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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第三章 单元检测卷
满分：120分 时间：90分钟
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题为真命题的是( )
A．两点确定一个圆 B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦 D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
[来源:学。科。网]
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )
A．70° B．60° C．50° D．30°
4．如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.
如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )
A．70° B．64° C．62° D．51°
5．秋千拉绳长3 m，静止时踩板离地面0.5 m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离
地面2 m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．π m B．2π m C.π m D. m
6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，
则圆的直径长为( )
A．12 B．10 C．14 D．15
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(第6题) (第7题)
7．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为(
)
A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
8．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于(
)
A．55° B．90° C．110° D．120°
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图
象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是( )
A．4 B．3＋ C．3 D．3＋
(第8题) (第9题) (第10题)
10．如图，正六边形AB C DEF 的边长为2，正六边形AB C DEF 的外接圆与正六边
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
形AB C DEF 的各边相切，正六边形AB C DEF 的外接圆与正六边形AB C DEF 的各
1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
边相切……按这样的规律进行下去，正六边形A B C D E F 的边长为( )
10 10 10 10 10 10
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应
满足的条件是________(只填一个即可)．
(第11题) (第12题) (第13题)
12．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，
∠DCF＝32°，那么∠A＝________．
13．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM＝66°，则∠DAM＝________．
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14．如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB＝CD，则图中与∠1 相等的角有
__________________．
(第14题) (第15题) (第16题)
15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52 cm，装入油后，油深CD为16 cm，那
么油面宽度AB＝________.
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O
为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．
17．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是
AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是7，则GE＋FH的最大值是
________．
(第17题) (第18题)
18．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．
下列结论：①MC＝ND；②＝＝；③四边形MCDN是正方形；④MN＝AB，其中正确的结论
是________(填序号)．
三、解答题(19题6分，20～24题每题12分，共66分)
19．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，
使∠BED＝∠C.试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由．
(第19题)
20．在直径为20 cm的圆中，有一条弦长为16 cm，求它所对的弓形的高．
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21．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于点C，过点C
的直线y＝2x＋b交x轴于点D，且⊙P的半径为，AB＝4.
(1)求点B，P，C的坐标；
(2)求证：CD是⊙P的切线．
(第21题)
22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为
20 m.
(1)求桥拱的半径．
(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮
船能顺利通过吗？请说明理由．
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(第22题)
23．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，
AD是⊙O的直径，且交BP于点E.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长；
(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
(第23题)
[来源:Z_xx_k.Com]
24．如图①，AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O
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相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.
[来源:Zxxk.Com]
(1)求证：∠DAC＝∠BAC；
(2)若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；
(3)若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G，C两点，题中的其他条件不变，
试问这时与∠DAC相等的角是否存在，并说明理由．
(第24题)
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答案
一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.B
7．C 8.C 9.B
10．D 点拨：∵正六边形AB C DEF 的边长为2＝，∴正六边形AB C DEF 的外接
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
圆的半径为，则正六边形AB C DEF 的边长为＝，同理，正六边形AB C DEF 的边长为
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
＝，…，正六边形AB C DEF 的边长为，则当n＝10时，正六边形A B C D E F 的边长
n n n n n n 10 10 10 10 10 10
为＝＝＝，故选D.
二、11.∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B
[来源:Z_xx_k.Com]
12．99° 点拨：易知EB＝EC.又∠E＝46°，所以∠ECB＝67°.从而∠BCD＝180°－67°－
32°＝81°.在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A＝180°－81°＝99°.
13．147° 点拨：因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB.由∠AOM＝66°，得∠OAM＝
(180°－66°)＝57°.所以∠DAM＝90°＋57°＝147°.
14．∠6，∠2，∠5 点拨：本题中由弦AB＝CD可知＝，因为同弧或等弧所对的圆周角相
等，所以∠1＝∠6＝∠2＝∠5.
[来源:学。科。网]
15．48 cm
16.＋ 点拨：连接OE.∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝1.∵OE＝OA＝2，∴OC＝
OE.∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°.∴∠COE＝60°.在Rt△OCE中，CE＝＝，∴S ＝OC·CE
△OCE
＝.∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠COE＝30°.∴S ＝＝.又S ＝＝.因此S
扇形BOE 扇形COD
＝S ＋S －S ＝＋－＝＋.
阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD
17．10.5
18．①②④ 点拨：连接OM，ON，易证Rt△OMC≌Rt△OND，可得MC＝ND，故①正确．
在Rt△MOC中，CO＝MO.得∠CMO＝30°，所以∠MOC＝60°.易得∠MOC＝∠NOD＝
∠MON＝60°，所以＝＝，故②正确．易得CD＝AB＝OA＝OM，∵MC＜OM，∴四边形
MCDN是矩形，故③错误．易得MN＝CD＝AB，故④正确．
三、19.解：AC与半圆O相切．
理由如下：∵是∠BED与∠BAD所对的弧，
∴∠BAD＝∠BED.
∵OC⊥AD，
∴∠AOC＋∠BAD＝90°.
∴∠BED＋∠AOC＝90°.
即∠C＋∠AOC＝90°.
∴∠OAC＝90°.
∴AB⊥AC，即AC与半圆O相切．
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20．解：∵这条小于直径的弦所对的弧有两条：劣弧与优弧，∴对应的弓形也有两个．
如图，HG为⊙O的直径，
且HG⊥AB，AB＝16 cm，
HG＝20 cm，连接BO.
∴OB＝OH＝OG＝10 cm，BC＝AB＝8 cm.
∴OC＝＝＝6(cm)．
∴CH＝OH－OC＝10－6＝4(cm)，
CG＝OC＋OG＝6＋10＝16(cm)．
故所求弓形的高为4 cm或16 cm.
(第20题)
21．(1)解：如图，连接CA.
(第21题)
∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2.
∵OP2＋BO2＝BP2，
∴OP2＝5－4＝1，OP＝1.
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB＝90°.
∵CP＝BP，OB＝OA，
∴AC＝2OP＝2.
∴B(2，0)，P(0，1)，C(－2，2)．
(2)证明：∵直线y＝2x＋b过C点，
∴b＝6.∴y＝2x＋6.
∵当y＝0时，x＝－3，
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∴D(－3，0)．∴AD＝1.
∵OB＝AC＝2，AD＝OP＝1，
∠CAD＝∠POB＝90°，
∴△DAC≌△POB.
∴∠DCA＝∠ABC.
∵∠ACB＋∠CBA＝90°，
∴∠DCA＋∠ACB＝90°，即CD⊥BC.
∴CD是⊙P的切线．
22．解：(1)如图，点E是桥拱所在圆的圆心．
(第22题)
过点E作EF⊥AB于点F，
延长EF交于点C，连接AE，
则CF＝20 m．由垂径定理知，
F是AB的中点，
∴AF＝FB＝AB＝40 m.
设半径是r m，由勾股定理，
得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，
即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.
∴桥拱的半径为50 m.
(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：
当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置．
连接EM，设EC与MN的交点为D，
则DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝＝＝40(m)．
∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，
∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．
∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．
23．(1)证明：如图，连接CD，∵AD是⊙O的直径．∴∠ACD＝90°.
∴∠CAD＋∠ADC＝90°.
又∵∠PAC＝∠PBA，
∠ADC＝∠PBA，∴∠PAC＝∠ADC.
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∴∠CAD＋∠PAC＝90°.
∴PA⊥DA.而AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA.∴∠GCA＝∠PAC.
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA.
而∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC.
∴＝，
即AC2＝AG·AB.
∵AG·AB＝12，
∴AC2＝12.∴AC＝2.
(3)解：设AF＝x，∵AF∶FD＝1∶2，
∴FD＝2x.∴AD＝AF＋FD＝3x.
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，
∴AC2＝AF·AD，即3x2＝12，
解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴AF＝2，AD＝6.∴⊙O的半径为3.
在Rt△AFG中，AF＝2，GF＝1，
根据勾股定理得AG＝＝＝，由(2)知AG·AB＝12，
∴AB＝＝.连接BD，如图．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB＝，
AD＝6，AB＝，∴sin∠ADB＝.
∵∠ACE＝∠ADB，∴sin∠ACE＝.
(第23题)
24．(1)证明：如图①，连接OC.
∵直线EF和⊙O相切于点C，
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∴OC⊥EF.∵AD⊥EF，
∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.
∴∠DAC＝∠BAC.
(2)解：∵AD和⊙O相切于点A，
∴OA⊥AD.
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°.
∴四边形OADC是矩形．
∵OA＝OC，
∴矩形OADC是正方形．
∴AD＝OA.
∵AB＝2OA＝10，
∴AD＝OA＝5.
(第24题)
(3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如图②，连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°.
∴∠ACD＋∠BCG＝90°.
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠DAC＝90°.
∴∠DAC＝∠BCG.
∵∠BCG＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠DAC.
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