文档内容
2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）（2019•鄂尔多斯）有理数 的相反数为
A． B． C． D．3
2．（3分）（2019•鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法
表示为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则 为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列计算
① ② ③ ④ ⑤ ，
第1页（共35页）其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分 30 25 20 15
人数（人 2 1
若成绩的平均数为23，中位数是 ，众数是 ，则 的值是
A． B． C．2.5 D．5
7．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在 中， ，依据尺规作图的痕迹，计算
的度数是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数 中自变量 的取值范围是 ．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
9．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，矩形 与菱形 的对角线均交于点 ，且
，将矩形折叠，使点 与点 重合，折痕 过点 ．若 ， ，
，则 的长为
第2页（共35页）A． B． C． D．
10．（3分）（2019•鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车
运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从 ， 两地同时出发，相向而行．快
车到达 地后，停留3秒卸货，然后原路返回 地，慢车到达 地即停运休息，如图表示的是
两车之间的距离 （米 与行驶时间 （秒 的函数图象，根据图象信息，计算 、 的值分别
为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）（2019•鄂尔多斯）计算： ．
12．（3分）（2019•鄂尔多斯）一组数据 ，0，1，2，3的方差是 ．
13．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图， 中， ，以 为直径的 分别与 ，
交于点 ， ，连接 ，过点 作 于点 ．若 ， ，则阴影部
分的面积是 ．
第3页（共35页）14．（3分）（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角
形为“好玩三角形”．若 是“好玩三角形”，且 ，则 ．
15．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线 ，它是由过 ，
， 组成的折线依次平移8，16，24， 个单位得到的，直线 与此折线
有 且为整数）个交点，则 的值为 ．
16．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在圆心角为 的扇形 中， ， 为 上任意
一点，过点 作 于点 ，设 为 的内心，当点 从点 运动到点 时，则内
心 所经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
17．（8分）（2019•鄂尔多斯）（1）先化简： ，再从 的整数中
选取一个你喜欢的 的值代入求值．
第4页（共35页）（2）解不等式组 ，并写出该不等式组的非负整数解．
18．（9分）（2019•鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，
统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了 名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 度，并
补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？
（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用
手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．
19．（8分）（2019•鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟
上升 ，加热到 停止加热，水温开始下降，此时水温 与开机后用时 成反
比例关系，直至水温降至 ，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程
序．若在水温为 时接通电源，水温 与时间 的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段 与 之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于 的水，请问她最多需要等待多长时间？
20．（7分）（2019•鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝 和康镇 进行研学活动，澄澄老师在
第5页（共35页）网上查得， 和 分
别位于学校 的正北和正东方向， 位于 南偏东 方向，校车从 出发，沿正北方向前
往 地，行驶到15千米的 处时，导航显示，在 处北偏东 方向有一服务区 ，且 位
于 ， 两地中点处．
（1）求 ， 两地之间的距离；
（2）校车从 地匀速行驶1小时40分钟到达 地，若这段路程限速100千米 时，计算校车
是否超速？
（参考数据： ， ，
21．（8分）（2019•鄂尔多斯）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ．过
上一点 作 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长．
22．（9分）（2019•鄂尔多斯）某工厂制作 ， 两种手工艺品， 每天每件获利比 多105元，
获利30元的 与获利240元的 数量相等．
（1）制作一件 和一件 分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作 ， 两种手工艺品，每人每天制作2件 或1件 ．现在在不增加
工人的情况下，增加制作 ．已知每人每天可制作1件 （每人每天只能制作一种手工艺品）
要求每天制作 ， 两种手工艺品的数量相等．设每天安排 人制作 ， 人制作 ，写出
第6页（共35页）与 之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作 不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增
加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知 每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可
获得的总利润 （元 的最大值及相应 的值．
23．（11分）（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点
旋转，旋转过程中， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点
（点 与点 ， 不重合）．则 ， ， 之间满足的数量关系是 ．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形 ”改为“ 的菱形 ”，其他条件不
变，当 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论
并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3， ， ， ， 平分 ， ，且 ，点 是
上一点， ，求 的长．
24．（12分）（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，直线 与该抛物线交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 是直线 下方抛物线上的一个动点，作 于点 ，求 的最大值．
（3）以点 为圆心，1为半径作圆， 上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直
角三角形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，说明理由．
第7页（共35页）第8页（共35页）2019 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）（2019•鄂尔多斯）有理数 的相反数为
A． B． C． D．3
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：有理数 的相反数为： ．
故选： ．
2．（3分）（2019•鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项 与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项 与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项 与此也不符，正确的是 ．
故选： ．
3．（3分）（2019•鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法
表示为
第9页（共35页）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的0的个数所决定．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则 为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角
都是 求出 ， 的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出 ，然
后根据 列式计算即可得解．
【解答】解：在正方形 中， ， ，
在等边 中， ， ，
在 中， ， ，
所以， ，
所以 ．
故选： ．
5．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列计算
① ② ③ ④ ⑤ ，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
【分析】随机事件 的概率 （A） 事件 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数．
【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是 ，
第10页（共35页）故选： ．
6．（3分）（2019•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分 30 25 20 15
人数（人 2 1
若成绩的平均数为23，中位数是 ，众数是 ，则 的值是
A． B． C．2.5 D．5
【分析】首先根据平均数求得 、 的值，然后利用中位数及众数的定义求得 和 的值，从而
求得 的值即可．
【解答】解： 平均数为23，
，
，
即： ，
，
， ，
中位数 ， ，
，
故选： ．
7．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在 中， ，依据尺规作图的痕迹，计算
的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得 ，所以 ，再利用基本作图
得到 垂直平分 ， 平分 ，所以 ， ，然后利用
互余计算出 ，从而得到 的度数．
【解答】解： 四边形 为平行四边形，
，
第11页（共35页），
由作法得 垂直平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
的度数是 ．
故选： ．
8．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数 中自变量 的取值范围是 ．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
【分析】利用等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式
分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①函数 中自变量 的取值范围是 ，故错误．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．
④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．
⑤关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，正确，
故选： ．
9．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，矩形 与菱形 的对角线均交于点 ，且
第12页（共35页），将矩形折叠，使点 与点 重合，折痕 过点 ．若 ， ，
，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】延长 交 于 点，连接 、 ，则 为直角三角形，证明四边形
为菱形，则可证 ，由勾股定理求得 的值，再由梯形的中位线定
理 ，即可得出答案．
【解答】解：延长 交 于 点，连接 、 ；如图所示：
则 ， 为直角三角形，
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ， ， ，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为菱形，
，
第13页（共35页）根据题意得： 是梯形 的中位线，
，
；
故选： ．
10．（3分）（2019•鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车
运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从 ， 两地同时出发，相向而行．快
车到达 地后，停留3秒卸货，然后原路返回 地，慢车到达 地即停运休息，如图表示的是
两车之间的距离 （米 与行驶时间 （秒 的函数图象，根据图象信息，计算 、 的值分别
为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【分析】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶 秒，两车的距离为24米，可求
速度和为 米 秒， 距离为 米，在快车到 地停留3秒，两车的距离增
加 米，慢车的速度为： 米 秒，而根据题意 米的距离相当于慢车行驶
秒的路程，故速度为 米 秒，因此， ，解得： 米，从而可
第14页（共35页）求慢车速度为： 米 秒，快车速度为： 米 秒，快车返回追至两车距离
为24米的时间： 秒，因此 秒．
【解答】解：速度和为： 米 秒，
由题意得： ，解得： ，
因此慢车速度为： 米 秒，快车速度为： 米 秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间： 秒，因此 秒．
故选： ．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）（2019•鄂尔多斯）计算： ．
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
故答案为： ．
12．（3分）（2019•鄂尔多斯）一组数据 ，0，1，2，3的方差是 2 ．
【分析】利用方差的定义求解．方差 ．
【解答】解：数据的平均数 ，
方差 ．
故填2．
13．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图， 中， ，以 为直径的 分别与 ，
交于点 ， ，连接 ，过点 作 于点 ．若 ， ，则阴影部
分的面积是 ．
第15页（共35页）【分析】根据 即可求解．
【解答】解：连接 ，
， ， ，
，
，
．
故答案 ．
14．（3分）（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角
形为“好玩三角形”．若 是“好玩三角形”，且 ，则 或
．
【分析】分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：①如图1中，
第16页（共35页）在 中， ， 是 的中线，设 ，则 ，
，
．
②如图2中，
在 中， ， 是 的中线，设 ，则 ，
，
．，
故答案为： 或 ．
15．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线 ，它是由过 ，
， 组成的折线依次平移8，16，24， 个单位得到的，直线 与此折线
有 且为整数）个交点，则 的值为 ．
第17页（共35页）【分析】由点 、 的坐标，结合平移的距离即可得出点 的坐标，再由直线 与此
折线恰有 ，且为整数）个交点，即可得出点 在直线 上，依据依此函
数图象上点的坐标特征，即可求出 值．
【解答】解： ， ， ， ， ，
．
直线 与此折线恰有 且为整数）个交点，
点 在直线 上，
，
解得： ．
故答案为： ．
16．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在圆心角为 的扇形 中， ， 为 上任意
一点，过点 作 于点 ，设 为 的内心，当点 从点 运动到点 时，则内
心 所经过的路径长为 ．
【分析】如图，以 为斜边在 的右边作等腰 ，以 为圆心 为半径作 ，在
第18页（共35页）优弧 上取一点 ，连接 ， ， ， ．首先证明点 的运动轨迹是 ，利用弧
长公式计算即可．
【解答】解：如图，以 为斜边在 的右边作等腰 ，以 为圆心 为半径作 ，
在优弧 上取一点 ，连接 ， ， ， ．
，
，
点 是内心，
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ， 四点共圆，
点 的运动轨迹是 ，
内心 所经过的路径长 ，
故答案为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
17．（8分）（2019•鄂尔多斯）（1）先化简： ，再从 的整数中
选取一个你喜欢的 的值代入求值．
（2）解不等式组 ，并写出该不等式组的非负整数解．
第19页（共35页）【分析】（1）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从 的整数中选取一
个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
，
当 时，原式 ；
（2） ，
由不等式①，得
，
由不等式②，得
，
故原不等式组的解集是 ，
该不等式组的非负整数解是0，1．
18．（9分）（2019•鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，
统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了 20 0 名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 度，
并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？
（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用
手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．
第20页（共35页）【分析】（1）根据无所谓人数及其所占百分比可得总人数， 乘以很赞同人数所占比例可
得其圆心角度数，由各部分人数之和等于总人数求出不赞同的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中不赞同人数所占比例即可得；
（3）用 表示男生， 表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的家长人数为 （人 ，
扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 ，
不赞同的人数为 （人 ，
补全图形如下：
故答案为：200、27；
（2）估计其中“不赞同”的家长有 （人 ；
（3）用 表示男生， 表示女生，画图如下：
第21页（共35页）共有20种情况，一男一女的情况是12种，
则刚好抽到一男一女的概率是 ．
19．（8分）（2019•鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟
上升 ，加热到 停止加热，水温开始下降，此时水温 与开机后用时 成反
比例关系，直至水温降至 ，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程
序．若在水温为 时接通电源，水温 与时间 的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段 与 之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于 的水，请问她最多需要等待多长时间？
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得 的值；根据函数图象和题意可以求得 关于 的
函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；
【解答】解：（1）观察图象，可知：当 时，水温
当 时，设 关于 的函数关系式为： ，
，得 ，
即当 时， 关于 的函数关系式为 ，
当 时，设 ，
，得 ，
第22页（共35页）即当 时， 关于 的函数关系式为 ，
当 时， ，
与 的函数关系式为： ， 与 的函数关系式每 分钟重复出现
一次；
（2）将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
，
怡萱同学想喝高于 的水，她最多需要等待 ；
20．（7分）（2019•鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝 和康镇 进行研学活动，澄澄老师在
网上查得， 和 分
别位于学校 的正北和正东方向， 位于 南偏东 方向，校车从 出发，沿正北方向前
往 地，行驶到15千米的 处时，导航显示，在 处北偏东 方向有一服务区 ，且 位
于 ， 两地中点处．
（1）求 ， 两地之间的距离；
（2）校车从 地匀速行驶1小时40分钟到达 地，若这段路程限速100千米 时，计算校车
是否超速？
（参考数据： ， ，
【分析】（1）作 于 ．由题意 ，可得 ，设 千米，
则 千米，构建方程即可解决问题．
（2）求出 的长，再求出校车的速度即可判断．
第23页（共35页）【解答】解：（1）如图，作 于 ．
由题意 ，可得 ，设 千米，
点 是 的中点， ，
千米，
在 中， ，
，
，
（千米）， （千米）， （千米），
（千米）．
（2）在 中， （千米），
（千米），
千米 小时，
，
校车没有超速．
21．（8分）（2019•鄂尔多斯）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ．过
上一点 作 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长．
第24页（共35页）【分析】（1）连接 ，如图，通过证明 得到 ，然后根据切线的
判定定理得到 是 的切线；
（2）连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，利用勾股定理得到
，解得 ，然后证明 ，再利用相似比计算 的
长．
【解答】（1）证明：连接 ，如图，
，
，
而 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
，
第25页（共35页），
，即 ，
．
22．（9分）（2019•鄂尔多斯）某工厂制作 ， 两种手工艺品， 每天每件获利比 多105元，
获利30元的 与获利240元的 数量相等．
（1）制作一件 和一件 分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作 ， 两种手工艺品，每人每天制作2件 或1件 ．现在在不增加
工人的情况下，增加制作 ．已知每人每天可制作1件 （每人每天只能制作一种手工艺品）
要求每天制作 ， 两种手工艺品的数量相等．设每天安排 人制作 ， 人制作 ，写出
与 之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作 不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增
加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知 每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可
获得的总利润 （元 的最大值及相应 的值．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2） 、 的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产 产品的人数是 产品人数的2
倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出 与 的函数关系式，
（3）由于 工艺品每件盈利，随着 的变化而变化，得出 工艺品的每件盈利与 的关系，再
根据总利润，等于三种工艺品的利润之和，得出 与 的二次函数关系，但，最大值时，蹦为
顶点坐标，因为 不为整数，因此要根据抛物线的增减性，确定 为何整数时， 最大．
【解答】解：（1）设制作一件 获利 元，则制作一件 获利 元，由题意得：
，解得： ，
经检验， 是原方程的根，
当 时， ，
答：制作一件 获利15元，制作一件 获利120元．
第26页（共35页）（2）设每天安排 人制作 ， 人制作 ，则 人制作 ，于是有：
，
答： 与 之间的函数关系式为 ．
（3）由题意得：
，
又
，
，对称轴为 ，而 时， 的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当 时， 元．
此时制作 产品的13人， 产品的26人， 产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
23．（11分）（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点
旋转，旋转过程中， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点
（点 与点 ， 不重合）．则 ， ， 之间满足的数量关系是 ．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形 ”改为“ 的菱形 ”，其他条件不
变，当 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论
并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3， ， ， ， 平分 ， ，且 ，点 是
上一点， ，求 的长．
第27页（共35页）【分析】（1）如图1中，结论： ．证明 ，即可解决问题．
（2）如图2中，结论不成立． ．连接 ，在 上截取 ，连接 ．首
先证明 ，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，由 可知 是钝角三角形， ，作 于 ，设
．构建方程求出 可得 ，再利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，结论： ．理由如下：
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
．
故答案为 ．
（2）如图2中，结论不成立． ．
第28页（共35页）理由：连接 ，在 上截取 ，连接 ．
四边形 是菱形， ，
，
，
， ， ， 四点共圆，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
（3）如图3中，由 可知 是钝角三角形， ，作 于 ，设
．
第29页（共35页）在 中， ，
，
，
解得 （舍弃）或 ，
，
，
， ， ， 四点共圆，
平分 ，
，
，
，
是等边三角形，
由（2）可知： ，
．
24．（12分）（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，直线 与该抛物线交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 是直线 下方抛物线上的一个动点，作 于点 ，求 的最大值．
（3）以点 为圆心，1为半径作圆， 上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直
角三角形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，说明理由．
第30页（共35页）【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出过点 平行于直线 的直线与抛物线只有一个交点时， 最大，再求出此直
线 的解析式，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当 时，先求出 的长，进而求出 ， 的长，再构造出
相似三角形即可得出结论；
②当 时，利用锐角三角函数求出点 的坐标，最后用对称的性质得出点 的
坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作直线 ，使 ，过点 作 ，
当直线 与抛物线只有一个交点时， 最大，等于 ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ①，
第31页（共35页）抛物线的解析式为 ②，
联立①②化简得， ，
△ ，
，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
， ，
，
在 △ 中， ，
．
（3）①当 时，如图2，
是 的切线，
半径为1， ，
轴，
， ，
，
与 是 的切线，
， ，
， ，
在 中， ，
第32页（共35页），
，
，
过点 作 轴，
轴，
△ ，
，
，
， ，
，
， ，
②当 时，如图3，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
过点 作 轴于 ，
第33页（共35页）在 中， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得， ，
，
， ，
， ，
而点 与 关于点 对称，
， ，
即：满足条件的点 的坐标为 ， 或 或 ， 或 ， ．
第34页（共35页）第35页（共35页）
