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整式的概念
【学习目标】
1．掌握单项式系数及次数的概念；
2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
【要点梳理】
要点一、单项式
1.单项式的概念：如 ，
，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是
单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单
独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 可以写成 。但若分母中含
有字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其
系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，
通常写成假分数，如： 写成 ．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
要点二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要 点诠释：（1）多项式的每一
项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次
数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．要点三、 整式
单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系
如 图 所
示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【典型例题】
类型一、整式概念辨析
1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
， ， ， 10 ， ， ，
， ， ，
【答案与解析】单项式有： ，10， ， ；
多项式有： ， ， ， ；
整式有： ， ， ，10， ， ， ， ．
【 总 结 升 华 】 不 是 整 式 ， 因 为 分 母 中 含 有 字 母 ；
也
不是多项式，因为 不是单
项式．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念 例1】
【变式】下列代数式： ，其
中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。
【答案】①②③，④⑥
类型二、单项式2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
， ， ， ， ，a-3， ， ，
【答案与解析】 ， ， ， ， ， ， 是单项式，其中
的系数是 ，次数是3； 的系数是-1，次数是1； 的系数是 ，次数是
4；
的系数是 ，次数是4； 为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数
为0；
的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如 中， 的指
数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4） 是常数，不能看
作字母．
举一反三：
【变式1】（2011•柳州）单项式3x2y3的系数是 ．
【答案】3．
【变式2】（2009·泰州）下列结论正确的是( )．
A．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B．单项式 的系 数
是3，次数是2．
C．单项式m既没有系数，也没有次数．
D．单项式 的系数是-1，次数是4．
【答案】D
类型三、多项式
3.多项式 ，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什
么？常数项是 什么？这是几
次几项式?【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为： ，它们的次数分别为：
3,6,1,0；
其中 的次数是6，是最高次项，一次项 的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数
中的最大的数即为多项式的次数．
4. 已知多项式 ．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项 的系数是-6，次数是3；第二项
的系数是-7，次数是3m+1；第三项 的系数是 ，次数是4；第四项 系
数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得 的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式 的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用
字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念 ------练习题---3】
【变式】多项式 是关于 的二次三项式，求a与b的差的相反数．
【答案】
类型四、整式的应用
5.用整式填空：
(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A
的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400
元，若标价为b元，按标价的
8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________．
【 答 案 】 (1) ； (2) 甲 商 品 的 利 润 率 为 ， 乙 商品 的 利 润 率 为 ：
．
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打
折 ” 等 问 题 ， 打 几 折 就 是 标 价 的 十 分 之 几
．
【 总 结 升 华 】 解 答 本 例 需 弄 清 以 下 两
个数量关系：(1)利润＝售价
－进价; (2)利润率＝ ．
举一反三：
【变式】有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生
每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了 块砖（用含a．b的代数式表示）．
【答案】（40a+30b）
6. (2 010·广东茂名)如
图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋
子
A．4 n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D．n2枚
【答案】 A
【解析】第一个“口”字用4枚棋子，第二个“口”字用8枚棋子，第三个“口”字用12枚棋
子，由4＝4×1，8＝4×2，12＝4×3依此类推第n个“口”字需用棋子4n．
【 总 结 升 华 】 找 规 律 问 题 一 般 应 经 历 四 个 阶
级“特例引路”、“对比分
析”、“总结规律”、“反思检验”等．
