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第二十三章过关自测卷
（100分,45分钟）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．已知下列命题：①关于一点对称的两个图形一定不全等；②关于一
点对称的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图形一定关于一点
对称.其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．〈江苏泰州〉下列标志图(图1)中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是（ ）
图1
3．如图2，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE
绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则
∠EFD的度数为（ ）
图2
A.10° B.15° C.20° D.25°
4．如图3①，将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，
得到的图形是图3②中的（ ）图3
5．如图4所示的图案中，绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合
的图形的个数是（ ）
图4
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知a＜0，则点P（－a2，－a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于
水平桌面上，如图5①．在图5②中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌
面上按逆时针方向旋转 90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为
图5①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上
一面的点数是（ ）
图5
A．6 B．5 C．3 D．28．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕
点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，
斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（
）
A. 30，2 B.60，2 C.60， D.60，
图6
二、填空题（每题4分，共24分）
9．如图7，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连
接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋
转角为α（ 0°＜α＜180°），则α=_______．
图7
10.如图8，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如
果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A
的对应点
A′的坐标是_______．图8
11.如图9，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长
均为 1 个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转到
△A′BC′的位置，且点
A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是_______平方
单位（结果保留π）．
图9 图10
12.直线 y=x+3 上有一点 P(3,n)，则点 P 关于原点的对称点 P′为
_______.
13.如图10，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时
针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，则PP′的长是_______．
14.如图11①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x
轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图11②、图
11③、…，则旋转得到的图11⑩的直角顶点的坐标为_______．图11
三、解答题（17题10分，18题12分，19题14分，其余每题8分，共52
分）
15.如图12，在平面直角坐标系中，三角形②③是由三角形①依次旋转
后所得的图形．
图12
（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；
（2）在图中画出再次旋转后的三角形④．16．如图13所示，（1）观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出
这四个图案都具有的两个共同特征：
图13
（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在
解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：①新图案与图①～④的图
案不能重合；②只答第(2)问而没有答第（1）问的解答不得分）17.如图14，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由；
图14
（2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积．18.如图15，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长
为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标
为（1，1）．
（1）若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B ，点
1
C到达点C ，点D到达点D ，求点B 、C 、D 的坐标;
1 1 1 1 1
图15
（2）若线段 AC 的长度与点 D 的横坐标的差恰好是一元二次方程
1 1
x2+ax+1=0的一个根，求a的值．19〈. 潍坊〉如图16①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长
为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．
现将小长方形 CEFD 绕点C顺时针旋转至长方形 CE′F′ D′，
旋转角为α．
图16
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图16②，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′= E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与
△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理
由．参考答案及点拨
一、1．B 2.B
3．B 点拨：由旋转性质得△BCE≌△DCF，所以∠DFC=∠BEC=
60°，CE=CF，又∠ECF=90°，所以∠EFC=45°，所以∠EFD= ∠DFC
－∠EFC=60°－45°=15°.
4. C
5. D 点拨：四个图形都是中心对称图形，所以绕自身的某一点旋转
180°后都与自身重合.
6. D
7. B 点拨：先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续
3次变换是一个循环．本题先要找出 3次变换是一个循环，然后再求
10 被 3 整除后余数是 1，从而确定第 10 次变换的结果与第 1 次变换
相同．
8. C
二、9. 90°
10.（－3，3） 点拨：△A′B′C的位置如答图1．
答图111. 点拨：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB= =
= ，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转
角为90°，∴线段AB扫过的图形的面积为 = ．
12.（－3，－6） 点拨：把x=3代入y=x+3得y=6,所以P（3,6），
P′（－3，－6）.
13. 3 点拨:∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴ AP′ =AP ， ∠ CAP′ =∠ BAP ，
∴ ∠ PAP′ =∠ PAC+∠ CAP′ =∠ PAC+∠ BAP=∠ BAC=90° ，
∴△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′= AP=3 .
14（. 36，0） 点拨：在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，
每旋转3次为一循环，则图③④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥⑦的
直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨⑩的直角顶点坐标为（36，0）．
三、15. 解（: 1）旋转中心点P位置如答图2所示，点P的坐标为(0，1)；
（2）旋转后的三角形④如答图2所示．
答图2
16．解：（1）①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之
和．（2）答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，
均正确，例如：同时具备特征①②的部分图案如答图3所示：
答图3
17. 解：（1）四边形BDEG是菱形.
理由：因为矩形 ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，所以 BE和
DG互相平分，四边形BDEG 是平行四边形；又因为∠DAB=90°，所以
四边形BDEG是菱形.
（2） 因为矩形ABCD面积为2，所以△DAB的面积为1，所以菱形
BDEG的面积为4.
18. 解：（1）如答图4，B 、C 、D 的坐标分别为：B（2，－1），C（4，0），
1 1 1 1 1
D （3，2）；
1
（2）连接AC ，根据勾股定理，AC = = ，∴线段AC 的长度与
1 1 1
点D 的横坐标的差是 －3，∴（ －3)2+（10－3)a+1=0,
1
整理得（ －3)a=－20+6 ,
解得a=－2 .
答图419. (1) 解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至长方形 CE′F′
D′，
∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴α=30°；
(2)证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′.
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.
在△GCD′和△E′CD中，
∴△GCD′≌△E′CD，∴GD′=E′D；
(3) 解：能．旋转角α为135°或315°.
