文档内容
24.4弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
一、新课导入
1.导入课题：
情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，
这就涉及到计算弧长的问题.
问题：怎样求一段弧的长度呢？
这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).
2.学习目标：
（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.
（2）知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.
3.学习重、难点：
重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.
难点：阴影部分面积的计算.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第111页的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.
（4）自学参考提纲：
①圆的周长公式是什么？C＝2πR.
②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？
圆可以看作是360 度的圆心角所对的弧.
1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？
n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？
所以在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的公
式是 .③由弧长公式可知，一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知其
中的两个，就可求出第三个.
如已知l和n，则R＝ ；已知l和R，则n＝ .
④计算图中弯道的“展直长度”.
解：由弧长公式，得 的长 ≈1570(mm).
因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm).
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.
（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R
（精确到0.1米）.
解：由 得 (米).
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①圆的面积公式是什么？S＝πR2
②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？
圆的面积可以看作是圆心角为 36 0 度的扇形面积.
圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？
所以在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S扇形的公式是 .
③试推导扇形的面积公式 （这里的l指扇形的弧长，R指半径）.
.
④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有
水部分的面积（精确到0.01m2）.
a.怎样求圆心角∠AOD的度数？
在Rt△ADO中，OD=OC-
DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=2∠AOD=120°.
b.阴影部分的面积= 扇形 AOB 的面积- △ AOB 的面积.
c.写出本题的解答过程.
解：如图，连接OA、OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交 于点C，连接AC.
∵OC＝0.6m,DC＝0.3m,∴OD＝OC-DC＝0.3（m）.∴OD＝DC.又AD⊥DC,∴AD是线段
OC的垂直平分线.∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
∴ .
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD时遇到的困难情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.
（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.
（3）练习：已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以12a为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S.
解：连接AD,则AD⊥BC, .
∴ .
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有
什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长
之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都
渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，
又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π.
2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是6cm.
3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是150°.
4.(20分)如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两
条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）
解： （mm）.
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的
草坪的面积.
解： .答：它能喷灌的草坪的面积为 .
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为
120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，求贴纸部分的面积.
解： (cm2),
(cm2),
∴ (cm2).
答：贴纸部分的面积是 cm2.
三、拓展延伸（共10分）
7.(10分)正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中
阴影部分的面积.
解：方法一： .
方法二： .
答：图中阴影部分的面积为 .
