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专项训练一 特殊平行四边形
一、选择题
1．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(
)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
第1题图 第2题图 第3题图
2．(2016·遵义中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使
▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
3．(2016·宁夏中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD
边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A．2 B. C．6 D．8
第4题图 第5题图 第6题图
4．(日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB
＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中，选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正
方形(如图)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．(2016·黔东南州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝
2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )
A．2 B．3 C. D．2
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的
度数为C
A．45° B．55° C．60° D．75°
7．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延
长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为( )
A．22 B．18 C．14 D．11
第7题图 第8题图
8．(临沂中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，
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EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
9．(安徽中考)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H
在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A．2 B．3 C．5 D．6
第9题图 第10题图
10．★(深圳中考)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE
沿 DE 对折至△DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG，BF.给出以下结论：
①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S ＝.其中所有正确结论的个数
△BEF
是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．(2016·扬州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，
若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为________．
13．13．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝
________．
14．(2016·巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果
∠ADB＝30°，则∠E＝________°.
第14 题图 第15题图 第16题图
15．(2016·青岛中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上
一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．
16.(玉林中考)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上，BE＝1，点P，Q分别
是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面
积是________．
三、解答题
17．(2016·聊城中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，
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∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：
四边形ADCF是菱形．
18．(青岛中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂
足为点E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
19．★(泰州中考)如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
上的动点，AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；
(3)求四边形EFGH面积的最小值．
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参考答案与解析
1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B
9. C 解析：连接EF交AC于O.∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF.∵四边形
ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.在△CFO与△AEO中，
∴△CFO≌△AEO，∴AO＝CO.∵AC＝＝4，∴AO＝AC＝2.∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝
∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝5.故选C.
10．C 解析：由折叠的性质可知DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝
90°.又∵DG＝DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，∴①正确；∵正方形ABCD的边长为12，∴BE＝
EC＝EF＝6.设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x.由勾股定理得EG2＝BE2＋BG2，即(x＋
6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴BG＝2AG，∴②正确；∵BE＝EF＝6，
∴△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；∵BE＝6，∴BG＝8，∴EG
＝＝10，S ＝×6×8＝24，∴S ＝·S ＝×24＝，∴④正确．故选C.
△BEG △BEF △BEG
11．24 12.10 13.35° 14.15
15. 解析：∵CE＝5，△CEF的周长为18，∴CF＋EF＝18－5＝13.∵F为DE的中点，
∴DF＝EF.∵∠BCD＝90°，∴CF＝DE，∴EF＝CF＝DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD＝＝＝
12.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝(BC－CE)＝(12－5)＝.
16．4.5 解析：作点A关于CD的对称点A′，作点E关于BC的对称点E′，连接A′E′，交
BC，CD于点P，Q，此时所得四边形AEPQ的周长最短，易求得其面积为4.5.
17．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AFE和
△CDE中，
∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠B＝
90°，AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝
∠ACD，∴DA＝DC，∴四边形ADCF是菱形．
18．(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝
∠ADC＝90°.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴∠E＝∠DCE＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝
CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)；
(2)解：DE∥AB，DE＝AB.证明如下：∵四边形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB.
19．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA.∵AE＝DH，∴BE＝
AH.又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF.同理：FE＝GF＝HG，∴EH
＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋
∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；
(2)解：直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：连接BD交EG于点O.∵四边形
ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB.∵AE＝CG，∴BE＝DG.又
∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO＝DO，即点O为BD的中点，∴直线EG经过
正方形ABCD的中心；
(3)解：设AE＝DH＝x，则AH＝8－x.在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2
－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
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