文档内容
期中数学测试仿真冲刺卷（一）
人教版九上
试卷信息：满分120分，考试时间120分钟；命题范围：九年级上册（1-3章），难度比例：基础
题70%，中档题20%，压轴题10%；题量分布：24题（选择题10题+填空6题+解答题8题）．
一、选择题（10题×3分=30分）
1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反
数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解．
解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故选：A．
2．（25-26九年级上·广东·期中）用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程
左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
解： ，
移项得， ，
等式两边同时加上4得， ，
∴ ．
故选：A．3．（2024·四川·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方
程根的情况”是解本题的关键．对于 ，当 时，方程有两个不相等的实数
根，当 时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程没有实数根，据此即可解答．
解： ，
∴ ，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将二次函数 的图像向上平移6个单位，向
左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．
根据抛物线平移规律即可得到答案．
解：将二次函数 的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式
为 ，即 ，
故选：C．
5．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在 中， ，在同一平面内，将
绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌
握旋转的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求得 ，再根据旋转的性质
得到 ，进而得到 ，然后根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
根据旋转的性质可得： ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）二次函数 的图像经过四个点
．若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意确定点 在对称轴的左侧，点
在对称轴的右侧，且点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离是解题关键．
首先确定该二次函数的图像的对称轴为 ，且开口向上， ，结合 可得点
在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，且点 到对称轴的距离大于点
到对称轴的距离，然后列出关于 的不等式组，求解即可获得答案．解：对于二次函数 ，
其对称轴为 ，且开口向上，
将点 代入二次函数解析式 ，
可得 ，即 ，
∴当 时，可有 ，
又∵ ，
∴点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，且点 到对称轴的距离大于点
到对称轴的距离，
∴可有 ，解得 ，
∴ ，即 ．
故选：A．
7．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，在 中， ， ，点 在 边
上，且 ，若 ，则 长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用
这些知识点是解题关键．
将 绕点A逆时针旋转 得到 ，根据等腰直角三角形的性质确定 ，再由旋转的性质得出 ， ，然后结合图形利用勾股定理求
解即可．
解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵旋转， ，
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C
8．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．
某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7
两个月产值的月均增长率为 ，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方
程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，根据连续两个月的月均增长率建
立方程即可．
解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，
根据题意，得 ．
故选：A．9．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头
M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷
出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高度是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题
的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
解： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ，即2.75米，
故选：B．
10．（24-25九年级上·浙江·期中）小颖在研究二次函数 （m为常数）性质时，
有以下结论：①对称轴为直线 ；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为 ，
则m的值为3；④若 ， ，则 ．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先利用配方法把解析式配成顶点式为
，根据二次函数的性质得到可对①进行判断；令 ，解方程
得m的值为3或 ，则可对③进行判断；计算方程 的根的判别式得到，由于当 时， ，则抛物线与x轴有一个交点，从而可对③进行判断；利用
得到 ，根据二次函数的性质得到 ．从而可对④进行
判断．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，所以①正确；
当 时，y有最小值 ，
若y的最小值为 ，则 ，
解得 ，
即若函数的最小值为 ，则m的值为3或 ，所以③错误；
当 时， ，
∵ ，
∴当 时， ，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点；
当 时， ，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，所以②错误；
∵ ， ，
∴ ，
而抛物线的开口向上，
∴ ．所以④正确．
故选：D．
二、填空题（6题×4分=24分）
11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
先移项，再根据因式分解法计算即可．
解： ，，
，
解得： ， ，
故答案为： ， ．
12．（25-26九年级上·天津·阶段练习）对于二次函数 ，当 时， 的取值范围
是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数 ，得出开口方向向下，对称
轴是y轴，结合 ，得出的取值范围是 ，即可作答．解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．
解：∵二次函数 ， ，对称轴为y轴，
∴该函数图象开口向下，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y取得最大值4，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
13．（21-22九年级上·四川泸州·期中）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛两场，根
据时间和场地等条件，赛程计划安排6天，每天安排5场比赛，设比赛组织者邀请x个队参赛，则
可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题是一元二次方程的应用．设比赛组织者邀请x个队参赛，则每个队参加 场比
赛，共有 场比赛，可以列出一个一元二次方程．解：设比赛组织者邀请x个队参赛，
依题意列方程得： 每个队参加 场比赛，
∴共有 场比赛，
∴ ，
故答案为： ．
14．（20-21九年级上·安徽亳州·阶段练习）直线 与抛物线 的图象如图，当
时， 的取值范围为
【答案】 或 / 或
【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的 的取值范围即可．
解：∵直线 与抛物线 的图象交点的横坐标分别为 ，
∴当 时， 的取值范围为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
15．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程 的两个根分别是 ，则
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程 的两根为 ， ，则 ．
根据根与系数的关系和方程的解得到 ， ，
，代入，并再将原式化简为 ，即可求解．
解：∵方程 的两个根分别是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，P是等边 中的一个点， ， ，
，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理逆定理等几何知识点问题；解题的关
键是作旋转变换，借助旋转变换的性质将该题分散的条件集中．如图，作旋转变换，运用旋转变换
的性质首先证明 为等边三角形，得到 ，然后证明 ，求出线段
， ，运用勾股定理求出 的长度，最后运算勾股定理算出 的
高，然后根据面积公式列式计算，即可解决问题．解：将 绕点C沿逆时针方向旋转 到 的位置；
连接 ；过点 作 ，交 的延长线于点M．
由旋转变换的性质得： ， ， ；
∴ 为等边三角形， ， ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
由勾股定理得： ，
∴ ，
过点A作 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ 的面积是 ，
故答案为： ．
三、解答题（8题共66分）
17.（每小题3分，共6分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习） 解方程∶
（1） （2）【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（ ）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可；
（ ）利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ， ， ，
∵ ，
∴ ， ．
18.（每小题4分，共8分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象过点 ，
， ，
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象，并直接写出使函数值 的 的取值范围_____．
【答案】（1） ；（2）图见分析，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
（1）设交点式 ，然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后结合函数图象，
写出函数值大于或等于3所对应的自变量的范围．
解：（1）解：由题意，设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
即 ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
如图，
函数值 时对应x的取值范围为 ．
故答案为： ．
19.（8分）（23-24九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，每个
小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为 ，点A是点 关于y轴的对称点．
（1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接 ；（2）画出 绕着点O顺时针旋转 的图形 ．
【答案】（1） ，图形见分析；（2）见分析
【分析】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）根据轴对称变换得出A点位置进而得出答案；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可．
解：（1）解：∵点A是点 关于y轴的对称点，
∴点A的坐标为 ；
如图，线段 即为所求；
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求．
20.（8分）（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知关于 的方程 ，
为常数．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；（2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）正确，理由见分析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识．
（1）根据题意得到 ，即可求出 ；
（2）假设 ，代入得 ，再利用判别式进行判定方程是否有解即可．
解：（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）解：假设 ，则 ，
，
方程没有实数根，
小明的观点正确 ．
21.（8分）（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点
逆时针旋转得到 ，点 的对应点 落在 上．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______和______；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）连接 ，在 中，添加与角相关的一个条件，使 是等边三角形．（不要说明理
由）
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）添加 或 ．
【分析】本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是
解题的关键．
（ ）根据旋转定义即可求解；
（ ）通过勾股定理得 ，由旋转性质可得 ，然后由线段和差即可求解；
（ ）根据“一个角是 的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解．
解：（1）解：根据旋转定义可得，旋转中心是点 ，旋转角是 和 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
由旋转性质可得 ，
∴ ；
（3）解： 添加 ，
由旋转性质可得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
添加 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
22.（8分）（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商
品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的
前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率．
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销
售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
【答案】（1） ；（2）10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为 ，利用该商品三月份的销售量 该商品一月份的销售量
二、三这两个月的月平均增长率 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，根据商场
获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
解：（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为 ，根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为 ；
（2）解：设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．
23.（10分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线 （ ， 为常数），经过
点 ， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最
值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值．
（1）用待定系数法，将两个点的坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求得
函数表达式；
（2）根据 的取值范围，求得抛物线的最大值和最小值，再根据抛物线的最大值与最小值的和为
3，即可求得 的值；
解：（1）解：将 和 分别代入解析式得： ，
解得 ，
∴ ；（2）解：当 时， ， ， ， ，
∵抛物线最大值与最小值的和为3，
∴ ，
∴ ， （舍），
当 时， ， ， ， ，
∴ （舍），
当 时， ， ， ， ，
∵抛物线最大值与最小值的和为3，
∴ ，
∴ ， （舍），
综上所述： ， ．
24.（10分）（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物
线 经过点 、点 ， 是抛物线上第一象限内的点，过点 作直线
轴于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 的最大值，并求此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若 是抛物线的对称轴上的一动点， 是抛物线上的一动点，是否存点点
、 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点 的坐标，若不存
在，请说明理由．【答案】（1） ；（2）最大值为 ， ；（3）存在， 或
或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，线段最值问题，平行四边形的性质．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点M的坐标是 ，则点 ，表示 ，然后利用二次函数的配方
法求最值即可；
（3）分 是对角线、 是对角线和 是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
解：（1）由题意得： .解得：
∴抛物线的函数解析式是： ，
（2）设点M的坐标是 ，则点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ，
这时点 ；
（3）存在，理由如下：由（1）（2）抛物线的对称轴是直线 ，点 ，
设点 ， ，
分三种情况讨论：
①当 是对角线时， ，解得： ，
∴
∴点 ；
②当 是对角线时， ，解得： ，
∴ ，
∴点 ；
③当 是对角线时， ，解得： ，
∴ ，
∴点 ；
综上所述，存 或 或 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四
边形．
