 运动过程中， O
1 2 2 1 2 2 1 2
与边AD始终有公共点，进而即可得出r的范围； ⊙
②利用O F＝O O 建立方程求解，得到r＝5，即此时O 与A重合，进而即可得解．
2 1 2 2
【解答】解：（1）如图，过O
1
作O
1
H⊥AC于点H，
第27页（共30页）则EH＝CH，
∵AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，
∴AC=√BC2-AB2=8，
∵E为AC中点，
1
∴CE= AC=4，
2
1
∴CH= CE=2，
2
CH AC
∴cos∠ACB = = ，
O C BC
1
2 8
即 = ，
r 10
5
解得r= ；
2
（2）①当点E与点A重合时，
1
此时O 与A重合，CH＝EH= AC，
2 2
O C CH 1
∴ 1 = = ，
BC AC 2
∴O C＝5，即此时r＝5，
1
∵O O ＞O E，O E＝O A，
1 2 2 2 2
∴O O ＞O A，
1 2 2
过O
2
作O
2
M⊥AD于点M，
第28页（共30页）∵sin∠MAO
2
＝sin∠ACB，
O M AB 3
∴ 2 = = ，
O A BC 5
2
3
∴O M= O A，
2 5 2
又∵O O ＞O M，O O ＜O D，
1 2 2 1 2 2
∴在点O 运动过程中， O 与边AD始终有公共点，
1 2
∴0＜r≤5； ⊙
1
②如图，记AD中点为F，过F作FN⊥AC，过O
1
作O
1
H⊥AC于点H，则FN=
2
CD=3，
AC CH
∵cos∠ACB = = ，
BC O C
1
8 CH
∴ = ，
10 r
4 3
∴CH= r，O H= r，
5 1 5
1 4
∴O A= （AC﹣CE）＝4- r，
2 2 5
4 4
∴O N＝AN﹣O A＝4﹣（4- r）= r，
2 2 5 5
4
在Rt△O
2
FN中，O
2
F＝9+（
5
r）2，
1
∵O H= AC=4，
2 2
第29页（共30页）3
∴在Rt△O
1
O
2
H中，O
1
O
2
2=16+（
5
r）2，
∵O F＝O O ，
2 1 2
4 3
∴9+（ r）2＝16+（ r）2，
5 5
解得r＝5（负值舍去），
∴此时E和A重合，即O 与A重合，如图所示，PQ为公共弦，
2
∵O O ＝O P＝O P，
1 2 1 2
∴△O
1
O
2
P是等边三角形，
5√3
∴PL= ，
2
∴PQ＝5√3，即 O 与 O 的公共弦长为5√3．
2 1
【点评】本题主⊙要考查⊙了解直角三角形、垂径定理、圆的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
第30页（共30页）
