文档内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案(A卷)
选择题答案
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．A
5．D 6．B 7．C 8．B
9．C 10．D 11．B 12．A
非选择题答案
二、填空题
13．1 14．5 15．y=2x 16．7
三、解答题
17．解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 ；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 .
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 5 75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 − −
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 −
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18．解：（1）由题设及余弦定理得 ，
解得 （舍去）， ，从而 .
的面积为 ．
（2）在 中， ，所以
，
故 .
而 ，所以 ，故 .19．解：（1）由题设可知，PA=PB= PC．
由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB．
△PAC≌△PBC．
又∠APC =90°，故∠APB=90°，∠BPC=90°．
从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l．
由题设可得rl= ， ．
解得r=1，l= ，
从而 ．由（1）可得 ，故 ．
所以三棱锥P-ABC的体积为 ．
20．解：（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则 =ex–1．
当x<0时， <0；当x>0时， >0．
所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2） =ex–a．
当a≤0时， >0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，
故f（x）至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由 =0可得x=lna．
当x∈（–∞，lna）时， <0；
当x∈（lna，+∞）时， >0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）
单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．（i）若0≤a≤ ，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii）若a> ，则f（lna）<0．
由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
．
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a的取值范围是（ ，+∞）．
21．解：（1）由题设得 ．
则 ， ．由 得 ，即 ．
所以 的方程为 ．
（2）设 ．
若 ，设直线 的方程为 ，由题意可知 ．
由于直线 的方程为 ，所以 ．
直线 的方程为 ，所以 ．
可得 ．
由于 ，故 ，可得 ，
即 ．①
将 代入 得 ．
所以 ．
代入①式得 ．
解得 （舍去）， ．故直线 的方程为 ，即直线 过定点 ．
若 ，则直线 的方程为 ，过点 ．
综上，直线 过定点 ．
22．解：当k=1时， 消去参数t得 ，故曲线 是圆心为坐标原点，
半径为1的圆．
（2）当k=4时， 消去参数t得 的直角坐标方程为 ．
的直角坐标方程为 ．
由 解得 ．
故 与 的公共点的直角坐标为 ．
23．解：（1）由题设知
的图像如图所示．
（2）函数 的图像向左平移1个单位长度后得到函数 的图像．的图像与 的图像的交点坐标为 ．
由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方，
故不等式 的解集为 ．
