文档内容
2022年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、
C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂
黑．
1．（4分） 的相反数是
A． B．2 C． D．
2．（4分）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（4分）如图，直线 ，直线 与 ， 相交，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
4．（4分）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为
第1页（共35页）A．3时 B．6时 C．9时 D．12时
5．（4分）如图， 与 位似，点 是它们的位似中心，且相似比为 ，则 与
的周长之比是
A． B． C． D．
6．（4分）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中
有3个菱形，第③个图案中有5个菱形， ，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数
为
A．15 B．13 C．11 D．9
7．（4分）估计 的值在
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
8．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．
设该校植树棵数的年平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点 ． 、 分别为 、 上
一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为
第2页（共35页）A． B． C． D．
10．（4分）如图， 是 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延长线交于点
，若 ，则 的长为
A． B． C． D．3
11．（4 分）关于 的分式方程 的解为正数，且关于 的不等式组
的解集为 ，则所有满足条件的整数 的值之和是
A．13 B．15 C．18 D．20
12．（4分）对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称
之 为 “ 加 算 操 作 ” ， 例 如 ： ，
， ，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为
第3页（共35页）A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的
横线上．
13．（4分） ．
14．（4分）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中
随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 ．
15．（4分）如图，在矩形 中， ， ，以 为圆心， 的长为半径画弧，交
于点 ．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，
每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高 、 、 ．该店五月份销售桃片、米
花糖、麻花的数量之比为 ，三种特产的总利润是总成本的 ，则每包米花糖与每包
麻花的成本之比为 ．
三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（8分）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为 ，高为
的三角形的面积公式为 ．想法是：以 为边作矩形 ，点 在边 上，再过
点 作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路
完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点 作 的垂线 交 于点 ．（只保留作图痕迹）
在 和 中，
，
第4页（共35页）．
，
① ．
，
② ．
又 ③ ，
．
同理可得：④ ．
．
三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经
初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随
机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析
（阅读时长记为 ， ，记为6； ，记为7； ，记为8； 以此类推），下面分
别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，
七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
众数 9
中位数 8
8小时及以上所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
第5页（共35页）（1）填空： ， ， ．
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上
的学生人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性
更高？请说明理由．（写出一条理由即可）
20．（10分）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 的图象与 的
图象交于 ， 两点．
第6页（共35页）（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式 的解集；
（3）一次函数 的图象与 轴交于点 ，连接 ，求 的面积．
21．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20
米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工
队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建
速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建 ，灌溉水渠完
工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
22．（10分）湖中小岛上码头 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面 点处的快艇和湖
岸 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 接该游客，再沿
方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 在 的北偏东 方向上，
在 的北偏东 方向上，且在 的正南方向900米处．
（1）求湖岸 与码头 的距离（结果精确到1米，参考数据： ；
（2）救援船的平均速度为150米 分，快艇的平均速度为400米 分，在接到通知后，快艇能否
在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
23．（10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，若 能被它的各数位上的
第7页（共35页）数字之和 整除，则称 是 的“和倍数”．
例如： ， 是13的“和倍数”．
又如： ， 不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数 是12的“和倍数”， ， ， 分别是数 其中一个数位上的数字，且 ．
在 ， ， 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 （A），最小的两位数记为
（A ），若 为整数，求出满足条件的所有数 ．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 与点 关于抛物线 的对称轴对称．将抛物线
向右平移，使新抛物线的对称轴 经过点 ．点 在新抛物线上，点 在
上，直接写出所有使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标，并把
求其中一个点 的坐标的过程写出来．
25．（10分）在 中， ， ， 为 的中点， ， 分别为 ，
第8页（共35页）上任意一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
（1）如图1，点 与点 重合，且 的延长线过点 ，若点 为 的中点，连接 ，求
的长；
（2）如图2， 的延长线交 于点 ，点 在 上， 且 ，求证：
；
（3）如图3， 为线段 上一动点， 为 的中点，连接 ， 为直线 上一动点，连
接 ，将 沿 翻折至 所在平面内，得到△ ，连接 ，直接写出线段
的长度的最小值．
第9页（共35页）2022年重庆市中考数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、
C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂
黑．
1．（4分） 的相反数是
A． B．2 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号，求解即可．
【解答】解： 的相反数是： ，
故选： ．
2．（4分）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选： ．
3．（4分）如图，直线 ，直线 与 ， 相交，若 ，则 的度数为
第10页（共35页）A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，可以得到 ，然后根据 的度数，即可得到 的度数．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
4．（4分）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为
A．3时 B．6时 C．9时 D．12时
【分析】直接由图形可得出结果．
【解答】解：由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时，
故选： ．
5．（4分）如图， 与 位似，点 是它们的位似中心，且相似比为 ，则 与
的周长之比是
第11页（共35页）A． B． C． D．
【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
【解答】解： 与 位似，点 是它们的位似中心，且相似比为 ，
与 的周长之比是 ，
故选： ．
6．（4分）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中
有3个菱形，第③个图案中有5个菱形， ，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数
为
A．15 B．13 C．11 D．9
【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第 个图案中菱形有 个，从而得
出答案．
【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即 ，
第③个图案中有5个菱形即 ，
则第 个图案中菱形有 个，
第⑥个图案中有 个菱形，
故选： ．
7．（4分）估计 的值在
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
8．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．
第12页（共35页）设该校植树棵数的年平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】第三年的植树量 第一年的植树量 年平均增长率） ，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意得： ，
故选： ．
9．（4分）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点 ． 、 分别为 、 上
一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和
定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解： 是正方形，
， ．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
在 和 中，
，
．
第13页（共35页），
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选： ．
10．（4分）如图， 是 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延长线交于点
，若 ，则 的长为
A． B． C． D．3
【分析】连结 ，根据切线的性质得到 ，根据 ，得到 ，根据
，得到 ，在 中，根据三角形内角和定理求得 ，根据含30度
角的直角三角形的性质得到 ，在 中，根据 求出 的半
径 即可得出答案．
【解答】解：如图，连结 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
第14页（共35页），
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
故选： ．
11．（4 分）关于 的分式方程 的解为正数，且关于 的不等式组
的解集为 ，则所有满足条件的整数 的值之和是
A．13 B．15 C．18 D．20
【分析】解分式方程得得出 ，结合题意及分式方程的意义求出 且 ，解不等
式组得出 ，结合题意得出 ，进而得出 且 ，继而得出所有满足条件
的整数 的值之和，即可得出答案．
【解答】解：解分式方程得： ，
且 ，
且 ，
第15页（共35页）且 ，
解不等式组得： ，
不等式组的解集为 ，
，
，
且 ，
所有满足条件的整数 的值之和为 ，
故选： ．
12．（4分）对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称
之 为 “ 加 算 操 作 ” ， 例 如 ： ，
， ，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据括号前是“ ”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通
过例举判断③．
【解答】解：①如 ， ，故
①符合题意；
② 的相反数为 ，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故
②符合题意；
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种： ；
第3种： ；
第4种： ；
第5种： ；
第6种： ；
第16页（共35页）第7种： ；
第8种： ；故③符合题意；
正确的个数为3，
故选： ．
二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的
横线上．
13．（4分） 3 ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．
【解答】解：原式 ．
故答案为：3．
14．（4分）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中
随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为
．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由
概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，
两次摸出的球都是红球的概率为 ，
故答案为： ．
15．（4分）如图，在矩形 中， ， ，以 为圆心， 的长为半径画弧，交
于点 ．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
第17页（共35页）【分析】先根据锐角三角函数求出 ，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解： 以 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，
，
在矩形 中， ， ， ，
，
，
，
，
阴影部分的面积： ，
故答案为： ．
16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，
每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高 、 、 ．该店五月份销售桃片、米
花糖、麻花的数量之比为 ，三种特产的总利润是总成本的 ，则每包米花糖与每包
麻花的成本之比为 ．
【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为 ， ， ，每包麻
花的成本为 元，每包米花糖的成本为 元，则每包桃片的成本是 元，由三种特产的总利
润是总成本的 列方程可得 ，从而解答此题．
【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为 ， ， ，每包麻花的成本
为 元，每包米花糖的成本为 元，则每包桃片的成本是 元，
由题意得： ，
，
，
第18页（共35页）则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
故答案为： ．
三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）原式
．
18．（8分）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为 ，高为
的三角形的面积公式为 ．想法是：以 为边作矩形 ，点 在边 上，再过
点 作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路
完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点 作 的垂线 交 于点 ．（只保留作图痕迹）
在 和 中，
，
．
，
① ．
，
② ．
第19页（共35页）又 ③ ，
．
同理可得：④ ．
．
【分析】根据矩形的性质、垂直的定义得出 ，再根据 ，推出
，进而证明 ，同理可得：④ ，最后得出三角
形的面积公式为 ．
【解答】证明：
，
．
，
，
，
，
，
在 与 中
，
第20页（共35页）．
同理可得：④ ，
．
故答案为：① ，② ，③ ，④ ．
三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经
初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随
机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析
（阅读时长记为 ， ，记为6； ，记为7； ，记为8； 以此类推），下面分
别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，
七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
众数 9
中位数 8
8小时及以上所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 8 ， ， ．
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上
的学生人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性
更高？请说明理由．（写出一条理由即可）
第21页（共35页）【分析】（1）根据众数的定义可求出七年级学生的课外阅读时长的众数，即 的值；根据中位
数的定义可求出八年级学生的课外阅读时长的中位数，即 的值，根据频率 可求出八
年级学生的课外阅读时长在8小时及以上所占百分比，即 的值；
（2）求出样本中七年级学生课外阅读时长在9小时及以上的学生所占的百分比，即可估计总
体中所占的百分比，进而求出相应人数；
（3）由中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）七年级学生的课外阅读时长出现次数最多的是8小时，因此七年级学生的课
外阅读时长的众数是8小时，即 ；
将八年级学生的课外阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ，
因此中位数是8.5小时，即 ；
，
故答案为：8，8.5， ；
（2） （人 ，
答：七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的大约有160人；
（3）八年级参与的积极性更高，理由：八年级学生课外阅读时长的中位数，众数均比七年级的
高．
20．（10分）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 的图象与 的
图象交于 ， 两点．
第22页（共35页）（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式 的解集；
（3）一次函数 的图象与 轴交于点 ，连接 ，求 的面积．
【分析】（1）将 ， 两坐标先代入反比例函数求出 ， ，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时 的取值范围求解．
（3）由直线解析式求得 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1） ， 在反比例函数 的图象上，
，
解得 ， ，
， ，
把 ， 代入 中得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ．
第23页（共35页）画出函数 图象如图；
（2）由图象可得当 或 时，直线 在反比例函数 图象下方，
的解集为 或 ．
（3）把 代入 得 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
．
21．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20
米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工
队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建
速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建 ，灌溉水渠完
工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量 后来2天的工作量 ，可以列出
第24页（共35页）相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相
同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠 米，则原计划每天施工 米，
由题意可得： ，
解得 ，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠 米，则技术更新后每天修建水渠
米，
由题意可得： ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
22．（10分）湖中小岛上码头 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面 点处的快艇和湖
岸 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 接该游客，再沿
方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 在 的北偏东 方向上，
在 的北偏东 方向上，且在 的正南方向900米处．
（1）求湖岸 与码头 的距离（结果精确到1米，参考数据： ；
（2）救援船的平均速度为150米 分，快艇的平均速度为400米 分，在接到通知后，快艇能否
在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
第25页（共35页）【分析】（1）延长 到 ，则 于点 ，根据题意可得 ，
米， ，所以 ，然后根据含30度角的直角三角形
即可解决问题；
（2）设快艇在 分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米 分，快艇的平
均速度为400米 分，列出方程 ，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长 到 ，则 于点 ，
根据题意可知： ， 米， ，
，
米，
，
第26页（共35页）米，
（米 ，
（米
答：湖岸 与码头 的距离约为1559米；
（2）设快艇在 分钟内将该游客送上救援船，
救援船的平均速度为150米 分，快艇的平均速度为400米 分，
，
，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
23．（10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，若 能被它的各数位上的
数字之和 整除，则称 是 的“和倍数”．
例如： ， 是13的“和倍数”．
又如： ， 不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数 是12的“和倍数”， ， ， 分别是数 其中一个数位上的数字，且 ．
在 ， ， 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 （A），最小的两位数记为
（A），若 为整数，求出满足条件的所有数 ．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设 ，根据“和倍数”的定义表示 （A）和 （A），代入
中，根据 为整数可解答．
【解答】解：（1） ，
不是“和倍数”；
，
是9的“和倍数”；
（2）设 ，
由题意得： （A） ， （A） ，
第27页（共35页），
， 为整数，
，
，
，5，7，9，
，7，5，3，
①当 ， 时， （舍 ， ，
则 或372；
②当 ， 时， ，
则 或516；
③当 ， 时，此种情况没有符合的值；
④当 ， 时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数 为：732或372或156或516．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 与点 关于抛物线 的对称轴对称．将抛物线
向右平移，使新抛物线的对称轴 经过点 ．点 在新抛物线上，点 在
上，直接写出所有使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标，并把
第28页（共35页）求其中一个点 的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将点 、 坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）利用 ，得 ，则 ，设
， ， ，用含 的代数式表示出 ，利用
二次函数的性质可得答案；
（3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移 个单位，则平移后抛物线解
析式为 ，设 ， ，分 与 为对角线或
与 为对角线或 与 为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问
题．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
，
．
抛物线的函数表达式为 ；
（2） ， ，
第29页（共35页）， ，
由勾股定理得， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
设 ， ， ，
，
，
开口向下， ，
当 时， 的最大值为 ，此时 ；
（3）由 知，对称轴 ，
，
直线 ，
抛物线向右平移 个单位，
平移后抛物线解析式为 ，
设 ， ，
① 与 为对角线时，
第30页（共35页），
，
，
② 与 为对角线时，
，
，
，
③ 与 为对角线时，
，
，
，
综上： 或 或 ．
25．（10分）在 中， ， ， 为 的中点， ， 分别为 ，
上任意一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
（1）如图1，点 与点 重合，且 的延长线过点 ，若点 为 的中点，连接 ，求
的长；
（2）如图2， 的延长线交 于点 ，点 在 上， 且 ，求证：
；
第31页（共35页）（3）如图3， 为线段 上一动点， 为 的中点，连接 ， 为直线 上一动点，连
接 ，将 沿 翻折至 所在平面内，得到△ ，连接 ，直接写出线段
的长度的最小值．
【分析】（1）连接 ，判断出 为等腰直角三角形，进而判断出 ，进而得出
，再求出 ，即可求出答案；
（2）过点 作 交 的延长线于 ，先判断出 ，得出
， ，进而判断出 ，即可得出结论；
（3）先求出 ，再判断出点 是以点 为圆心， 为半径的圆上，再判断出点 在
点 右侧过点 与 垂直且等长的线段上，进而得出 最大时， 最小，即可求出答
案．
【解答】（1）解：如图1，连接 ，
由旋转知， ， ，
为等腰直角三角形，
点 是 的中点，
，
第32页（共35页）点 是 的中点，
，
在 中， ，
，
；
（2）证明：如图2，
过点 作 交 的延长线于 ，
，
由旋转知， ， ，
，
，
，点 是 的中点，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第33页（共35页），
，
，
，
，
；
（3）解： 点 是 的中点，
，
根据勾股定理得， ，
由折叠直， ，
点 是以点 为圆心， 为半径的圆上，
由旋转知， ，
点 在点 右侧过点 与 垂直且等长的线段上，
的最小值为 ，
要 最小，则 最大，即 最大，
点 在 上，
点 在点 或点 时， 最大，最大值为 ，
线段 的长度的最小值 ．
第34页（共35页）第35页（共35页）
