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二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中
不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根
式。
4.二次根式的性质：
（1）（ ）2= （ ≥0）； （2） （＞0）
a2 a 0 （=0）；
（＜0）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它
的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为
积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）
仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
= · （a≥0，b≥0）； b b （b≥0，a>0）．
ab a b
a a（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及
多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
x
例3、 在根式1) a2 b2;2) ;3) x2 xy;4) 27abc ，最简二次根式是（ ）
5
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例5、已知数a，b，若 (ab)2 =b－a，则 ( )
A. a>b B. a0，b>0时，则：
① ； ②
例8、比较 与 的大小。
【基础训练】
7.下列计算正确的是
A． B． C． D．
9．已知等边三角形ABC的边长为3 3，则ΔABC的周长是____________；
10. 比较大小：３ 。
13. 函数 中，自变量 的取值范围是 ．
15.下列根式中属最简二次根式的是
A. B. C. D.
19.已知二次根式 与 是同类二次根式，则的α值可以是
A、5 B、6 C、7 D、821.若 ，则 ．
22．如图，在数轴上表示实数 的点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
23.计算：
（1） （2）
25.若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
26.如图，数轴上 两点表示的数分别为1和 ，点 关于点 的对称点为点 ，
则点 所表示的数是
A． B． C． D．
勾股定理知识总结
一．基础知识点：
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主
要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ，
， ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直
角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2b=c），那么
a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海
里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距
（ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（
）
A、40 B、80 C、40或360 D、80或36016．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，
已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
北
A 东
20m 30m
150°
三．解答题： 第16题图 南 第14题
图
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1
尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。
20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端
距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几
米？
A
A′
O
B′
A
B
A
第20题图
平行四边形
平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。
平行四边形性质：
平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分
平行四边形的面积等于底和高的积，即S =ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，
□ABCD
h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点
为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
知识巩固
4.如图， ABCD 的对角线AC和BD相较于点O，如果AC=10，BD=12，AB=m，那么m的取值范围是
。
1、已知 ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：
OE=OF.2、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则
△ABE的周长为 cm.
E
A D
O
B C
1.平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为
3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.
2、在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
3.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（
）A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6
4、如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比□ABCD的周长
少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长.
1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值的比可能是（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶12、如图，在 ABCD中，AB=10cm，AB边上的高DH=4cm，BC=6cm,则BC边上的高DF的长为
。
2、如图，在 中， 则 =
：如图，已知 中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，求
2、如图，在 ABCD中，AE BC 于E，AF CD于F ,若AE=4，AF=6， ABCD的周
长为40，求 ABCD的面积。
3、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有 ， ，那么下列
说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等
A E D
绿
紫
G 红
H
黄
橙
蓝
B
F C
例3
4、如图，在 中， ,分别以BC、CD为边向外作 和 ，使
BE=BC，DF=DC, ,延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF。
（1）求证： ；（2）当 时，求 的度数。
1．能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等
C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等
5、如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，
H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.例1、如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交
于点F，求证：四边形ABDF是平行四边形．
21．如右图所示，在 ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，
求 ABCD的周长．
22．如图所示，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．
A D
F
E
B C［例1］如图，已知AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC，ND⊥AC，垂足分别是M、N.求证：
四边形BMDN是平行四边形.
证法一：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∵AB∥CD，∴∠3=∠4
又∵BM⊥AC，DN⊥AC
∴∠1=∠2=90°
∴BM∥DN且△ABM≌△CDN
∴BM=DN，又BM∥DN
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
证法二：如图，连结BD交AC于O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO(平行四边形对角线互相平分)
∵BM⊥AC，DN⊥AC
∴∠1=∠2=90°，
又∵∠3=∠4，∴△MOB≌△NOD
∴OM=ON
∴四边形BMDN是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
2.已知如图：O是 ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两
点.求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，∴∠1=∠2
∵O是对角线AC的中点，
∴OA=OC
又∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF，又OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形.
2．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）．
（A）9 （B）6 （C）3 （D）
3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（ ）．
（A）40时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0
时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
9．解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
10． 必过点：（0，0）、（1，k）11． 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
12． 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
13． 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx
＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意
实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（- ，0）两点的一条直线，我们称它为直线
y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0
时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0) （2）必过点：（0，b）和（- ，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数
，符号
y y y y y y
图象
O x O x O x O x O x O x
性质 随 的增大而增大 随 的增大而减小
4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条
直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选
取它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0 b<0 b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长
度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数， 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那
k≠0)的函数叫做正比例函数，其 么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，
中k叫做比例系数 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 X为全体实数
范 围
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k）
（0，b）和（- ，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 个单
位；
平 移
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 个单
位.6、直线 （ ）与 （ ）的位置关系
（1）两直线平行 且 （2）两直线相交
（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直
巩固练习
一、选择题：
1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（ ）
（A）一象限 （B）二象限 （C）三象限 （D）四象限
3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）164．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为
y=k x+a 和y=k x+a ，如图，所挂物体质量均为
1 1 2 2
2kg时，甲弹簧长为y ，乙弹簧长为y ，则y 与y
1 2 1 2
的大小关系为（ ）
（A）y >y （B）y =y
1 2 1 2
（C）y a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一
组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）
6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（ ）象限．
（A）一 （B）二 （C）三 （D）四
7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）
（A）y随x的增大而增大 （B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限
9．要得到y=- x-4的图像，可把直线y=- x（ ）．
（A）向左平移4个单位 （B）向右平移4个单位
（C）向上平移4个单位 （D）向下平移4个单位
10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（ ）
（A）m>- （B）m>5 （C）m=- （D）m=5
11．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．（A）k< （B） 1 （D）k>1或k<
12．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（
）
（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条
13．已知abc≠0，而且 =p，那么直线y=px+p一定通过（ ）
（A）第一、二象限 （B）第二、三象限
（C）第三、四象限 （D）第一、四象限
14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（ ）
（A）-4
