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类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一 一元二次方程的一般解法
方法点拨： 形如（x＋m）2＝n
（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二
次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可
用配方法；若方程移项后一边为0，另一边
能分解成两个一次因式的积，可用因式分解
法；如果方程不能用直接开平方法和因式分 *类型二 一元二次方程的特殊解法
解法求解，则用公式法. 一、十字相乘法
1.用合适的方法解下列方程： 方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－
（1）－＝0； 4＝0.
第1种拆法：4x－x＝3x（正确），
第2种拆法：2x－2x＝0（错误），
（2）x2－6x＋7＝0； 所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，
即x＋4＝0或x－1＝0，所以x＝－4，x＝1.
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2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可
转化为解两个一元一次方程，请写出其中的
一个一元一次方程________________.
3.用十字相乘法解下列一元二次方程：
（1）x2－5x－6＝0；
（2）x2＋9x－36＝0.
（3）x2－x＋＝0；
（4）3x（2x＋1）＝4x＋2. 二、换元法
方法点拨：在已知或者未知条件中，
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某个代数式几次出现，可用一个字母来代替 4．－或1
它从而简化问题，这就是换元法，当然有时 5．解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为
候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的 t(t＋6)＝7，∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.
方程通过换元的方法变成一元二次方程，从 当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，x(x＋
而达到降次的目的. 5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x＝0，x＝－
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4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－ 5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x＋8
2）－8＝0，则a＋b＝__________. ＝0，∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时
5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝ 方程无实数根．∴原方程的解为x＝0，x＝
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7. －5.
类比归纳专题：一元二次方程的
解法答案
1．解：(1)移项，得＝，两边开平方，得x
－＝±，即x－＝或x－＝－，∴x＝3，x＝2；
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(2)移项，得x2－6x＝－7，配方，得x2－
6x＋9＝－7＋9，即(x－3)2＝2，两边开平方，
得x－3＝±，∴x＝3＋，x＝3－；
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(3)原方程可化为8x2－4x＋1＝0.∵a＝
8，b＝－4，c＝1，∴b2－4ac＝(－4)2－
4×8×1＝0，∴x＝＝，∴x＝x＝；
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(4)原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，
∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x＝－，x＝.
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2．x－1＝0或x＋3＝0
3．解：(1)原方程可变形为(x－6)(x＋1)
＝0，∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x＝6，x＝－
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1；
(2)原方程可变形为(x＋12)(x－3)＝0，
∴x＋12＝0或x－3＝0，∴x＝－12，x＝3.
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