《菱形的性质与判定》典型例题_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学9上_9年级上学期数学北师大单元习题_第一章特殊平行四边形

《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且 ，求： （1） 的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积． 例2 已知：如图，在菱形ABCD中， 于 于 F． 求证： 例 3 已知：如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 上的一点， ， ，求 的度数. 例4 如图，已知四边形 和四边形 都是长方形，且 ． 求证： 垂直平分 ． 1 / 5例5 如图， 中， ， 、 在直线 上，且 ． 求证： ． 例6 如图，在 △ 中， ， 为 的中点，四边形 是平 行四边形． 求证： 与 互相垂直平分 2 / 5参考答案 例1 分析 （1）由E为AB的中点， ，可知DE是AB的垂直平分线，从 而 ，且 ，则 是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2） 而 ，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直， 可知 解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴ 是AB的中点，且 ，∴ ∴ 是等边三角形，∴ 也是等边三角形． ∴ （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分， ∴ ∴ ，∴ （3）菱形ABCD的面积 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过 解题应该逐步认识这些特点． 例2 分析 要证明 ，可以先证明 ，而根据菱形的有关性质不难 证明 ，从而可以证得本题的结论． 证 明 ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ∴ ， 且 ，∴ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ 例3 解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形， ∴ ， . ∴ 与 为等边三角形. 3 / 5∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ 为等边三角形. ∴ ∵ ， ∴ ∴ 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连 AC，证 例4 分析 由已知条件可证明四边形 是菱形，再根据菱形的对角线平分 对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 ． 证明：∵四边形 、 都是长方形 ∴ ， ， ， ∴四边形 是平行四边形 ∵ ，∴ 在△ 和△ 中 ∴△ ≌△ ∴ ， ∵四边形 是平行四边形 ∴四边形 是菱形 ∴ 平分 ∴ 平分 ∵ ∴ 垂直平分 ． 例5 分析 要证 ，关键是要证明四边形 是菱形，然后利用菱形的 性质证明结论． 证明 ∵四边形 是平行四边形 ∴ ， ， ，∴ ∵ ，∴ 4 / 5在△ 和△ 中 ∴△ ≌△ ∴ ∵ ∴ 同理： ∴ ∵ ∴四边形 是平行四边形 ∵ ∴四边形 是菱形 ∴ ． 例6 分析 要证明 与 互相垂直平分，只要证明四边形 是菱形．所以 要连结 证明 ∵在 △ 中， 为 的中点 ∴ ∵四边形 是平行四边形 ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形 ∵ ∴ 是菱形 ∴ 与 互相垂直平分． 5 / 5