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湘教九年级数学(上册) k
．在同一平面直角坐标系中 函数y x k与y k为
８ , ＝－ ＋ ＝x(
期中综合检测卷
常数 且k 的大致图象可能是 C
, ≠０) ( )
(考查范围:． ．)
１１~３４
第 题图 第 题图 第 题图
满分: 分 考试时间: 分钟
１５ １６ １７
１２０ １２０
一、选择题 每小题 分 共 分 每小题的四个选项中只有一 １６
．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y
(
度
)
与镜片焦距x
(m)
( ３ , ３０ ;
项是正确的
成反比例关系
,
y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的
)
１ ．若线段 则 a d , b , c , d是成比例线段 , 且a ＝１cm, b ＝４cm, A c ＝ ９ ．如图 , A △ ABC ,△ ADE B 为等腰直角三 C 角形 ,∠ ABC ＝ D ∠ ADE ＝ 矫 的 正 近 治 视 疗 眼 后 镜 , 的 小 度 雪 数 的 减 镜 少 片 了 焦距 ２０ 由 ０ ０ 度 ． ２５ ． m 调整到 ０ ． ５m, 则小雪
２cm, ＝ ( ) CE
A８cm B０ ． ５cm C２cm D３cm ９０°, AB ＝ BC , AD ＝ DE , 连接CE , BD , 则 BD 的值为 ( B ) １７ ．如图是一个矩形花圃ABCD , AB ＝１５m, BC ＝２０m, 要在它四
k
周修建宽度相等的小路．已知小路的面积为
２
则小路的
２
．已知反比例函数y
＝x
的图象位于第二
、
四象限
,
则k的值
A２ B ２ C ５ D ３ 宽度是 ３ ．
２４６m ,
３ ２ m
可以是
(
C
)
．如图 EF是 ABCD对角线AC上两
１８ , , ▱
A２ B ２ C－５ D０ 点 AE CF １AC 连接DEDF并延
３
．用配方法解方程x２
－４
x
－３＝０,
配方后的方程是
(
A
)
, ＝ ＝
４
, ,
A( x －２) ２ ＝７ B( x ＋２) ２ ＝７ 长 , 分别交AB , BC于点G , H , 连接GH．
C( x －２) ２ ＝１ D( x ＋２) ２ ＝１ 第 ９ 题图 第 １０ 题图 下列结论 :① AG ∶ GB ＝１∶２;② GH ∶ AC ＝２∶３;③ S △ ADG ＝ S △ BGH;
４ ．如图 , 已知l １∥ l ２∥ l ３, 它们分别交直线l ４, l ５ 于点B , A , C １０ ．如图 , 正方形ABCD位于第一象限 , 边长为 ３, 点A在直线 ④ S △ DEF ∶ S △ DGH ＝９∶１６ ．其中正确的是 ①②④ ( 填序号 ) ．
和点DAE．如果AD AB AE 那么BC的长为 y x上 点A的横坐标为 正方形ABCD的边分别平行 三、解答题 本大题共 小题 共 分
, , ＝２, ＝３, ＝４, ＝ , ２, ( ８ , ６６ )
D k ．本题满分 分 解下列方程
( ) 于x轴y轴．若双曲线y k 与正方形ABCD有两 １９( ８ ) :
、 ＝x(≠０)
x２ x x ２ xx ．
３ ８ (１)２ ＋３ －１＝０; (２)３( －１)＝ ( －１)
A６ B C D９ 个公共点 则k的取值范围为 D
２ ３ , ( ) －３＋ １７ －３－ １７
解:(１)x＝ ,x＝ ;
k k k k １ ４ ２ ４
A２＜ ＜５ B１≤ ≤１６ C４≤ ≤２５ D４＜ ＜２５
二、填空题 每小题 分 共 分
３
( ３ , ２４ ) (２)x＝１,x＝ ．
．关于x的一元二次方程x２ x m 的一个根为 则 １ ２ ２
１１ －２ ＋ ＝０ －１,
第 题图 第 题图 m的值为 －３ ．
４ ６
．方程x２ x 的根的情况是 C m
５ ＋２ ＝－１ ( ) ．对于双曲线y １－ 当x 时y随x的增大而减小 请
没有实数根 有两个不相等的实数根 １２ ＝ x , ＞０ , ,
A B
有两个相等的实数根 只有一个实数根 你写出一个符合上述要求的m的值 ０(答案不唯一) ． ．本题满分 分 如图 已知 求证 ABC
C D : ２０( ８ ) , ∠１＝∠２＝∠３, :△ ∽
．如图 下列条件不能判定 ADB ABC的是 C a a b ８ ADE．
６ , △ ∽△ ( ) ．设 ２ 那么 ＋２ ． △
ABD ACB ADB ABC １３ b＝ ３ , b ＝ ３ 证明:∵ １＝ ２,
A∠ ＝∠ B∠ ＝∠ ∠ ∠
C AB ∶ AC ＝ DB ∶ BC D AB２ ＝ AD AC １４
．两个相似三角形某组对应边上的中线的比为
２∶３,
且这两
∴ １＋ CAD＝ ２＋ CAD,即 BAC＝
∠ ∠ ∠ ∠ ∠
．某新能源汽车销售公司在国家减税政策的支持下 原价 个三角形的某组对应边上的高的差为 则这两条高中 较
７ , ２５ ４, , DAE．
∠
万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为 短的高为 ８ ． ∵ １＝ ３, AFB＝ CFD,∴ B＝ D．
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
万元 求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x 则
１６ , , ．如图 点A在反比例函数y ４x 的图象上 过点A ∴ ABC ADE．
可列方程为 B １５ , ＝－x( ＜０) , △ ∽△
( )
A２５(１－ x２ )＝１６ B２５(１－ x ) ２ ＝１６ 作AB ⊥ y轴于点B．若C为x轴上任意一点 , 则 △ ABC的
x２ x２ 面积为 ２ ．
C１６(１＋ )＝２５ D１６(１＋ )＝２５
数学 １１３ 湘教九年级·上册
－ －
k ．本题满分 分 如图 在矩形ABCD中 EF分别是AB ．本题满分 分 定义 如果三角形 和一个直角三角形恰
．本题满分 分 已知反比例函数y 的图象经过点A ． ２４( ８ ) , , , , ２６( １０ ) : Ⅰ
２１( ８ ) ＝x (１,１) AD的中点 连接EFCECF 且CE EF． 好能无重叠无缝隙地拼成三角形 且拼成的三角形 与
, , , , ⊥ Ⅱ, Ⅱ
求反比例函数的表达式 三角形 相似 那么我们称三角形 与该直角三角形为 伴
(１) ; 求证 AFE BEC Ⅰ , Ⅰ “
(１) :△ ∽△ ; 侣三角形 ．
(２) 若点 (２, y １),(４, y ２) 是反比例函数y ＝x k 的图象上的两 (２) 若AB ＝８, 求BC的长． 如图 ” 在 ABC中 ACB CD AB 则 ACD
(１)证明:∵四边形ABCD是矩形, (１) ①, △ ,∠ ＝９０°, ⊥ , △
点 , 试比较y １, y ２ 的大小． ∴AD＝BC, A＝ B＝９０°． 与 △ BCD 是 “ 伴侣三角形 ” ． ( 填 “ 是 ” 或 “ 不是 ”)
∠ ∠ 如图 ABC是由 ACD 与 BCD 拼成的 BCD
解:(１)将A(１,１)代入y＝ k ,得k＝１,所以反比例函数的表达式为y＝ １ ． ∴ BCE＋ BEC＝９０°． (２) ②,△ △ △ ,∠ ＝
x x ∠ ∠ 且 ACD与 BCD是 伴侣三角形 ．若AD BD
∵CE EF,∴ CEF＝９０°, ９０°, △ △ “ ” ＝１, ＝
k ⊥ ∠ 求BC的长．
(２)因为点(２,y １ ),(４,y ２ )是反比例函数y＝ x 的图象上的两点, ∴ ∠ AEF＋ ∠ BEC＝９０°． ３ 如 , 图 在 ABC 中 C AC BC 则在
∴ AEF＝ BCE． (３) ③, △ ,∠ ＝９０°, ＝２, ＝１,
所以y＝ １ ,y＝ １ ．因为 １ １ ,所以y y． ∠ ∠ ABC三边的延长线上是否存在点D 使得点D与AB
１ ２ ２ ４ ２＞４ １＞ ２ 又 A＝ B,∴ AFE BEC． △ , , ,
∠ ∠ △ ∽△ C三点中的某两点所组成的三角形与 ABC是 伴侣三角
２２
．
(
本题满分
８
分
)
已知关于x的一元二次方程x２
－４
x
－
m２
＝０
．
(２)解:由(１)得 △ AFE ∽△ BEC,∴ B
A
E
F
＝ B
A
C
E
． 形 若存在 请求出AD的长 若不存
△
在 请说明
“
理由．
”? , ; ,
求证 该方程有两个不相等的实数根
(１) : ; ∵E,F分别是AB,AD的中点,AD＝BC,AB＝８,
若该方程的两个实数根x x 满足xx x x
(２) １,２ １ ２＋ １＋ ２＝３, ∴AF＝ １ AD＝ １ BC,AE＝BE＝ １ AB＝４,
求m的值． ２ ２ ２
１
(１)证明:Δ＝b２－４ac＝(－４)２－４×１×(－m２)＝１６＋４m２． BC
２ ４ 解:(２)∵AD＝１,BD＝３,∴AB＝AD＋BD＝４．
因为m２ ≥ ０,所以１６＋４m２ ＞ ０,即Δ ＞ ０． ∴ ４ ＝ BC ,∴BC＝４２(负值已舍去)． ∵ ACD与 BCD是“伴侣三角形”,∴ ACD ABC,
△ △ △ ∽△
所以该方程有两个不相等的实数根． AC AD CD AC １ CD
∴ ＝ ＝ ．∴ ＝ ＝ ,∴AC＝２．∴BC＝２CD．
AB AC BC ４ AC BC
(２)解:因为方程x２－４x－m２＝０的两个实数根分别为x,x,
１ ２
在Rt BCD中, BCD＝９０°,由勾股定理得CD２＋BC２＝BD２,
所以x＋x＝４,xx＝－m２． △ ∠
１ ２ １ ２
．本题满分 分 某商场以每件 元的价格购进一批商品 ３５ ６５
因为x １ x ２ ＋x １ ＋x ２ ＝３,所以－m２＋４＝３． ２５( ８ ) ５０ , ∴CD２＋４CD２＝３２,∴CD＝ ５ ,∴BC＝２CD＝ ５ ．
当商场按每件 元出售时 每周可售出 件 经调查 该
解得m
１
＝１,m
２
＝－１．故m的值为１或－１．
６０ , ５０ , ,
(３)存在点D,使得点D与A,B,C三点中的某两点所组成的三角形与
△
ABC是“伴
k
商品每件每涨价 元 则每周的销售量就会减少 件． 侣三角形”．
２３ ． ( 本题满分 ８ 分 ) 如图 , 直线y １＝３ x －５ 与双曲线y ２＝ x －１ 商场销售这种 １ 商品 , 计划每周获利 元 且要 １ 求售价不 ∵ ∠ C＝９０°,AC＝２,BC＝１,∴AB＝ AC２＋BC２＝ ２２＋１２＝ ５．
(１) ８００ , ①如图④,由题意得 BCD CAD．
相交于A m Bn 两点 连接OAOB 高于每件 元 则售价应定为每件多少元 △ ∽△
(２, ), (,－６) , , ８０ , ? ∴ BC ＝ BD ＝ CD ,即 １ ＝ BD ＝ CD ,∴易得BD＝ ５ ．
求k和m的值 商场能否从这种商品中每周获利 元 为什么 CA CD AD ２ CD BD＋ ５ ３
(１) ; (２) ９５０ ? ?
(２)
求
△
AOB的面积． 解:设售价定为每件x元,则每周销售量为[５０－(x－６０)]元．
∴AD＝AB＋BD＝ ５＋ ３
５
＝
４
３
５
．
解:(１)因为直线y＝３x－５与双曲线 (１)由题意得(x－５０)[５０－(x－６０)]＝８００．
１
y＝
k－１
相交于A(２,m),B(n,－６)
解得x
１
＝７０,x
２
＝９０．
２ x 因为售价不高于每件８０元,所以x＝７０．
两点,所以m＝３×２－５＝１,－６＝３n－５,
所以售价应定为每件７０元．
所以n＝－
１
．
(２)商场不能从这种商品中每周获利９５０元．理由如下:
②如图⑤,由题意得 BCD ABD．
３ △ ∽△
由题意得(x－５０)[５０－(x－６０)]＝９５０．
BC BD CD １ BD CD
( １ ) ∴ ＝ ＝ ,即 ＝ ＝ ,
所以A(２,１),B － ,－６ ． 整理,得x２－１６０x＋６４５０＝０． AB AD BD ５ ２＋CD BD
３
所以k－１＝２×１,所以k＝３． 因为Δ＝(－１６０)２－４×１×６４５０＝－２００
＜
０, ∴易得CD＝ １
２
．∴AD＝AC＋CD＝２＋ １
２
＝ ５
２
．
(２)如图,设直线y １ ＝３x－５与y轴交于点C,易得点C的坐标为(０,－５),
所以原方程没有实数根．
③如图⑥,由题意得 ACD BAD．
△ ∽△
( １ )
所以商场不能从这种商品中每周获利９５０元．
AC AD CD ２ AD CD
所以OC＝５．由(１)知A(２,１),B － ,－６ ． ∴ ＝ ＝ ,即 ＝ ＝ ．∴易得AD＝２５．
３ BA BD AD ５ １＋CD AD
１ １ １ １ ４５ ５
所以S ＝S ＋S ＝ OCx ＋ OCx ＝ ×５× ＋ 综上所述,AD＝ 或 或２５．
△ AOB △ OCB △ OCA ２ |B| ２ |A| ２ ３ ３ ２
１ ３５
×５×２＝ ．
２ ６
数学 １１４ 湘教九年级·上册
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