2.3第2课时利用一元二次方程解决面积问题1_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学9上_2022秋九数上(BS)--各阶段精品试题_同步练习

优秀领先 飞翔梦想 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题  双基演练 1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（ ） A．8 B．4 C．4 D．8 2 2 2．如图所示，李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一 幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（ ） A．（90+x）（40+x）×54%=90×40; B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40; C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40; D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40 3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是 400cm3，求原铁皮的边长． 4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场 开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽． 5．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽 的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽． （1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽． （2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽． （3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 6．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下 的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米， 现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？ www.youyi100.com 第 1 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 7．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形 的边长． 8．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中 路的平均宽度．  能力提升 9．谁能量出道路的宽度: 如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花 圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． D C H G E F A B www.czsx.com.cn 10．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）： 在图①中，将线段AA 向右平移1个单位到BB，得到封闭图形AAB B （即阴影部分）； 1 2 1 2 1 2 2 1 在图②中，将折线AAA 向右平移1个单位到B B B ，得到封闭图形AAAB B B（即阴影部分）． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形， 并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： S=_________，S=_________，S=_________． 1 2 3 （3）联想与探索： www.youyi100.com 第 2 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜 想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的． 11．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向 1 向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的 ？ 3  聚焦中考 12.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形 和 的面积之和为 ，那么矩形 的面积是（ ） ABEF ADGH 68cm2 ABCD A． B． 21cm2 16cm2 G H F D A C． D． 24cm2 9cm2 E B C （8题图） 13.在长为 am，宽为bm 的一块草坪上修了一条 1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 m2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 www.youyi100.com 第 3 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 m2． 14.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空 地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 ？ 288m2 前 侧 空 蔬菜种植区域 地 15.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1) 用a，b，x表示纸片剩余部分的面积； (2) 当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长． www.youyi100.com 第 4 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 答案: 1 1．D 点拨：可设该边的长为x，则高为 x， 2 1 1 可列方程 ·x· x=32，解得x=8 2 ，x=-8 2 ， 2 2 1 2  由于线段长不能为负，故x=-8 舍去．所以该边长为8 ． 2 2 2 2．B 点拨：镶上金色纸边后，整个挂图的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 依题意，应选B． 3．解：设原铁皮的边长为xcm，依题意 列方程，得（x-2×4）2×4=400， （x-8）2=100，x-8=±10，x=8±10． 所以x=18，x=-2（舍去）． 1 2 答：原铁皮的边长为18cm． 1650 4．解：设现在的操场一边长x米，则另一边为 米， x 1650 1650 根据题意，得（x+5）· =1500，即-x+ +25=0．所以x2-25x-1650=0． x x 1650 解得x=-30（舍去），x=55．由x=55，得 =30． 1 2 x 答：现在的操场长55米，宽30米． 91(x2) 5．解：设平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为 米．依题意，列方程，得x· 2 91(x2) =1080， 2 整理，得x2-93x+2160=0，解得x=45，x=48． 1 2 因为墙长为50米，所以45，48均符合题意 91(452) 当x=45时，宽为 =24（米） 2 91(482) 当x=48时，宽为 =22.5（米） 2 因此花坛的长为45米，宽为24米，或长为48米，宽为22.5米． （1）若墙长为46米，则x=48不合题意，舍去． 此时花坛的长为45米，宽为24米； （2）若墙长为40米，则x=45，x=48都不符合题意，花坛不能建成 1 2 （3）通过对上面三题的讨论，可以发现，墙长对题目的结果起到限制作用．若墙长大于或等于48米，则 题目有两个解；若墙长大于或等于45米而小于48米，则只有一个解；若墙长小于45米，则题目没有解，也 就是符合条件的花坛不能建成． 6．解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米． 依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x-15=0， 解得x=-5（舍去），x=3， 1 2 所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米． www.youyi100.com 第 5 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为 （5+2）×（3+2）=35 所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元） 点拨：题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即 表面展开图的面积，并非体积． 7．解：设一个正方形的边长为xcm．依题意，得 644x x2+（ ）2=160，整理，得x2-16x+48=0， 4 644x 解得x=12，x=4，当x=12时， =4． 1 2 4 644x 当x=4时， =12． 4 答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm． 点拨：题目中的64cm也就是两个正方形的周长，设出其中的一个正方形的边长，另一个正方形的边长 644x 可用（ ）来表示．根据正方形的面积公式即可列方程． 4 8．设小路宽为x米，（32-x）（20-x）=540，x=2，x=50（舍去）， 1 2 答：小路宽为2米． 9．设道路的宽为x，AB=a，AD=b 1 则（a-2x）（b-2x）= ab 2 1 解得：x= [（a+b）- a2 b2 ] 4 量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD= ），得 a2 b2 L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽 AB ADBD ，即ab a2 b2 ． 4 4 10．解：（1）如答图． （2）ab-b；ab-b；ab-b （3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b． 方案：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移一个单位；（3）得到一 个新矩形，如答图，理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了（a-1），所以草地的 面积就是b（a-1）=ab-b． 1 11．解：设x秒后，S = S ， △MBN △ABC 3 1 1 1 由题意得（8-x）×（6-x）× = × ×6×8，x2-14x+32=0， 2 3 2 www.youyi100.com 第 6 页 共 7 页优秀领先 飞翔梦想 x=7+ ，x=7- ， 1 17 2 17 ∵BC=6米， ∴0≤x≤6， ∴x=7+ 不合题意，舍去， 1 17 1 答：当7- 17 秒后，S = S ． △MBN △ABC 3 12. B 13 ． （或 ） （或 ） a(b1) aba a(b1) aba 14． 解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm．根据题意，得 ． (x2) (2x4)288  解这个方程，得 （不合题意，舍去）， ． x 10 x 14 1 2 所以x14，2x21428． 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是 ． 288m2 1 解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为 xm．根据题意，得 2 1  ． x2 (x4)288   2  解这个方程，得 （不合题意，舍去）， ． x 20 x 28 1 2 1 1 所以x28， x 2814． 2 2 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是 ． 288m2 15．解：（1） a b－4x2； 2分 （2）依题意有： a b－4x2=4x2 4分 ， 将a=6，b=4，代入上式，得x2=3， 6分 解得 ． 7分 x  3,x   3(舍去) 1 2 即正方形的边长为 ． 3 www.youyi100.com 第 7 页 共 7 页