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福建省 2020 年中考数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1.有理数 的相反数为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即得．
【详解】A选项与 的符号和符号后的数值均不相同，不符合题意；
B选项与 只有符号不同，符合题意，B选项正确；
C选项与 完全相同，不符合题意；
D选项与 符号相同，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的定义，解题关键是熟知相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
2.如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
3.如图，面积为1的等边三角形 中， 分别是 ， ， 的中点，则 的面积是（
）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是 ．
【详解】∵ 分别是 ， ， 的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是 ．
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C.
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
5.如图， 是等腰三角形 的顶角平分线， ，则 等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
【详解】∵ 是等腰三角形 的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
6.如图，数轴上两点 所对应的实数分别为 ，则 的结果可能是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴确定 和 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得 ＜ ＜1， ＜ ＜ ，则1＜ ＜3
故选：C
【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确 和 的范围，然后再确定
的范围即可．
7.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除、完全平方公式、 逐个分析即可求解．
【详解】解：选项A： ，故选项A错误；
选项B： ，故选项B错误；选项C： ，故选项C错误；
选项D： ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则
是解决此类题的关键．
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是
3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽
的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出
方程解答．
【详解】解：由题意得： ，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
9.如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ， 为 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到
∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵ 为 中点，
∴ ,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵ ，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴ =40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四
边形的性质：对角互补．
10.已知 ， 是抛物线 上的点，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系．
【详解】根据题意画出大致图象：当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确．
当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确．
综上所述只有C正确．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算： __________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】|﹣8|=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
12.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选
中的只有1种可能，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数．
13.一个扇形的圆心角是 ，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】
根据扇形 的面积公式 进行计算即可求解．
【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，
∴扇形的面积是： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
14.2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度
的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里
亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度
10907米处，该处的高度可记为_________米．
【答案】
【解析】
【分析】
海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米，
∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，
故答案为：-10907．
【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则 等于_______度．
【答案】30
【解析】
【分析】
先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角三角形的
两个锐角互余即可求解．
【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，∴∠1= ，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算
是解题的关键．
16.设 是反比例函数 图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形 可以是平行四边形；
②四边形 可以是菱形；
③四边形 不可能是矩形；
④四边形 不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别
是对②的判断可以利用反证法．
【详解】解：如图， 反比例函数 的图象关于原点成中心对称，四边形 是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形 是菱形，
则
显然： ＜
所以四边形 不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数 的图象关于直线 成轴对称，
当 垂直于对称轴时，
四边形 是矩形，故③错误，四边形 不可能是菱形，
四边形 不可能是正方形，故④正确，
故答案 为：①④．
【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是
解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解不等式组：
【答案】 ．
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．
【详解】解：由①得 ，
，
．
由②得 ，
，
．
∴原不等式组的解集是 ．
【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质．18.如图，点 分别在菱形 的边 ， 上，且 ．
求证： ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明 后即可求解．
【详解】解：证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关
键．
19.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ,
【解析】
【分析】
根据分式 的运算法则即可求出答案．
【详解】原式；
当 时，原式 .
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本
价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，
且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，根据题意列函数关系式
，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，
依题意，得 ，
解得 ，则 ，
经检验 符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，
公司获得的总利润 ，
因为 ，所以 随着 的增大而增大，又因为 ，
所以当 时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考
查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
21.如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ， 的延长线交 于点 ， 是 上不与
重合的点， ．
（1）求 的大小；
（2）若 的半径为3，点 在 的延长线上，且 ，求证： 与 相切．
【答案】（1）60°；（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OB，在Rt△AOB中由 求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所
对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；
(2)连接OF，在Rt△OBF中，由 可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证
明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．
【详解】解：(1)连接 ，∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，则 ．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
．
故答案为： ．
(2)连接 ，
由(1)得 ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
在 与 中，∴ ，
∴ ．
又点 在 上，故 与 相切．
【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角
形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展
“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，
该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年
纯收入，得到如下图所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000
元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变
化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机
构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收
入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在
今年实现全面脱贫．【答案】（1）120；（2）2.4千元；（3）可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详
见解析
【解析】
【分析】
（1）用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；
（2）利用加权平均数进行计算；
（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.
【详解】解：（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户
数为 ．
（2）依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为
（千元）．
（3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 500 300 150 200 300 450
月份 7 8 9 10 11 12
人均月纯收入（元） 620 790 960 1130 1300 1470
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于
．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
【点睛】本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识，考查运算能力、
推理能力、数据分析观念、应用意识，考查统计与概率思想．
23.如图， 为线段 外一点．（1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
（2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为 ，求证：
三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）按要求进行尺规作图即可；
(2)通过证明角度之间的大小关系，得到 ，即可说明 三点在同一条直线
上．
【详解】解：（1）
则四边形 就是所求作的四边形．
（2）∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，∴ ．连接 ， ，又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵点 在 上∴ ，∴ ，
∴ 三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、
空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
24.如图， 由 绕点 按逆时针方向旋转 得到，且点 的对应点 恰好落在 的延长线
上， ， 相交于点 ．
（1）求 的度数；
（2） 是 延长线上的点，且 ．
①判断 和 的数量关系，并证明；
②求证： ．
【答案】（1）90°；（2）① ，证明详见解析；②详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质，得出 ，进而得出 ,求出结果；（2）①由旋转的性质得出 ， ，进而得出 ，再根据已知条
件得出 ，最后得出结论即可；
②过点 作 交 于点 ，得出 ，由全等得出 ， ，最后
得出结果．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知， ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
（2）① ．
证明：由旋转的性质可知， ， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
②过点 作 交 于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性
质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
25.已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，二次函数的图象过 两点，交 轴于另一
点 ， ，且对于该二次函数图象上的任意两点 ， ，当 时，总有
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线 ，求证：当 时， ；（3） 为线段 上不与端点重合的点，直线 过点 且交直线 于点 ，求 与
面积之和的最小值．
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） 的最小值为 ．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C
的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用 ，得出 ，设 ，然后用含t的式子表示
出 的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）对于 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
又因为 ，所以 或 ，
若抛物线过 ，则当 时， 随 的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过 ，则当 时，必有 随 的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为 ，
依题意，二次函数的图象过 ， 两点，
所以 ，解得
所求二次函数的表达式为 ．（2）当 时，直线 与直线 不重合，
假设 和 不平行，则 和 必相交，设交点为 ，
由 得 ，
解得 ，与已知 矛盾，所以 与 不相交，
所以 ．
（3）如图，
因为直线 过 ，所以 ，
又因为直线 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
，
所以 ，所以
所以当 时， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知
识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
