文档内容
期中重难点检测卷（培优卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：21~ 23章（一元二次方程+二次函数+旋转全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）用配方法解方程 ，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
故选：D．
2．（2025·山西长治·模拟预测）数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美
感．下列数学图形中，属于中心对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是理解中心对称图形的定义，即把一个图形绕着某一
个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对每个图形，
依据中心对称图形的定义进行判断解．
【详解】解：图1，该图形绕着某个点旋转 后，能与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
图2，此图形绕着某个点旋转 后，不能与原来的图形重合，所以它不是中心对称图形；
图3，该图形绕着某个点旋转 后，能与原来的图形重合，是中心对称图形；
图4，该图形绕着某个点旋转 后，不能与原来的图形重合，不是中心对称图形故选．
故选：B．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）对二次函数 的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．当 时 随 增大而增大 D．最小值是4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本
题的关键．
根据二次函数顶点式 的性质分析各选项。顶点坐标为 ，对称轴为 ，开口方向由
a的正负决定。当 时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧 y随x增大而增大．
【详解】解：函数为 ，
故顶点坐标为 ，选项A的顶点坐标 错误，
对称轴为 ，选项B中“ ”错误．
，开口向上，当 时，y随x增大而增大，选项C正确．开口向上时最小值为 ，选项D中“最小值是4”错误．
故选：C．
4．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取
值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的情况，考查的是对根的判别式的理解，掌握一元二次方程根的
判别式是解题关键．由方程是一元二次方程可得： ，由方程有实数根列不等式得 的范围，综合得
到答案．
【详解】解：因为一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得： 且 ．
故选：D．
5．（24-25九年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点为 ，则
（ ）
A．12 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的
关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则
计算得到答案．
【详解】解： 点 关于原点的对称点为 ，
，
，
故选：B．
6．（24-25九年级上·山东青岛·期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知
该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨 元时，可获得1870元的利润，则
下列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是
解题的关键．
【详解】解：根据题意可得： ，
故选：A．
7．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，函数 和 (a是常数，且 )在
同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
E．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数 在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的
图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开
口向下，故选项错误；
B、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，对称
轴为直线 ，故选项正确；C、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，对称
轴为直线 ，，故选项错误；
D、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，故选
项错误．
故选：B．
8．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）小亮爸爸想用长为 的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，
羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为 ，面积为 ，则y与x的函数关
系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为 ，面积为
，则与墙平行的一边长为 ，即可得到解析式．
【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为 ，面积为 ，
则y与x的函数关系式是 ，
故选：D．
9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，将 先向左平移 个单位，再绕原点 逆时针旋转
，得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转、坐标与图形变化 平移，结合平移的性质、旋转的性质先画出
图形，即可得答案．
【详解】解：由图可得，点 的对应点 的坐标为 ．
故选：C．
10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，
下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
根据抛物线 与y轴交点的位置、开口方向、对称轴位置即可判断A选项；根据抛物线与x轴
有两个交点即可判断B选项；由图象可知，当 时，对应点在x轴的上方可知 ，可判断C
选项；根据图象经过点 两点，即可得出对称轴为直线 ，可判断D选项．
【详解】解：A、由抛物线开口向上，可知 ，二次函数 的图象与 轴交于正半轴，则
，对称轴为直线 ， ，所以 ，所以 ，故A错误，不符合题意；
B、二次函数 的图象与 轴有两个交点， ，故B错误，不符合题意；
C、由图可知，图象上横坐标为 的点在 轴上方，即 ，故C错误，不符合题意；
D、二次函数 的图象经过点 ， ，则对称轴为直线 ，故D正确，符
合题意；
故选：D．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）设a，b是方程 的两个根，则．
【答案】2028
【分析】根据a是方程的根，将 用a表示出来，将 进行化简，根据a，b是方程
的两个根求出 ，从而可得答案．
【详解】解：∵a是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a，b是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2028．
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线 的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据二次函数图象的开口方向即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线 的图象不经过第一、二象限，
故抛物线图象必开口向下，故 ，
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知 ， 绕着点A逆时针旋转 后能
与 重合，则 的度数是 ．
【答案】 /13度
【分析】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到 ， ，利用 即可求解．【详解】解：由题意得： ，
，
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，由图象
可知，不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次不等式的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
先根据二次函数图象与 轴的一个交点和对称轴求出另一个交点，再根据函数图象在 轴上方时 确定
不等式的解集．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ，
∴二次函数 的图象与 轴的另一个交点为 ，
∵不等式 ，即 ，
∴此时函数图象在 轴上方，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的长 为 ，宽
为 ，动点 从点 出发沿 运动，当 的面积等于四边形 面积的 时，点
的坐标为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了坐标与图形，设 的 边上的高为 ，根据 的面积等于四边形 面积
的 ，列出方程，求得 ，即可求解．
【详解】解：设 的 边上的高为 ，
长方形 的长 为 ，宽 为 ，
，
的面积等于四边形 面积的 ，
，
即 ，
解得 ，
动点 从点 出发沿 运动，
点 的坐标为 或
故答案为 或
16．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）苍南队在浙 训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线
，篮球出手至入筐过程中的水平距离 长为 米．【答案】4
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将 代入二次函数的解析
式可得 或 ，再根据二次函数的对称轴为直线 ，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即
可得．
【详解】解：由题意，将 代入抛物线 得： ，
解得 或 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且 ，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离 长为4米，
故答案为：4．
三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题
每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）已知一元二次方程 的右边被墨水污染．
(1)若方程的一个解为 ，求“ ”的值．
(2)若“ ”表示3x，求x的值．
【答案】(1)3
(2) .
【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二
次方程的方法．
（1）把 代入 ，求出即可；（2）根据题意，可得方程为 ，解出方程即可．
【详解】（1）解：由条件可知 ，
“ ”的值为3．
（2）解：由题意知方程为 ，
．
，
，
，
．
18．（24-25九年级上·重庆合川·期中）抛物线 与x轴的一个交点为 ．
(1)求k的值；
(2)求该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及二次函数与一元二次方程的关系等知识．
（1）将点 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值；
（2）确定出抛物线的解析式，令抛物线中 ，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的
另一交点的坐标．
【详解】（1）把 代入 可得，
，
∴ ；
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，解得 ， ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标 ．
19．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）画出平行四边形 绕B点逆时针转 后的图形．
【答案】作图见解析
【分析】本题主要考查了图形旋转的概念，即图形绕某一点旋转一定角度后，图形的大小和形状不变，但
位置发生了改变，准确理解作图是解题的关键．分别将线段 、 、 、 绕点 旋转 ，分别得
到 、 、 、 ，即可得到图形．
【详解】如图，先画出 绕点 逆时针旋转 后的线段 ，再依次画出 、 、 ．
20．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程： ，方程的两个根分别是 ．
第2个方程： ，方程的两个根分别是 ．
第3个方程： ，方程的两个根分别是 ．
第4个方程： ，方程的两个根分别是 ．
……
(1)请按照此规律写出一元二次方程 的两个根，分别是___________．
(2)定义：如果关于 的一元二次方程 满足 ．那么我们称这样的方程为“归零方程”
①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”；
②试说明“归零方程” 有实数根．
(3)已知关于 的方程 是“归零方程”，且 是这个“归零方程”的一个根，求 的值．
【答案】(1)
(2)①是，②见解析
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的规律，“归零方程”的定义，理解新定义以及解二次方程是解
题的关键．
（1）根据规律直接写出结果即可；
（2）①观察即可；
②由“归零方程”的定义，可得 ，代入判别式 并化简，证明其非负即可说明；
（3）利用“归零方程”的定义和已知条件，联立关于m的方程求解即可．
【详解】（1）根据题意，得到方程 的根为 ，
的根为 ，
故答案为： ；
（2）① ， 一元二次方程 是“归零方程”，
故答案为：是；
② ，
，
，
“归零方程” 有实数根．
（3） 是“归零方程”，
，，
．
是这个“归零方程”的一个根，
，
解得 ．
21．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙
长 ）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二次方程，解方
程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ,不符合题意，舍去；
当 时， ．
答：当长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．（2）不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
22．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，抛物线的顶点 ，且经过原点O；
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为P，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，求出函数解析式
是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为顶点式，即 ，由抛物线过原点即可求得a的值，从而求解；
（2）令 ，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点 ，
∴设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过原点O，
∴ ，解得： ，
∴ ，
化为一般式为 ；
（2）解：令 ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
23．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
．
(1)在图中作出 关于x轴的对称图形 ；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点 的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得 周长最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质作出点 关于 轴的对称点 ，再顺次连接即可；
（2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 即为所求．
【详解】（1）解： 关于x轴对称对应点分别为 ，
如图所示：
；
（2）解： 关于y轴对称点为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 即为所求：
理由如下：
由对称可知 ，
的周长为 ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
∴当P为 与y轴的交点时， 的周长最小．
24．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
线段 的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，
仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．(1)图1中画出线段 关于点O对称的图形 （B与D对应）；
(2)图1中画出线段 绕点O逆时针旋转 后的图形 （B与F对应）；
(3)图2中，点G和点H都在格点上，线段 是由线段 绕点P顺时针旋转得到的，请直接写出点P的
坐标．
(4)图2中，连接 ，设 ，将 绕点A顺时针旋转角度 后的 （点B与点M对
应）
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
(3) 或
(4)图见详解
【分析】（1）根据题意画出旋转后图形即可；
（2）根据题意画出旋转后图形即可；
（3）根据题意找出旋转中心点P并求出点P坐标即可；
（4）根据题意画出旋转后图形即可；
【详解】（1）图形 如下图；（2）图形 如下图；
（3）如图所示： 或 ．
（4） 如下图所示；
【点睛】本题主要考查图形的平移和旋转，正确画出平移和旋转后的图形是解题的关键．
25．（2025·陕西西安·模拟预测）白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物
线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽 约为18米，净高
（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的
顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形 和矩形 组成，已知下部分矩形的长 米，
上部分矩形的长宽比（即 ），点A，D，E，H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点 的位置（即点 的坐标）．
【答案】(1) ；
(2)点 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先求得顶点 ，再设抛物线的解析式为 ，利用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ，当 时， ，求得 ，设 ， ，
求得点 ，根据点 在抛物线上，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，抛物线最高点到地面的距离约为12米，
∴ ， ，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵矩形 和矩形 ，
∴设抛物线的对称轴交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，如图，∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 米， ，
∵ ，
∴设 ， ，则 ，
∴点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
∴点 ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 (舍去)，
∴点 ．
