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沪科九年级数学(上册) ．若抛物线y kx２ x 与x轴有两个不同的交点 则k ．如图 两个正方形 分别有一个顶点A B 在反比例函数
７ ＝ －４ －２ , １３ , ①,② ,
期中综合检测卷 的取值范围是 B k
( ) y x 的图象上 其中正方形 的面积是 则正方形
＝x( ＞０) , ① ４, ②
k k 且k
A ＞－２ B ＞－２ ≠０
(考查范围:第 ２１ 章至第 ２２ 章 ２２ ． ２ 相似三角形的判定) k k 且k 的边长是 －１＋ ５ ．
C ＜２ D ≥－２ ≠０
满分:
１５０
分 考试时间:
１２０
分钟
８
．某市新建一座景观桥．如图
,
桥的拱肋ADB可视为抛物线的
１４
．如图
①,
E是等边三角形ABC的边BC上一动点
(
不与点B
,
C
一、选择题(本大题共 小题,每小题 分,满分 分)
１０ ４ ４０ 一部分 桥面AB可视为水平线段 桥面与拱肋用垂直于桥
重合
),
连接AE
,
以AE 为边向右作等边三角形AEF
,
连接
, ,
每小题都给出 ,,, 四个选项,其中只有一个是符合题目
A BCD 面的杆状景观灯连接 拱肋的跨度AB为 桥拱的最大
CF．已知 ECF的面积S与BE的长x之间的函数关系如图
要求的．
, ４０m, △
１ ．抛物线y ＝４( x －３) ２ ＋７ 的顶点坐标是 ( B )
高
离为
度CD为
的 １ 景 ６ 观 m 灯 (
不
杆
考
M
虑
N
灯
的
杆
高
和
度
拱
为
肋的粗细
),
则与CD的
C
距
②
所
当
示
(
P
E
为
CF
抛物
的
线
面
的
积
顶点
最 ) 大
．
时
５m ( ) (１) △ ,
A(－３,７) B(３,７) C(－３,－７) D(３,－７) FEC的度数为 ３０°
．已知四条线段abcd是成比例线段 其中b c A１３m B１４m C１５m D１６m ∠ ;
２ ,,, , ＝３cm,＝ 等边三角形ABC 的边长为
(２)
d 则线段a的长度为 C
６cm,＝９cm, ( )
４２ ．
A８cm B４cm C２cm D１cm 三、(本大题共 小题,每小题 分,满分 分)
．在平面直角坐标系中 抛物线y x２ 经过变换后得到抛 第 题图 第 题图 ２ ８ １６
３ , ＝ ＋３ ８ ９ a b c
物线y ＝( x －２) ２ ＋３, 则这个变换可以是 ( B ) ９ ．已知二次函数y ＝ ax２ ＋( b ＋１) x ＋ c的图象如图所示 , 则二 １５ ．已知 ＝ ＝ , a ＋ b ＋ c ＝５４, 求a的值．
２ ３ ４
向左平移 个单位 向右平移 个单位 次函数y ax２ bx c与正比例函数y x的图象大 a b c
A ２ B ２ ＝ ＋ ＋ ＝－ 解:设 ＝ ＝ ＝k,则a＝２k,b＝３k,c＝４k,
向上平移 个单位 向下平移 个单位 致为 B ２ ３ ４
C ３ D ３ ( )
．如图 五线谱是由等距离 等长度的五条平行横线组成的 一 所以a＋b＋c＝９k＝５４,所以k＝６,所以a＝１２．
４ , 、 ,
条直线与五条平行横线中的三条分别交于点ABC．若线 ．已知一条抛物线分别经过三个点 求它
, , １６ (－３,０),(１,０),(０,３),
段BC 则线段AB的长是 D 对应的函数表达式．
＝２, ( )
解:设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋３)(x－１),
A１ B２ C３ D４ A B C D
．在平面直角坐标系中 二次函数y ax２ bx ca 的 把(０,３)代入,得－３a＝３,解得a＝－１,
１０ , ＝ ＋ ＋ (≠０)
图象如图所示 有以下结论 abc c a 所以抛物线对应的函数表达式为y＝－(x＋３)(x－１),
, :① ＜０;② ＋２ ＜０;
a b c a b m am b m 为实数 即抛物线对应的函数表达式为y＝－x２－２x＋３．
③９ －３ ＋ ＝０;④ － ≥ ( ＋ )( );
ac b２ ．其中错误的个数是 A 四、(本大题共 小题,每小题 分,满分 分)
第 题图 第 题图 ⑤４ － ＜０ ( ) ２ ８ １６
４ ５
．如图 一次函数y kx nk 与二次函数y ax２ A１ B２ C３ D４ １７
．已知抛物线y
＝
x２
－
x
－６
如图所示．
５ , １＝ ＋ (≠０) ２＝ ＋
bx ca 的图象相交于A B 两点 则关于 (１)
求抛物线与x轴
、
y轴的交点坐标
;
＋ (≠０) (－１,４), (５,２) ,
x的不等式kx n ax２ bx c的解集为 C (２) 根据图象回答 : 当x取何值时 , y ＞０? 当x取何值时 , y ＜０?
＋ ≥ ＋ ＋ ( )
x 或x x
解:(１)令y＝０,即x２－x－６＝０,解得x
１
＝
A ≤－１ ≥５ B２≤ ＜４
x x 或x
第
１０
题图 第
１１
题图 第
１３
题图 －２,x
２
＝３,所以抛物线与x轴的交点坐标
C－１≤ ≤５ D ≤２ ≥４
二、填空题(本大题共 小题,每小题 分,满分 分) 为(－２,０),(３,０)．
４ ５ ２０
．已知点Ax y Bx y 都在反比例函数y ５的图
６ (１,１), (２,２) ＝－x ．如图 要使 ABC ACD 需添加一个条件 这个条件可 令x＝０,得y＝－６,
１１ , △ ∽△ , ,
象上 且x x 则y y 的关系是 A 以为 ACD＝ ABC(答案不唯一) ． 所以抛物线与y轴的交点坐标为(０,－６)．
, １＜０＜ ２, １,２ ( ) ∠ ∠
y y y y ．已知抛物线y x２ x 与x轴的一个交点坐标为 m (２)观察图象得,当x －２或x ３时,y ０;
A ２＜０＜ １ B０＜ ２＜ １ １２ ＝ －３ －８ ( , ＜ ＞ ＞
y y y y 则代数式m２ m 的值为 １８ ． 当－２ x ３时,y ０．
C １＜ ２＜０ D １＜０＜ ２ ０), －３ ＋１０ ＜ ＜ ＜
数学 １０７ 沪科九年级·上册
－ －
．如图 在 ABC中 AB AC A ． ．如图 在 ABCD 中 连接DB F 是边BC上一点 连接 设日利润为w 单位 元 求w与x之间的函数表达式 并
１８ , △ , ＝ ,∠ ＝３６° ２０ , ▱ , , , (２) ( : ), ,
求作 ABC的平分线BD交AC于点D 尺规作图 DF并延长 交AB的延长线于点E 且 EDB A． 说明日利润w随售价x的变化而变化的情况 再求出最大
(１) :∠ ;( , , , ∠ ＝∠ ,
求证 BDF BCD 日利润
保留作图痕迹 不写作法 (１) :△ ∽△ ; ;
, )
如果BD BC AB 求BE的长． 若公司想获得不低于 元的日利润 求售价x的范围．
求证 点D为线段AC的黄金分割点 即AD２ CD CA ． (２) ＝３５, ＝９, ＝４, (３) ２０００ ,
(２) : ( ＝ ) (１)证明:因为四边形ABCD是平行四边形, 解:(１) 设 y＝kx＋b, 将 (６０,１２０), (８０,８０) 代 入, 得
(１)解:如图所示．
所以DC AE, A＝ C． {６０k＋b＝１２０, {k＝－２,
(２)证明:在
△
ABC中,AB＝AC,
∠
A＝３６°,
因为 ED
∥
B＝
∠
A,所
∠
以 EDB＝ C． ８０k＋b＝８０,
解得
b＝２４０．
所以 ABC＝ ACB＝ １ (１８０°－ A)＝７２°． 因为 ∠ DBF＝ ∠ CBD,所 ∠ 以 BDF ∠ BCD． 所以y＝－２x＋２４０．
∠ ∠ ２ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(２)解:因为 BDF BCD, (２)w＝(x－５０)(－２x＋２４０)＝－２x２＋３４０x－１２０００＝－２(x－
因为BD平分 ABC, △ ∽△
∠ ８５)２＋２４５０(５０ x ９０)．
所以 ∠ ABD＝ ∠ CBD＝ １ ２∠ ABC＝３６°． 所以 B B D F ＝ B BC D ,即 ３ BF ５ ＝ ３ ９ ５ ,所以BF＝５． 当x ＜ ８５时,日利 ＜ 润 ≤ w随售价x的增大而增大;
所以 ABD＝ A． 所以CF＝BC－BF＝４．
当x
＞
８５时,日利润w随售价x的增大而减小．
所以A
∠
D＝BD
∠
, BDC＝ A＋ ABD＝７２°． CF CD ４ CD
当x＝８５时,w最大值＝２４５０,即最大日利润为２４５０元．
所以 BDC＝ ∠ BCD． ∠ ∠ 因为DC ∥ AE,所以 △ DFC ∽△ EFB,所以 BF ＝ BE ,即 ５ ＝ BE ． (３)当－２(x－８５)２＋２４５０＝２０００时,
∠ ∠
所以BD＝BC．所以AD＝BC． 又因为CD＝AB＝４,所以BE＝５． 解得x １ ＝７０,x ２ ＝１００．
因为 BCD＝ ACB, CBD＝ CAB＝３６°, 六、(本题满分 分) 因为５０ ＜ x ≤ ９０,
∠ ∠ ∠ ∠ １２
所以 BCD ACB． m 所以公司要想获得不低于２０００元的日利润,售价x的范围为７０ ≤ x ≤ ９０．
△ ∽△ ．如图 直线y kx b与双曲线y 的一支相交于A 八、(本题满分 分)
所以BC∶AC＝CD∶CB． ２１ , ＝ ＋ ＝x (－３,
１４
所 所 以 以 A 点 D D ∶A 为 C 线 ＝C 段 D A ∶ C AD 的 ． 黄 所 金 以 分 AD 割 ２ 点 ＝C ． DCA． １), B 求 两 一 点 次 , 函 与 数 x 与 轴 反 相 比 交 例 于 函 点 数 C 的 (－ 表 ４ 达 ,０ 式 ), 与y轴相交于点D． ２３ ．如 和B 图 , 抛物 ． 线y ＝ ax２ ＋ bx －４( a ≠０) 与x轴交于点A (－２,０)
(１) ;
(４,０)
求该抛物线对应的函数表达式
(２)
连接OA
,
OB
,
求
△
AOB的面积
;
(１) ;
若抛物线与y轴交于点C 连接BC．P是线段BC下方抛物
五、(本大题共 小题,每小题 分,满分 分) 直接写出当x 时 关于x的不等式kx b
m
的
(２) ,
２ １０ ２０ (３) ＜０ , ＋ ＜x 线上的一个动点 不与点BC重合 过点P作y轴的平行
( , ),
１９
．用
１０m
的铝合金制成如图所示的矩形窗框ABCD
,
其中点
解集． 线交BC于点M 交x轴于点N 设点P的横坐标为t．
, ,
E , F分别在边AB , CD上 , 点G , H 分别在边EF , BC上 , 解:(１)将A(－３,１),C(－４,０)代入y＝kx＋b, 求PM 的最大值及此时点M 的坐标
A 且 B E C F D ∥ 的 BC 面 , 积 G 为 H S ⊥ B
m
C ２
,
, 边 BE 长 ＝ B B C C 为 , B x E
m
≥ ． ３ AE , 记矩形窗框 得 {－ － ３ ４ k k ＋ ＋ b b ＝ ＝ １ ０ , , 解得 { b k ＝ ＝ ４ １ ． , ① ② 过 的 点 坐 C 标． 作CH ⊥ PN 于点H , 若S △ BM ; N ＝９ S △ CHM, 求点P
(１)
求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围
;
所以一次函数的表达式
m
为y＝x＋４．
解:(１)因为抛物线y＝ax２＋bx－４(a
≠
０)与x轴交于点
求S的最大值． 将A(－３,１)代入y＝ ,得m＝－３, { １
(２) x {４a－２b－４＝０, a＝ ,
解:(１)因为四边形ABCD是矩形,EF BC,GH BC,BE A(－２,０)和B(４,０),所以 解得 ２
∥ ⊥ 所以反比例函数的表达式为y＝－ ３ ． １６a＋４b－４＝０, b＝－１．
＝BC,所以易得GH＝BE＝CF＝EF＝AD＝BC＝xm． x
１
所以边长AB为(１０－４x)÷２＝(５－２x)m． (２)因为C(－４,０),所以OC＝４． 所以该抛物线对应的函数表达式为y＝ x２－x－４．
２
根据题意得S＝x(５－２x)＝－２x２＋５x, {y＝x＋４,
{x＝－３, {x＝－１, １
AE＝AB－BE＝５－２x－x＝(５－３x)m． 由
３
解得 或 (２)①在y＝
２
x２－x－４中,令x＝０,得y＝－４,
y＝－ , y＝１ y＝３．
因为５－３x ０,所以x ５ ．因为BE ３AE,所以x ３(５－３x),解得x ３ , x 所以C(０,－４)．由点B,C的坐标,易得直线BC对应的函数表达式为y＝x－４．
＞ ＜３ ≥ ≥ ≥２ 所以点B的坐标为(－１,３)．
( １ )
３ ５
由题意得Pt, t２－t－４ ,则M(t,t－４)．
所以 ２≤ x ＜３ ．所以S关于x的函数表达式为S＝－２x２＋５x,自变量x的取 所以 △ AOB的面积为S △ BOC －S △ AOC ＝ １ ２ ×４×３－ １ ２ ×４×１＝４． ２ (１ ) １
３ ５ 所以PM＝t－４－ t２－t－４ ＝－ t２＋２t．
值范围为 x ． m ２ ２
２≤ ＜３ (３)观察图象,当x ０时,关于x的不等式kx＋b 的解集是x －３或
＜ ＜x ＜ １ １ １
( ５)２ ２５ ５ 因为PM＝－ t２＋２t＝－ (t－２)２＋２,－ ０,
(２)S＝－２x２＋５x＝－２x－ ＋ ,所以对称轴为直线x＝ ． －１ x ０． ２ ２ ２＜
４ ８ ４ ＜ ＜
七、(本题满分 分) 所以当t＝２时,PM取得最大值２,此时点M的坐标为(２,－２)．
３ ５ ３ ５
因为 x ,－２ ０,所以当 x 时,函数S随x的增大而减小, １２ ②易知N(t,０),M(t,t－４),B(４,０),C(０,－４),CH PN,所以BN＝４－t,MN＝
２≤ ＜３ ＜ ２≤ ＜３ ．祁门红茶是安徽名茶之一．某茶叶公司经销某品牌祁门红 ⊥
２２ ４－t,CH＝t,MH＝t－４－(－４)＝t．
３
所以当x＝ 时,S有最大值,最大值为３． 茶 每千克成本为 元 规定每千克售价需超过成本 但不
２ , ５０ , , 因为S ＝９S ,所以 １ ×(４－t)２＝９× １ t２,解得t＝１,t＝－２．
答:S的最大值为３． 高于 元．经调查发现 其日销售量y 单位 与售价 △ BMN △ CHM ２ ２ １ ２
９０ : ( :kg) 因为P是线段BC下方抛物线上的一个动点,
x 单位 元 之间的函数关系如图所示．
( : /kg) ( ９)
求y与x之间的函数表达式 所以０
＜
t
＜
４,所以t＝１,所以P １,－
２
．
(１) ;
数学 １０８ 沪科九年级·上册
－ －
