文档内容
第十三讲 循环
小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一
定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、
羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到
一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断
重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它
的余数。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期几？因为1999
年是平年，有365天，365÷7=52……1，所以2000年的元旦是星期六。
这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来
看看怎么来解决这一类的问题。
典型例题
例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先5 个红，再4个黄，
再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1
第 2003 个
白……像这样继续下去，到 小球该涂什么颜色？
分析
小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，
也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色
的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以
判断球的颜色。
解
2003÷15=133……8
这就是说，第 1999 个小木球出现在上面所列一个周期中的第 8
个，所以第2003个小球涂的是黄色。
例[2] 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…
（1）第81个数是多少？
（2）这81个数相加的和是多少？
分析
（1） 从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复
排列的，那么一个循环周期就有5个数。
（2） 之和是 7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。
解
（1）81÷5=16……1
按照循环次序可知：第81个数为7。
（2）17×16+7=279
所以这81个数相加的和为279
例[3]
假设所有自然数排列起来如下图所示，55应排在哪个
字母下面？248应排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
. . . .
. . . .
. . . .
分析
从排列情况可知，这些自然数按从小到大 4个数一个
循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数
除以4的余数来判断。
解
55÷4=13……3
所以55排在第3个字母C的下面。
248÷4=62
所以248排在第4个字母D的下面。
1
例[4]
如下图，8个队员围成一圈做传球游戏，从 号开始，
按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当
报到96时，球在几号队员手上？
分析
把8个队员看成一组，解法与例[3]相同。
解
96÷8=12
8
所以报96时，球应在 号队员手上。例[5]
2003个学生按下列方法编号排成5列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
… … … …
… … … …
问：最后一位学生应站在第几列？
分析
观察这些学生排列的情况可以看出，除 1~5外，从第 2
排起都是按8个数一个循环依次不断重复出现。因此，除以8余数为
1、2、3、4、5、6、7、0对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。
解
（2003－5）÷8=249……6
3
因此，第2003个学生站在第 列。
小结
解决循环问题时，应把注重点放在以下几个
方面：
一、 数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
二、 每几个数循环一次，周期长度是多少。
三、 每个循环节是按什么次序排列的。
解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。比
如余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
