2022年高考数学试卷（浙江）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（浙江）数学高考真题

2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学 姓名________ 准考证号_________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4页，选择题部分 1至 3页；非选择题部分 3 至 4页．满分 150分，考试时间 120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷 和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试 题卷上的作答一律无效. 参考公式： 如果事件A，B互斥，则 柱体的体积公式 P(A+B)= P(A)+P(B) V =Sh 如果事件A，B相互独立，则 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 P(AB)= P(A)×P(B) 锥体的体积公式 1 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次 V = Sh 3 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 P n (k)=C n kpk(1- p)n-k(k =0,1,2, L ,n) 球的表面积公式 台体的体积公式 S =4pR2 1  V = S + S S +S h 球的体积公式 3 1 1 2 2 4 其中S ,S 表示台体的上、下底面积， V = pR3 1 2 3 h表示台体的高 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合A={1,2},B ={2,4,6}，则AÈB=（ ） A. {2} B. {1,2} C. {2,4,6} D. {1,2,4,6} 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 第1页 | 共22页【详解】A U B=1,2,4,6 ， 故选：D. 2. 已知a,bÎR,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（ ） A. a=1,b=-3 B. a=-1,b=3 C. a = -1,b = -3 D. a =1,b=3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求a,b. 【详解】a+3i=-1+bi，而a,b为实数，故a=-1,b=3， 故选：B. ìx-2³0, ï 3. 若实数x，y满足约束条件í2x+ y-7£0,则z=3x+4y的最大值是（ ） ï x- y-2£0, î A. 20 B. 18 C. 13 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示： 当动直线3x+4y-z =0过A时z有最大值. ìx=2 ìx=2 由í 可得í ，故A2,3 ， î2x+ y-7=0 îy =3 故z =3´2+4´3=18， max 第2页 | 共22页故选：B. 4. 设xÎR，则“sinx=1”是“cosx=0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为sin2 x+cos2 x=1可得： 当sinx=1时，cosx=0，充分性成立； 当cosx=0时，sinx =±1，必要性不成立； 所以当xÎR，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件. 故选：A. 5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） 22 16 A. 22π B. 8π C. π D. π 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可 根据球，圆柱，圆台的体积公式求出． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的 底面半径，圆台的上底面半径都为1cm，圆台的下底面半径为2 cm，所以该几何体的体积 1 4 1   22π V = ´ π´13 +π´12´2+ ´2´ π´22 +π´12 + π´22´π´12 = cm3． 2 3 3 3 第3页 | 共22页故选：C． æ πö 6. 为了得到函数y =2sin3x的图象，只要把函数y =2sin ç 3x+ ÷图象上所有的点（ ） è 5ø π π A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 5 5 π π C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 15 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． é æ π ö πù æ πö 【详解】因为y =2sin3x=2sin ê 3 ç x- ÷ + ú，所以把函数y =2sin ç 3x+ ÷图象上的所有点向右 ë è 15ø 5û è 5ø π 平移 个单位长度即可得到函数y =2sin3x的图象． 15 故选：D. 7. 已知2a =5,log 3=b，则4a-3b =（ ） 8 25 5 A. 25 B. 5 C. D. 9 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 1 4a  2a2 52 25 【详解】因为2a =5，b=log 3= log 3，即23b =3，所以4a-3b = = = = ． 8 3 2 43b  23b2 32 9 故选：C. 第4页 | 共22页8. 如图，已知正三棱柱ABC- ABC ,AC = AA ，E，F分别是棱BC,AC 上的点．记EF 与AA 所成 1 1 1 1 1 1 1 的角为a，EF 与平面ABC所成的角为b，二面角F -BC - A的平面角为g，则（ ） A. a£b£g B. b£a£g C. b£g£a D. a£g£b 【答案】A 【解析】 【分析】先用几何法表示出a，b，g，再根据边长关系即可比较大小． 【详解】如图所示，过点F 作FP^ AC于P，过P作PM ^ BC于M ，连接PE， 则a=ÐEFP，b=ÐFEP，g= FMP， PE PE FP AB FP FP tana= = £1，tanb= = ³1，tang= ³ =tanb， FP AB PE PE PM PE 所以a£b£g， 故选：A． 9. 已知a,bÎR，若对任意xÎR,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|³0，则（ ） A a £1,b³3 B. a £1,b£3 C. a ³1,b³3 D. a³1,b£3 . 【答案】D 第5页 | 共22页【解析】 【分析】将问题转换为a|x-b|³|2x-5|-|x-4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的xÎR，有a|x-b|³|2x-5|-|x-4|恒成立． ì 5 1-x,x£ ï 2 ï ï 5 设 f x=a|x-b|，gx= 2x-5 - x-4 =í3x-9, < x<4， 2 ï ïx-1,x³4 ï î 即 f x 的图象恒在gx 的上方（可重合），如下图所示： 3 由图可知，a³3，1£b£3，或1£a<3，1£b£4- £3， a 故选：D． 1 10. 已知数列 a  满足a =1,a =a - a2 nÎN* ，则（ ） n 1 n+1 n 3 n 5 5 7 7 A. 2<100a < B. <100a <3 C. 3<100a < D. <100a <4 100 2 2 100 100 2 2 100 【答案】B 【解析】 【分析】先通过递推关系式确定 a  除去a ，其他项都在 (0,1) 范围内，再利用递推公式变形得到 n 1 第6页 | 共22页1 1 1 1 1 1 - = > ，累加可求出 > (n+2)，得出100a <3，再利用 a a 3-a 3 a 3 100 n+1 n n n 1 1 1 1 1æ 1 ö - = < = 1+ 1 1 1æ1 1 1ö a a 3-a 3 3 ç è n+1 ÷ ø ，累加可求出 -1< n-1+ ç + + L + ÷，再次 n+1 n n 3- a 3 3è2 3 nø n+2 n 5 放缩可得出100a > ． 100 2 2 【详解】∵a =1，易得a = Î0,1，依次类推可得a Î0,1 1 2 3 n æ 1 ö 1 3 1 1 由题意，a n+1 =a n ç è 1- 3 a n ÷ ø ，即 a = a 3-a  = a + 3-a ， n+1 n n n n 1 1 1 1 ∴ - = > ， a a 3-a 3 n+1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 即 - > ， - > ， - > ，…， - > ,(n³2)， a a 3 a a 3 a a 3 a a 3 2 1 3 2 4 3 n n-1 1 1 1 1 累加可得 -1> n-1 ，即 > (n+2),(n³2)， a 3 a 3 n n 3 1 100 ∴a < ,n³2，即a < ，100a < <3, n n+2 100 34 100 34 1 1 1 1 1æ 1 ö - = < = 1+ ,(n³2) ç ÷ 又a a 3-a 3 3è n+1ø ， n+1 n n 3- n+2 1 1 1æ 1ö 1 1 1æ 1ö 1 1 1æ 1ö ∴ - = ç 1+ ÷， - < ç 1+ ÷， - < ç 1+ ÷，…， a a 3è 2ø a a 3è 3ø a a 3è 4ø 2 1 3 2 4 3 1 1 1æ 1ö - < ç 1+ ÷ ,(n³3)， a a 3è nø n n-1 1 1 1æ1 1 1ö 累加可得 -1< n-1+ ç + + L + ÷ ,(n³3)， a 3 3è2 3 nø n 1 1æ1 1 1 ö 1æ1 1 ö ∴ -1<33+ ç + + L + ÷ <33+ ç ´4+ ´94 ÷ <39， a 3è2 3 99ø 3è2 6 ø 100 1 1 5 即 <40，∴a > ，即100a > ； a 100 40 100 2 100 5 综上： <100a <3． 2 100 第7页 | 共22页故选：B． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 非选择题部分（共 110分） 二、填空题：本大题共 7小题，单空题每题 4分，多空题每空 3分，共 36分． 11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它 1 é æc2 +a2 -b2 ö 2ù 填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S = êc2a2 -ç ÷ ú ，其 4ê è 2 ø ú ë û 中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a = 2,b= 3,c =2，则该三角形的 面积S =___________． 23 【答案】 . 4 【解析】 【分析】根据题中所给的公式代值解出． 1 é æc2 +a2 -b2 ö 2ù 1é æ4+2-3ö 2ù 23 【详解】因为S = êc2a2 -ç ÷ ú ，所以S = ê4´2- ç ÷ ú = ． 4ê ë è 2 ø ú û 4êë è 2 ø úû 4 23 故答案为： . 4 12. 已知多项式(x+2)(x-1)4 =a +a x+a x2 +a x3+a x4 +a x5，则a =__________， 0 1 2 3 4 5 2 a +a +a +a +a =___________． 1 2 3 4 5 【答案】 ①. 8 ②. -2 【解析】 【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a ，再令x=1即可得出答 0 案． 【详解】含x2的项为：x×C3×x×-13 +2×C2×x2×-12 =-4x2 +12x2 =8x2，故a =8； 4 4 2 令x=0，即2=a ， 0 令x=1，即0=a +a +a +a +a +a ， 0 1 2 3 4 5 ∴a +a +a +a +a =-2， 1 2 3 4 5 第8页 | 共22页故答案为：8；-2． p 13. 若3sina-sinb= 10,a+b= ，则sina=__________，cos2b=_________． 2 3 10 4 【答案】 ①. ②. 10 5 【解析】 【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求 出a，接下来再求b． p 【详解】a+b= ，∴sinb=cosa，即3sina-cosa= 10， 2 æ3 10 10 ö 10 3 10 即 10ç sina- cosa÷= 10，令sinq= ，cosq= ， ç ÷ è 10 10 ø 10 10 p p 则 10sina-q= 10，∴a-q= +2kp，kÎZ ，即a=q+ +2kp， 2 2 æ p ö 3 10 ∴sina=sin ç q+ +2kp ÷ =cosq= ， è 2 ø 10 4 则cos2b=2cos2b-1=2sin2a-1= ． 5 3 10 4 故答案为： ； ． 10 5 ì-x2 +2, x£1, ï æ æ1öö 14. 已知函数 f x=í 1 则 f ç f ç ÷÷ =________；若当xÎ[a,b]时，1£ f(x)£3，则 ï x+ -1, x>1, è è2øø î x b-a的最大值是_________． 37 【答案】 ①. ②. 3+ 3## 3+3 28 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可. 1 æ1ö 2 7 7 7 4 37 【详解】由已知 f( )=- +2= ， f( )= + -1= ， ç ÷ 2 è2ø 4 4 4 7 28 é 1 ù 37 所以 f f( ) = ， ê ú ë 2 û 28 当x£1时，由1£ f(x)£3可得1£-x2 +2£3，所以-1£ x£1， 第9页 | 共22页1 当x>1时，由1£ f(x)£3可得1£ x+ -1£3，所以1< x£2+ 3， x 1£ f(x)£3等价于-1£ x£2+ 3，所以[a,b]Í[-1,2+ 3]， 所以b-a的最大值为3+ 3. 37 故答案为： ，3+ 3. 28 15. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片 上数字的最小值为x，则P(x=2)=__________，E(x)=_________． 16 12 5 【答案】 ①. ， ②. ##1 35 7 7 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求P(x=2)，由条件求x分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C3种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最 7 C1+C1 C2 16 小值为2的取法有C1+C1C2种，所以P(x=2)= 4 2 4 = ， 4 2 4 C3 35 7 由已知可得x的取值有1，2，3，4， C2 15 16 P(x=1)= 6 = ，P(x=2)= ， C3 35 35 7 C2 3 1 1 ，Px=3= 3 = ，Px=4= = C3 35 C3 35 7 7 15 16 3 1 12 所以E(x)=1´ +2´ +3´ +4´ = , 35 35 35 35 7 16 12 故答案为： ， . 35 7 x2 y2 b 16. 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点Ax ,y  ， a2 b2 4a 1 1 交双曲线的渐近线于点Bx ,y  且x <0< x ．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是_________． 2 2 1 2 3 6 【答案】 4 【解析】 b 【分析】联立直线AB和渐近线l : y = x方程，可求出点B，再根据|FB|=3|FA|可求得点A，最后 2 a 第10页 | 共22页根据点A在双曲线上，即可解出离心率． b b b 【详解】过F 且斜率为 的直线AB: y = (x+c)，渐近线l : y = x， 4a 4a 2 a ì b y = (x+c) ï ï 4a æc bcö æ 5c bcö 联立í ，得B ç , ÷，由|FB|=3|FA|，得A ç - , ÷ , ï b è3 3aø è 9 9aø y = x ïî a 25c2 b2c2 c2 81 3 6 而点A在双曲线上，于是 - =1，解得： = ，所以离心率e= . 81a2 81a2b2 a2 24 4 3 6 故答案为： ． 4 17. 设点P在单位圆的内接正八边形A 1 A 2L A 8 的边A 1 A 2 上，则 u P u A ur 1 2 + u P u A ur 2 2 + L + u P u A ur 8 2 的取值范围是 _______． 【答案】[12+2 2,16] 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为y轴建 7 3 5 1 立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 u P u A ur2 + u P u A ur2 + + u P u A ur2 =8  x2 + y2 +8，然后利用cos22.5o £|OP|£1即可解出． 1 2 L 8 【详解】以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 7 3 5 1 第11页 | 共22页æ 2 2 ö æ 2 2 ö æ 2 2 ö 则A(0,1),A ç , ÷,A (1,0),A ç ,- ÷,A (0,-1),A ç- ,- ÷,A (-1,0), 1 2ç 2 2 ÷ 3 4ç 2 2 ÷ 5 6ç 2 2 ÷ 7 è ø è ø è ø A æ ç- 2 , 2 ö ÷，设P(x,y),于是 u P u A ur2 + u P u A ur2 + + u P u A ur2 =8  x2 + y2 +8， 8ç 2 2 ÷ 1 2 L 8 è ø 因为cos22.5o £|OP|£1，所以 1+cos45o £ x2 + y2 £1，故 u P u A ur2 + u P u A ur2 + + u P u A ur2的取值范围是 2 1 2 L 8 [12+2 2,16]. 故答案为：[12+2 2,16]． 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3 18. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a = 5c,cosC = ． V 5 （1）求sin A 的值； （2）若b=11，求 ABC的面积． V 5 【答案】（1） ； 5 （2）22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出； a2 +b2 -c2 （2）根据余弦定理的推论cosC = 以及4a = 5c可解出a，即可由三角形面积公式 2ab 1 S = absinC求出面积． 2 【小问1详解】 第12页 | 共22页3 4 由于cosC = ， 01．记 a  的前n项和为S  nÎN* ． n 1 n n （1）若S -2a a +6=0，求S ； 4 2 3 n （2）若对于每个nÎN*，存在实数c ，使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列，求d的取值范围． n n n n+1 n n+2 n 3n2 -5n 【答案】（1）S = (nÎN*) n 2 （2）11， 所以d =3， 所以a =3n-4， n a +a n 3n2 -5n 所以S = 1 n = ， n 2 2 【小问2详解】 因为a +c ，a +4c ，a +15c 成等比数列， n n n+1 n n+2 n 所以a +4c 2 =a +c a +15c ， n+1 n n n n+2 n 第15页 | 共22页nd -1+4c 2 =-1+nd -d +c -1+nd +d +15c ， n n n c2 +(14d -8nd +8)c +d2 =0， n n 由已知方程c2 +(14d -8nd +8)c +d2 =0的判别式大于等于0， n n 所以D=14d -8nd +82 -4d2 ³0， 所以 16d -8nd +812d -8nd +8³0对于任意的nÎN*恒成立， 所以é ë n-2d -1ù û é ë 2n-3d -2ù û ³0对于任意的nÎN*恒成立， 当n=1时，é ë n-2d -1ù û é ë 2n-3d -2ù û =d +1d +2³0， 当n=2时，由 2d -2d -14d -3d -2³0，可得d £2 当n³3时，é ë n-2d -1ù û é ë 2n-3d -2ù û >(n-3)(2n-5)³0， 又d >1 所以10)． 2x （1）求 f(x)的单调区间； （2）已知a,bÎR，曲线y= f(x)上不同的三点  x , f x  ,  x , f x  ,  x , f x  处的切线都经过点 1 1 2 2 3 3 (a,b)．证明： 1æa ö （ⅰ）若a >e，则0 ， f¢(x) >0， 2 2 æ eö æe ö 故 f x 的减区间为ç 0, ÷， f x 的增区间为ç ,+¥ ÷. è 2ø è2 ø 第18页 | 共22页【小问2详解】 （ⅰ）因为过 a,b 有三条不同的切线，设切点为  x, f x  ,i =1,2,3， i i 故 f x -b= f¢x x -a ， i i i 故方程 f x-b= f¢xx-a 有3个不同的根， æ1 e ö e 该方程可整理为ç - ÷ x-a- -lnx+b=0， è x 2x2 ø 2x æ1 e ö e 设gx= ç - ÷ x-a- -lnx+b， è x 2x2 ø 2x 1 e æ 1 e ö 1 e 则g¢x= - + ç - + ÷ x-a- + x 2x2 è x2 x3 ø x 2x2 1 =- x-ex-a， x3 当0a时，g¢(x) <0；当e< x0， 故gx 在 0,e,a,+¥ 上为减函数，在 e,a 上为增函数， 因为gx 有3个不同的零点，故ge<0且ga>0， æ1 e ö e æ1 e ö e 故ç - ÷ e-a- -lne+b<0且ç - ÷ a-a- -lna+b>0， èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a a e 整理得到：b< +1且b> +lna= f a， 2e 2a 1æa ö a æ e ö a 1 3 e 此时b- f a- ç -1 ÷ < +1- ç +lna ÷ - + = - -lna， 2èe ø 2e è2a ø 2e 2 2 2a 3 e e-2a 设ua= - -lna，则u¢a= <0， 2 2a 2a2 3 e 故ua 为 e,+¥ 上的减函数，故ua< - -lne=0， 2 2e 1æa ö 故00， æ1 e ö e æ1 e ö e 故ç - ÷ e-a- -lne+b>0且ç - ÷ a-a- -lna+b<0， èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a a a 整理得到： +1 >1，m= <1， t x a e 3 1 2 e-a 1 1 2 e-a e-a 2e e-a 要证： + < + < - ，即证2+ 0 t -t 72 1 3 k+1lnk m-13 m2 -m+12  即证： + >0， k-1 72 k+1lnk 1 æ 1 ö 记jk= ,k >1，则 j¢k= ç k- -2lnk ÷ >0 ， k-1 k-12 è k ø 1 1 2 2 2 设uk=k- -2lnk ，则u¢k=1+ - > - =0即j¢k>0， k k2 k k k 故jk 在 1,+¥ 上为增函数，故jk>jm ， k+1lnk m-13 m2 -m+12  m+1lnm m-13 m2 -m+12  所以 + > + ， k-1 72 m-1 72 m-1m-13 m2 -m+12  记wm=lnm+ ,0 >0， 72mm+12 72mm+12 所以wm 在 (0,1) 为增函数，故wm0， 72m+1 m-1 72 故原不等式得证： 【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程 的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等. 第21页 | 共22页第22页 | 共22页