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2022年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．5的相反数是
A． B．5 C． D．
2．下列图形是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．如图，直线 ， 被直线 所截， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 随飞行时间 的变化情况，则
这只蝴蝶飞行的最高高度约为
A． B． C． D．
5．如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长为4，则
的周长是
A．4 B．6 C．9 D．16
6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9
个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则
第⑨个图案中正方形的个数为
第1页（共24页）A．32 B．34 C．37 D．41
7．估计 的值应在
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
8．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均
增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一点，连接 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
10．如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连
接 ．若 ，且 ，则 的长度是
A．3 B．4 C． D．
11．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解是负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是
A． B． C． D．
12．在多项式 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算
顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如： ，
， ．
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
第2页（共24页）二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对
应的横线上．
13．计算： ．
14．有三张完全一样正面分别写有字母 ， ， 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽
取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母
相同的概率是 ．
15．如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径画弧，分别交对角线
于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
16．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这
三座山各需两种树木数量和之比为 ，需香樟数量之比为 ，并且甲、乙两山需红
枫数量之比为 ．在实际购买时，香樟的价格比预算低 ，红枫的价格比预算高 ，
香樟购买数量减少了 ，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总
费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1） ；（2） ．
18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 中， 是 边上的一
点，试说明 的面积与矩形 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点 作 的
垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根
据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点 作 的垂线 ，垂足为 （只保留作图痕迹）．
在 和 中，
， ．
又 ， ①
， ②
又 ③
．
同理可得 ④
．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．
19．（10分）公司生产 、 两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某
月生产的 、 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除
第3页（共24页）尘量的数据（单位： ，并进行整理、描述和分析（除尘量用 表示，共分为三个等级：合格
，良好 ，优秀 ，下面给出了部分信息：
10台 型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的 、 型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占
百分比
90 89 26.6
90 90 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）这个月公司可生产 型扫地机器人共3000台，估计该月 型扫地机器人“优秀”等级
的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由
（写出一条理由即可）．
20．（10分）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
， ．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）若点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ，求 的面积．
21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿
相同路线骑行去距 地30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
第4页（共24页）（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行的速度．
22．（10分）如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道．经测
量，点 在点 的正东方向， 米．点 在点 的正北方向．点 ， 在点 的正北
方向， 米．点 在点 的北偏东 ，点 在点 的北偏东 ．
（1）求步道 的长度（精确到个位）；
（2）点 处有直饮水，小红从 出发沿人行步道去取水，可以经过点 到达点 ，也可以经
过点 到达点 ．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据： ，
23．（10分）若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 去掉个位与十位数
字后得到的两位数，则这个四位数 为“勾股和数”．
例如： ， ， 是“勾股和数”；
又如： ， ， ， 不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记
， ．当 ， 均是整数时，求出所有满足条
件的 ．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作
轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点
为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上一点．
在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
第5页（共24页）25．（10分）如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上一动点，连接
交直线 于点 ．
（1）如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
（2）如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到
线段 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，猜想线段 ，
， 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，点
是 的中点，点 是线段 上一点，将 沿直线 翻折至 所在平面内得
到 ，连接 ．在点 ， 运动过程中，当线段 取得最小值，且 时，请直
接写出 的值．
第6页（共24页）2022年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．5的相反数是
A． B．5 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是 ，
故选： ．
2．下列图形是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选： ．
3．如图，直线 ， 被直线 所截， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 随飞行时间 的变化情况，则
这只蝴蝶飞行的最高高度约为
第7页（共24页）A． B． C． D．
【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
【解答】解：观察图象，当 时， ，
这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ，
故选： ．
5．如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长为4，则
的周长是
A．4 B．6 C．9 D．16
【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得 的周长．
【解答】解： 与 位似，相似比为 ．
，
的周长为4，
的周长是6，
故选： ．
6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9
个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则
第⑨个图案中正方形的个数为
A．32 B．34 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第 个图形中有 个正方形即可．
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
，
第 个图案中有 个正方形，
第⑨个图案中正方形的个数为 ，
第8页（共24页）故选： ．
7．估计 的值应在
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【分析】先计算出原式得 ，再根据无理数的估算可得答案．
【解答】解：原式 ，
，
，
．
故选： ．
8．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均
增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为 ，关系式为：第三天揽件数 第一天揽件数 揽
件日平均增长率） ，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为 ，
根据题意，可列方程： ，
故选： ．
9．如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一点，连接 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到 的度数，从而可以求
得 的度数．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
平分 ，四边形 是正方形，
， ，
，
，
故选： ．
第9页（共24页）10．如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连
接 ．若 ，且 ，则 的长度是
A．3 B．4 C． D．
【分析】连接 ，则 ，由勾股定理可知， ①，由 和 是半径，
所以 ，所以 ， ，可得 ，所以
， 设 ， 则 ， ， ， 所 以
，求出 的值，即可求出 和 的长，进而求得 的长．
【解答】解：如图，连接 ，
是 的切线， 为切点，
，
，
和 是半径，
，
，
，
， ，
，
，
即 ，
设 ，
，
， ， ，
，解得 （负值舍去），
， ，
，
，
故选： ．
第10页（共24页）11．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解是负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是
A． B． C． D．
【分析】解不等式组得出 ，结合题意得出 ，解分式方程得出 ，结合
题意得出 或 ，进而得出所有满足条件的整数 的值之和是 ，即可得出
答案．
【解答】解：解不等式组 得： ，
不等式组 的解集为 ，
，
，
解分式方程 得： ，
是负整数且 ，
是负整数且 ，
或 ，
所有满足条件的整数 的值之和是 ，
故选： ．
12．在多项式 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算
顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如： ，
， ．
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给 加括号时，和原式相等；因为不改变 ，
的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式
中，可通过加括号改变 ， ， 的符号，因为 ， ， 中只有加减两种运算，
求出即可．
【解答】解：① ，与原式相等，
第11页（共24页）故①正确；
② 在多项式 中，可通过加括号改变 ， ， 的符号，无法改变 ， 的符号，
故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
故②正确；
③在多项式 中，可通过加括号改变 ， ， 的符号，加括号后只有加减两种
运算，
种，
所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．
故选： ．
二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对
应的横线上．
13．计算： 5 ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为：5．
14．有三张完全一样正面分别写有字母 ， ， 的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽
取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母
相同的概率是 ．
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然
后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为 ，
故答案为： ．
15．如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径画弧，分别交对角线
于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取
近似值）
【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法
求出扇形 的面积，由 可得答案．
【解答】解：如图，连接 交 于点 ，则 ，
四边形 是菱形， ，
， ，
在 中， ， ，
， ，
第12页（共24页）， ，
，
，
故答案为： ．
16．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这
三座山各需两种树木数量和之比为 ，需香樟数量之比为 ，并且甲、乙两山需红
枫数量之比为 ．在实际购买时，香樟的价格比预算低 ，红枫的价格比预算高 ，
香樟购买数量减少了 ，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总
费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得
出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”
列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
【解答】解：根据题意，如表格所设：
香樟数量 红枫数量 总量
甲
乙
丙
甲、乙两山需红枫数量之比为 ，
，
，
故数量可如下表：
香樟数量 红枫数量 总量
甲
乙
丙
所以香樟的总量是 ，红枫的总量是 ，
设香樟的单价为 ，红枫的单价为 ，
由题意得，
，
，
，
设 ， ，
第13页（共24页），
故答案为： ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 中， 是 边上的一
点，试说明 的面积与矩形 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点 作 的
垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根
据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点 作 的垂线 ，垂足为 （只保留作图痕迹）．
在 和 中，
，
．
又 ，
， ①
，
②
又 ③
．
同理可得 ④
．
【分析】以 为圆心 长为半径画弧交 于 ，连接 ，根据已知条件依次写出相应的
解答过程即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
第14页（共24页）由题知，在 和 中，
，
．
又 ，
，①
，
，②
又 ，③
．
同理可得 ，④
，
故答案为：① ，② ，③ ，④ ．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．
19．（10分）公司生产 、 两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某
月生产的 、 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除
尘量的数据（单位： ，并进行整理、描述和分析（除尘量用 表示，共分为三个等级：合格
，良好 ，优秀 ，下面给出了部分信息：
10台 型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的 、 型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占
百分比
90 89 26.6
90 90 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 9 5 ， ， ；
（2）这个月公司可生产 型扫地机器人共3000台，估计该月 型扫地机器人“优秀”等级
的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由
（写出一条理由即可）．
第15页（共24页）【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出 、 的值，由 型扫地机器人中“良好”等级占
，“优秀”等级所占百分比为 ，可求出 的值；
（2）用3000乘 即可得答案；
（3）比较 型、 型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．
【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，
众数 ，
10台 型扫地机器人中“良好”等级有5台，占 ，“优秀”等级所占百分比为 ，
“合格”等级占 ，即 ，
把 型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，
，
故答案为：95，90，20；
（2）该月 型扫地机器人“优秀”等级的台数 （台 ；
（3） 型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下， 型号的扫
地机器人除尘量的众数 型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．
20．（10分）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
， ．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）若点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ，求 的面积．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出 点和 点的坐标，然后用待定系数法求出一次函
数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）根据对称求出 点坐标，根据 点、 点和 点坐标确定三角形的底和高，进而求出三
角形的面积即可．
【解答】解：（1） 反比例函数 的图象过点 ， ，
， ，
解得 ， ，
， ，
一次函数 的图象过 点和 点，
，
第16页（共24页）解得 ，
一次函数的表达式为 ，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式 的解集为： 或 ；
（3）由题意作图如下：
由图知 中 边上的高为6， ，
．
21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿
相同路线骑行去距 地30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行的速度．
【分析】（1）设乙骑行的速度为 千米 时，则甲骑行的速度为 千米 时，利用路程 速度
时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可求
出乙骑行的速度，再将其代入 中即可求出甲骑行的速度；
（2）设乙骑行的速度为 千米 时，则甲骑行的速度为 千米 时，利用时间 路程 速度，
结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，
第17页（共24页）再将其代入 中即可求出甲骑行的速度．
【解答】解：（1）设乙骑行的速度为 千米 时，则甲骑行的速度为 千米 时，
依题意得： ，
解得： ，
．
答：甲骑行的速度为24千米 时．
（2）设乙骑行的速度为 千米 时，则甲骑行的速度为 千米 时，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度为18千米 时．
22．（10分）如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道．经测
量，点 在点 的正东方向， 米．点 在点 的正北方向．点 ， 在点 的正北
方向， 米．点 在点 的北偏东 ，点 在点 的北偏东 ．
（1）求步道 的长度（精确到个位）；
（2）点 处有直饮水，小红从 出发沿人行步道去取水，可以经过点 到达点 ，也可以经
过点 到达点 ．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据： ，
【分析】（1）过 作 于 ，由已知可得四边形 是矩形，则 米，
根据点 在点 的北偏东 ，即得 （米 ；
（2）由 是等腰直角三角形， 米，可得 米，而 ，即得
米， 米，又 米，即可得经过点 到达点
路程为 米， 米，从而可得经过点 到达点
路程为 米，即可得答案．
【解答】解：（1）过 作 于 ，如图：
第18页（共24页）由已知可得四边形 是矩形，
米，
点 在点 的北偏东 ，即 ，
是等腰直角三角形，
（米 ；
（2）由（1）知 是等腰直角三角形， 米，
米，
点 在点 的北偏东 ，即 ，
，
米，
米， 米，
米，
经过点 到达点 路程为 米，
米，
米，
米，
经过点 到达点 路程为 米，
，
经过点 到达点 较近．
23．（10分）若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 去掉个位与十位数
字后得到的两位数，则这个四位数 为“勾股和数”．
例如： ， ， 是“勾股和数”；
又如： ， ， ， 不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记
， ．当 ， 均是整数时，求出所有满足条
件的 ．
【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；
（2）由题意可知， ，且 ，由 为整数，可知 ，再
由 为整数，可得 为3的倍数，由此可得出 的值．
【解答】解：（1） ， ，
不是“勾股和数”，
，
是“勾股和数”；
（2） 为“勾股和数”，
，
第19页（共24页），
为整数， 为整数，
，
为整数，
为3的倍数，
为3的倍数．
① ， 或 ， ，此时 或8190；
② ， 或 ， ，此时 或4563．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作
轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点
为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上一点．
在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为 ；
（2）设直线 解析式为 ，把 ， 代入可得直线 解析式为 ，
设 ， 则 ， 可 得 ， ，
，则 ，
利用二次函数性质可得 的最大值为 ，此时点 的坐标是 ， ；
（3）将抛物线 向左平移5个单位得抛物线 ，对称轴是直线
，即可得 ， ， ，设 ， ，分三种情况：①当
、 为对角线时， 、 的中点重合，可得 ， ；②当 、 为对角线时，
第20页（共24页）、 的中点重合，可得 ， ；③当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
可得 ， ．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得：
，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）设直线 解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
在 中，令 得 ，
， ，
，
，
，
当 时， 取最大值 ，
此时 ，
， ；
答： 的最大值为 ，此时点 的坐标是 ， ；
（ 3 ） 将 抛 物 线 向 左 平 移 5 个 单 位 得 抛 物 线
，
新抛物线对称轴是直线 ，
在 中，令 得 ，
，
第21页（共24页）将 ， 向左平移5个单位得 ， ，
设 ， ，
①当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得 ，
，
， ；
②当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得 ，
，
， ；
③当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得 ，
，
， ；
综上所述， 的坐标为： ， 或 ， 或 ， ．
25．（10分）如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上一动点，连接
交直线 于点 ．
（1）如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
（2）如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到
线段 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，猜想线段 ，
， 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，点
是 的中点，点 是线段 上一点，将 沿直线 翻折至 所在平面内得
到 ，连接 ．在点 ， 运动过程中，当线段 取得最小值，且 时，请直
接写出 的值．
第22页（共24页）【分析】（1）如图1中，在射线 上取一点 ，使得 ，证明 ，推
出 ， ，再证明 ，可得结论；
（2）结论： ．首先证明 ．如图 中，延长 到 ，使得
，连接 ，证明 ，推出 ，延长 到 ，使得
，则 是等边三角形，再证明 ，推出 ，
，推出 是等边三角形，可得结论；
（3）由（2）可知 ，推出点 的运动轨迹为红色圆弧（如图 中），推出 ， ，
三点共线时， 的值最小，此时 ，如图 中，过点 作
于点 ，设 ， ， ， ，由等积法求出 ，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，在射线 上取一点 ，使得 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论： ．
理由：如图2中， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
第23页（共24页），
，
，
如图 中，延长 到 ，使得 ，连接 ，
， ， ，
，
，
延长 到 ，使得 ，则 是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
是等边三角形，
．
（3）由（2）可知 ，
点 的运动轨迹为红色圆弧（如图 中），
， ， 三点共线时， 的值最小，
此时 ，
，
，
，
如图 中，过点 作 于点 ，设 交 题意点 ，设 ， ，
， ，
，
．
第24页（共24页）
