文档内容
24.4 弧长和扇形面积
第 1 课时 弧长和扇形面积
【知识与技能】
经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并
会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
【过程与方法】
通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、
理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转
化，体会转化在数学解题中的妙用.
【教学重点】
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
【教学难点】
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.
一、情境导入，初步认识
问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳
子的另一端拴着一只羊，问：
（1）这只羊的最大活动面积是多少？
（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？
问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这
就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算 的长吗？求出弯道的展直长度.
【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引
入课题。同时，这也是本节中最常见的两种类型.
二、思考探究，获取新知
1.探索弧长公式
思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周
角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧
长多少？
分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：
圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；
∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；
2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；
4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；
∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；
由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.
【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示
1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分
弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一
定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.
小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.
②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.
答案：①500π+140(mm) ②50π/3(cm)
2.扇形面积计算公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）
从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半
径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.
思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.
【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方
法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.
小练习：
①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面
积的23/36.
②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；
③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.
【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公
式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.
三、典例精析，掌握新知
例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，
其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.
解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交 于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3
在 Rt△OAD 中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：AD=0.3 ；在
Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S -S =0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).
扇形OAB △OAB
例2如图，⊙O 半径是⊙O 的直径，C是⊙O1上一点，O C交⊙O 于点B，若
1 2 1 2
⊙O 的半径等于5cm，AC的长等于⊙O 周长的110，则AB的长是cm.
1 1
分析：由AC的长是⊙O 周长的1/10可知：
1
∠AO C=36°，∠AO B=2∠AO B=72°，O A=5/2，
1 2 1 2
∴ 的长l=72π/180×5/2=π.
【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和
因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和圆有
关知识进行求解.可由学生合作交流完成.
四、运用新知，深化理解
完成教材第113页练习3个小题.
【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.
五、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实
际问题吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.
1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出
了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由
“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，
又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
