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第十六周 巧妙求和（二）
专题简析：
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同
样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可
用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可
考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以
顺利解决。例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天
读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共
有多少页？
分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以
知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……
57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个
等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习一
1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天
多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？
2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读
的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共
有多少页？
3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多
学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语
单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多
要试几次？
分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那
所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同
理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等
打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需
试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习二
1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，
至多要试多少次？
2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁
都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？
3，有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中
去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？
分析与解答：假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，
一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个
人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，
他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）
练习三
1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
2，在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同
学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
3，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78
次电话，问有多少位同学相约互通电话？例4：求1 ~ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
分析与解答：首先应该弄清楚这题是求 99个连续自然数的数字之
和，而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把
0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数
字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是
9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所
有数字之和是18×50=900。
练习四
1，求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
2，求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
3，求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。例5：求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。
分析与解答：不妨先求0~199的所有数字之和，再求200~209的所
有数字之和，然后把它们合起来。0~199的所有数字之和为（1+9×2）
×（200÷2）=1900，200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。
所 以 ， 1~209 这 209 个 连 续 自 然 数 的 全 部 数 字 之 和 为
1900+65=1965。
练习五
1，求1~308连续自然数的全部数字之和。
2，求1~2009连续自然数的全部数字之和。
3，求连续自然数2000~5000的全部数字之和。
