文档内容
19.1 函数
知识点1：函数
1．变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2．函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一
确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自
变量的值为a时的函数值。
判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。
知识点2：确定函数自变量取值的范围的方法
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
知识点3：函数的解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式。
知识点4：函数的图像
1.概念：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
2.描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应
的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
知识点5：函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应
规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际
问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
【例题1】（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5
万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的
销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特
产分别为多少吨；
（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的
性质，可以得到利润的最大值．
【解析】（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．一、选择题
1.判断A是B的函数，下列说法正确的是（ ）
A.只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应；
B. 只要看A取值确定的时候，B是否有唯一确定的值与之对应；
C. 只要看B取值确定的时候，A是否有不确定的值与之对应；
D. 只要看A取值确定的时候，B是否有唯一确定的值与之对应。
【答案】A
【解析】有两个变量A和B，A要是B的函数，必须保证B取值确定的时候，A有唯一确定的值与之对应。
2.下列是确定函数定义域的方法的几个观点，其中错误的是（ ）
A.关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
B.关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
C.关系式含有二次根式时，被开放方数大于零；
D.关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零。
【答案】C
【解析】关系式含有二次根式时，被开放方数大于零，函数式有意义。但二次根式被开放方数等于零也是
可以的。但要注意实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
3.对函数的图像的说法正确的是（ ）
A.一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面
内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
B.一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的纵、横坐标，那么坐标平面
内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．C.一般来说，对于一个函数，如果把函数与自变量的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面
内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
D. 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平
面内由这些点组成的图形，有时就是这个函数的图象．
【答案】A
【解析】一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
4.关于函数解析式的说法，正确的是（ ）
A.用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
B. 用含有表示因变量的字母的代数式表示自变量的式子叫做解析式。
C. 用含有表示自变量的罗马字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
D. 用含有表示自变量的英文字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
【答案】A
【解析】用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A.x≥﹣2且x≠1 B.x≤2且x≠1 C.x≠1 D.x≤﹣2
【答案】A．
【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
二、填空题
6．使函数y= + 有意义的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x＞﹣2，且x≠1．
【解析】根据题意得：x+2≥0且（x﹣1）（x+2）≠0，
解得x≥﹣2，且x≠1，x≠﹣2，7．函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠2．
【解析】函数自变量的取值范围．根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
由x﹣2≠0得，x≠2
三、解答题
8.如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻
的气温.
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
【答案】见解析。
【解析】 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.
9. 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：
年龄组(岁) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
平均身高(cm) 117 121 125 130 135 142 148 155 162 167 170 172
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
【答案】见解析。
【解析】(1)平均身高是155cm；(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.
10.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．
【答案】见解析。
【解析】(1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；
(3)S＝(n－2)×1800，2、1800是常量，n、S是变量．
