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第四章 随机变量的数字特征
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1 、 单选题
正确答案： A
解析：
2 、 单选题
已知二维随机变量（X，Y）的联合密度f（x，y）满足条件f（x，y）＝f（－x，y）或f
（x，y）＝f（x，－y），且ρXY存在，则ρXY＝（ ）。
A ： 1
B ： 0
C ： 1
D ： 1或－1
正确答案： B解析：
3 、 单选题
设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X＝E（X2）}＝（ ）。
A ： 2e
B ： 2/e
C ： 1/（2e）
D ： 1/e
正确答案： C
解析：
因为X服从参数为1的泊松分布，故E（X）＝D（X）＝1，E（X2）＝D（X）＋（E（X））
2＝1＋1＝2，故P{X＝2}＝12e－1/2！＝1/（2e）。
4 、 单选题
设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量 ，则方
差＝（ ）。
A ： 1/3
B ： 2/3C ： 8/9
D ： 1/9
正确答案： C
解析：
5 、 单选题
D（X）＝4，D（Y）＝9，ρXY＝0.5，则D（X－Y）＝（ ），D（X＋Y）＝（ ）。
A ： 7；13
B ： 7；19
C ： 5；19
D ： 5；13
正确答案： B
解析：
同理可得D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋2Cov（X，Y）＝19。
6 、 单选题
随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的相关系数ρ＝（ ），X2和Y2的协方差Cov（X2，Y2）＝（ ）。
A ： 0.5；－0.02
B ： 0；－0.02
C ： 0；－0.08
D ： 0.5；－0.08
正确答案： B
解析：
7 、 单选题
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2～N（0，22），
X3服从参数为λ＝3的泊松分布，记随机变量Y＝X1－2X2＋3X3，则D（Y）＝（ ）。
A ： 56
B ： 48
C ： 72
D ： 46
正确答案： D
解析：8 、 单选题
若离散型随机变量X的分布列维持P{X＝（－1）n·2n}＝1/2n（n＝1，2，…），则E（X）
＝（ ）。
A ： 2
B ： 0
C ： ln2
D ： 不存在
正确答案： D
解析：
，该级数发散，故X的数学期望不存在。
9 、 单选题
要使E[Y－（aX＋b）]2达到最小，则常数a＝（ ）。b＝（ ）。
A ： a＝Cov（X，Y）/D（X）；b＝E（Y）－[E（X）Cov（X，Y）/D（X）D（Y）]
B ： a＝Cov（X，Y）/D（X）；b＝E（Y）－[E（X）Cov（X，Y）/D（X）]
C ： a＝Cov（X，Y）；b＝E（Y）－[E（X）Cov（X，Y）/D（X）]
D ： a＝Cov（X，Y）；b＝E（Y）－[E（X）Cov（X，Y）/D（X）D（Y）]
正确答案： B
解析：
E[Y－（aX＋b）]2＝E[Y2－2aXY－2bY＋a2X2＋2abX＋b2]＝E（Y2）－2aE（XY）－2bE
（Y）＋a2E（X2）＋2abE（X）＋b2
记上式为f，则f为a，b的多元函数，根据多元函数求极值的方法，则令
fa′＝－2E（XY）＋2aE（X2）＋2bE（X）＝0
fb′＝－2E（Y）＋2aE（X）＋2b＝0
解得
a＝[E（XY）－E（X）E（Y）]/D（X）＝Cov（X，Y）/D（X）
b＝E（Y）－aE（X）＝E（Y）－E（X）Cov（X，Y）/D（X）10 、 单选题
设X～N（2，1），Y～N（－1，1），且X，Y相互独立，令Z＝3X－2Y，则Z～（ ）。
正确答案： C
解析：
因为X，Y服从分布，且相互独立，则二者的线性组合服从正态分布，又
E（Z）＝E（3X－2Y）＝3E（X）－2E（Y）＝8
D（Z）＝D（3X－2Y）＝9D（X）＋4D（Y）＝13
故Z～N（8，13）。
11 、 单选题
设X～N（1，22），Y＝2X＋1，则ρXY＝（ ）。
A ： 1/4
B ： 1
C ： 1/2
D ： 2
正确答案： B
解析：
∵Cov（X，Y）＝Cov（X，2X＋1）＝Cov（X，2X）＋Cov（X，1）＝2Cov（X，X）
＋0＝2D（X）
∴
12 、 单选题
设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从于N（0，1）和N（1，1），则（ ）。
A ： P{X＋Y≤0}＝1/2
B ： P{X＋Y≤1}＝1/2
C ： P{X－Y≤0}＝1/2D ： P{X－Y≤1}＝1/2
正确答案： B
解析：
令Z＝X＋Y，则Z～N（1，2），则P{Z≤1}＝1/2。
13 、 单选题
若随机变量X1，X2，X3相互独立且服从于相同的0-1分布，P{X＝1}＝0.7，P{X＝0}＝0.3，
则随机变量Y＝X1＋X2＋X3服从于参数为（ ）的（ ）分布，且E（Y）＝（
）。D（Y）＝（ ）。
A ： 7，0.3；二项；2.1；0.79
B ： 7，0.3；二项；2.1；0.63
C ： 3，0.7；二项；2.1；0.63
D ： 3，0.7；二项；2.1；0.79
正确答案： C
解析：
由0-1分布与二项分布之间联系可得Y～B（3，0.7），则E（Y）＝3×0.7＝2.1，D（Y）
＝3×0.7（1－0.7）＝0.63。
14 、 单选题
设X，Y是两个随机变量，其相关系数存在，则下列命题正确的是（ ）。
A ： X，Y不相关X，Y不相互独立
B ： X，Y相互独立X，Y不相关
C ： X，Y不相关X，Y相互独立
D ： X，Y相关X，Y相互独立
正确答案： B
解析：
若X，Y相互独立，则Cov（X，Y）＝0，ρXY＝0，即X，Y不相关。
15 、 单选题
设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则E（X2）＝
（ ）。
A ： 20
B ： 18.4
C ： 12.6D ： 16
正确答案： B
解析：
由题意可知，X～B（10，0.4），则E（X2）＝D（X）＋[E（X）]2＝10×0.4（1－0.4）＋
（10×0.4）2＝18.4。
16 、 单选题
已知随机变量X和Y相互独立，且X～N（1，1），Y～N（1，4），又P{aX＋bY≤0}＝1/2，
则a与b应满足关系式＝（ ）。
A ： a＋b＝0
B ： 4a－b＝0
C ： a－b＝0
D ： 4a＋b＝0
正确答案： A
解析：
令Z＝aX＋bY，因为X～N（1，1），Y～N（1，4），且X，Y相互独立，故Z＝aX
＋bY～N（a＋b，a2＋4b2）， ，又因为P{aX＋bY≤0}＝P{Z≤0}
＝1/2，所以a＋b＝0。
17 、 单选题
随机变量X、Y都服从正态分布且不相关，则它们（ ）。
A ： 一定独立
B ： X，Y）一定服从二维正态分布
C ： 未必独立
D ： X＋Y服从一维正态分布
正确答案： C
解析：
只有当随机变量X，Y的联合分布是二维正态分布时，才能保证它们“不相关”与“独
立”等价。当X，Y都服从正态分布且不相关时，它们的联合分布未必是二维正态分
布，X＋Y也未必服从一维正态分布。
18 、 单选题已知连续型随机变量X的概率密度为 ，则X
的方差为（ ）。
A ： 1
B ： 1/8
C ： 1/4
D ： 1/2
正确答案： D
解析：
∵
∴
故D（X）＝1/2。
19 、 单选题
设随机变量X有E（X）＝0，D（X）＝1，E[（aX＋2）2]＝8（a＞0），则a＝（ ）。
A ： 1/2
B ： 3
C ： 2
D ： 1
正确答案： C
解析：
20 、 单选题
设一次实验成功的概率为p，进行了100次独立重复实验，当p＝（ ）时，成功的次
数的标准差的值最大，其最大值为＝（ ）。A ： 3/4；3
B ： 1/2；3
C ： 3/4；5
D ： 1/2；5
正确答案： D
解析：
21 、 单选题
设随机变量X～N（0，1），随机变量 ，则Y的数学期望E（Y）＝
（ ）。
A ： 1/4
B ： 1/2
C ： 0
D ： 1/2
正确答案： C
解析：
E（Y）＝－1·P{Y＝－1}＋0·P{Y＝0}＋1·P{Y＝1}＝－1·P{X＜0}＋1·P{X＞0}＝（－1）×
（1/2）＋1×（1/2）＝0。
22 、 单选题
设E（X）＝1，E（Y）＝2，D（X）＝1，D（Y）＝4，ρXY＝0.6，则E（2X－Y＋1）2＝
（ ）。
A ： 5.6
B ： 4.8
C ： 2.4
D ： 4.2
正确答案： D
解析：
