2024荔湾区中考一模数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_广州2024年中考一模_荔湾区

2024 届初中毕业班学生学业水平综合测试 九年级数学 本试卷共三大题 25小题，共 6页，满分 120分．考试时间120分钟，不能使用计算器， 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第 1面、第 3面和第 5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学 校、班极、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图．答案 必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上 新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不 按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1. 如图，几何体由5个相同的小正方体搭成．它的主视图是（ ） A B. C. D. . 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左 视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形． 故选：A． 2. 下列计算结果正确的是（ ）  3 A. a3 a6 B. a6 a3 a2 C.  ab4 2 ab3 D.  b2a  2ab 4a2 b2 第1页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式；根据以上运算法则进行计算即 可求解． 【详解】解：A.  a33  a9，故该选项不正确，不符合题意； B. a6 a3 a3，故该选项不正确，不符合题意；  2 C. ab4 a2b8，故该选项不正确，不符合题意； D.  b2a  2ab 4a2 b2，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线m∥n，ABC是直角三角形，ÐB =90°，点C在直线n上．若150，则2的度数 是（ ） A.60° B.50° C.45° D.40° 【答案】D 【解析】 【分析】延长AB交直线n于点D，根据平行线的性质求出ADC ，再根据直角三角形的特征解答即可． 【详解】延长AB交直线n于点D，如图所示． ∵m∥n， ∴ADC  1  50． 在RtBCD中，2  90  ADC  40． 第2页/共27页 学科网（北京）股份有限公司故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键． 4. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2 张正面朝上的概率是（ ）． 2 1 1 A.1 B. C. D. 3 3 9 【答案】B 【解析】 【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能 使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答． 【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡 片才能使3张卡片中出现2张正面朝上， 2 ∴P ， 3 故选：B． 【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出 现2张正面朝上，是解答本题的关键． 3x12 5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ） x20 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：解不等式3x﹣1≤2，得：x≤1， 解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1， 故选：A． 第3页/共27页 学科网（北京）股份有限公司6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 1.65，1.60 B. 1.65，1.70 C. 1.70，1.65 D. 1.65，1.65 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求众数与中位数，根据众数与中位数的定义，即可求解． 【详解】解：∵1.65出现次数最多，则众数为1.65， 中位数为第8个数据，即1.65 故选：D． k 7. 如图，一次函数 y axb  a0  与反比例函数 y   k 0 的图象交于点A  1,2  ，B 2,1  ，则 x k 关于x的不等式axb 的解集是（ ） x A. x<2或x1 B. x<2或0 x 1 C. 2 x0或x1 D. 1 x0或x2 【答案】C 【解析】 k 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式axb 的解集，即为一次函数 x k y axb  a0  的图象在反比例函数y   k 0 的图象上方时的自变量的取值范围． x k 【详解】解：∵一次函数 y axb  a0  与反比例函数 y   k 0 的图象交于点A  1,2  ，B 2,1  ， x k 由图象可知，关于x的不等式axb 的解集是：2 x0或x1， x 故选：C． 8. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器 第4页/共27页 学科网（北京）股份有限公司所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） 600 450 600 450 600 450 600 450 A.  B.  C.  D.  x50 x x50 x x x50 x x50 【答案】A 【解析】 【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现 在生产600台机器时间原计划生产450台时间． 【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，列方程得： 600 450  ， x50 x 故选A． 【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个 隐含条件，进而得出分式方程是解题关键． 9. 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B58，ACD40．若O的半径为5，则 D  C 的 长为（ ） 13 10 1 A.  B.  C.  D. π 3 9 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC,OD，根据圆内接四边形的性质得出ADC 180B122，再根据三角形的内角 和求出CAD18，进而得出COD2CAD36，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接OC,OD， ∵四边形ABCD是O的内接四边形，B58， ∴ADC 180B122， ∵ACD40， ∴CAD180ADCACD18， 第5页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴COD2CAD36， 365 ∴l  ， D  C 180 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公 式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为 nr 180，弧长 ． 180 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF CE，AE平分CAD， 连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN  AC，垂足为N，连 接PM ，有下列四个结论：①AE垂直平分DM ；②PM PN的最小值为 3 2 ；③CF2 GEAE ； ④S 6 2．其中正确的个数是（ ） △ADM A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明DAE FDC，通过等量转化即可求证AGDM ， 利用角平分线的性质和公共边即可证明ADG≌AMG  ASA  ，从而推出①的结论；利用①中的部分结 果可证明ADE∽DGE推出DE2 GEAE，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾 股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论错误；结合①中的结论和③的结论可求出 PM PN的最小值，从而证明②不对． 【详解】解：∵ABCD为正方形， ∴BC CD  AD，ADE DCF  90， 第6页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∵BF CE， ∴DE FC， ∴ADE≌DCF  SAS  ． ∴DAE FDC， ∵ADE 90， ∴ADGFDC 90， ∴ADGDAE 90， ∴AGDAGM 90． ∵AE平分CAD， ∴DAG MAG． ∵AG AG， ∴ADG≌AMG  ASA  ． ∴DGGM ， ∵AGDAGM 90， ∴AE垂直平分DM ， 故①正确． 由①可知，ADE DGE  90，DAE GDE ， ∴ADE∽DGE， DE AE ∴  ， GE DE ∴DE2 GEAE， 由①可知DE CF， ∴CF2 GEAE ． 故③正确． ∵ABCD为正方形，且边长为4， ∴AB  BC  AD  4， ∴在RtABC中，AC  2AB4 2． 由①可知，ADG≌AMG  ASA  ， ∴AM  AD4， 第7页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴CM = AC- AM = 4 2- 4． 由图可知，DMC和△ADM 等高，设高为h， ∴S S S ， ADM ADC DMC   4h 44 4 2 4 h ∴ ，   2 2 2 ∴h2 2， 1 1 ∴S  AM h 42 2 4 2． ADM 2 2 故④错误． 由①可知，ADG≌AMG  ASA  ， ∴DGGM ， ∴M关于线段AG的对称点为D，过点D作DN AC，交AC于N，交AE于P， ∴PM PN最小即为DN，如图所示， 由④可知△ADM 的高h2 2即为图中的DN， ∴DN2 2． 故②不正确． 综上所述，正确的是①③共两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题 的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点． 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分．） 11. 从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000．将1030000000用科学记数法表示 为______． 第8页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【答案】1.03109 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1  a  10，n为整数，确定n的值时，要看把 原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：10300000001.03109， 故答案为：1.03109． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 12. 因式分解：x2y9y_____ 【答案】 y  x3  x3  【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式 法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； 【详解】x2y9y    y x2 9  y  x3  x3  ． 故答案为： y  x3  x3  ． 13. 若一元二次方程x2 mx40有两个相等的实数根，则m ________． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值． 【详解】解：由题意可知： a 1，bm，c4 ∵一元二次方程x2 mx40有两个相等的实数根， ∴ b2 4ac 0， ∴m 2 440， 解得：m4． 第9页/共27页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：4． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式 b2 4ac求参数．掌握方程有两个不相等的实数根 时，0；方程有两个相等的实数根时，Δ0；方程无实数根时，Δ0是解决本题的关键． 14. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB 为 m(结果保留根号)． 【答案】30 3 【解析】 【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°， ∴AD=CD=60m， 在Rt ABD中， △ 3 AB=AD•sin∠ADB=60× =30 3(m). 2 故答案是：30 3. 15. 如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA，连接CA．若 AD9，AB5，CA2 2，则BP _______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点A作AF  BC于点F，则PBAAFP，可证BPA≌FAP(AAS)，于是 BA FP,BP  FA．设BP  FA x，RtFCA，(4x)2 x2 (2 2)2，解得x2，于是BP2． 【详解】解：过点A作AF  BC于点F，则PBAAFP， 第10页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∵BPAFPA90,FPAFAP 90， ∴BPAFAP． 又PA AP， ∴BPA≌FAP(AAS). ∴BA FP,BP  FA． 设BP  FA x，矩形ABCD中，BC  AD9， CF  BC BPPF 9x5 4x， RtFCA，(4x)2 x2 (2 2)2，解得x2， ∴BP2． 故答案为：2 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据 勾股定理构建方程求解是解题的关键． 16. 如图，ABC为等边三角形，点D为ABC外的一点，ADC 60，AD8，BD 4 7 ，则△BCD 的面积为______． 【答案】4 3 【解析】 【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60得到△ACE，得出△DCE是等边三角形，根据AD∥CE得 出S S S ，进而勾股定理求得DE，即可求解． BCD ACE CDE 【详解】解：如图所示，∵ABC为等边三角形， 将△BCD绕点C顺时针旋转60得到△ACE，则AE  BD 4 7 第11页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴DCE 60，DC  DE ∴△DCE是等边三角形， ∵ADC 60 ∴AD∥CE 1 3 ∴S  S  S  DEsin60CE  DE2， BCD ACE CDE 2 4 过点A作AF  ED于点F ∵ADC CDE 60 ∴ADF 60 ∵AD8， ∴AF  ADsin60 4 3 在RtAEF 中，AE2  AF2 FE2 ∴  4 7 2   4 3 2  4 DE 2 解得：DE 4（负值舍去） 3 ∴S  S  S  42 4 3 BCD ACE CDE 4 故答案为：4 3． 三、解答题（本大题共 9小题，共 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） x2y 1 17. 解方程组： 3x2y 3 x 1 【答案】 y 0 【解析】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 第12页/共27页 学科网（北京）股份有限公司x2y1① 【详解】解： ， 3x2y3② ①②得：4x4， 解得：x1， 把x1代入①得：12y 1， 解得：y0， x 1 ∴原方程组的解为： ． y 0 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的一般 步骤，准确计算． 18. 如图，点E，C在线段BF 上，BE  FC，AD，ACBDEF．求证：△ABC≌△DFE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明BC  FE，再利用AAS证明△ABC≌△DFE即可． 【详解】证明：∵BE  FC， ∴BE CE  FC CE，即BC  FE， 又∵AD，ACBDEF， ∴△ABC≌△DFE  AAS  ．  1  x2 1 19. 先化简，再求值：1   ，其中x sin30．  x2 x2 1 【答案】 ；2 x1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除 法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．  1  x2 1 【详解】解：1    x2 x2 第13页/共27页 学科网（北京）股份有限公司x21 x2   x2  x1  x1  1  ， x1 1 1 1   2 当x sin30 时，原式 x1 1 ． 2 1 2 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量 y（千克）与销售价格x（元/千克）（30 x48）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 35 45 日销售量y（千克） 250 150 （1）试求出y关于x的函数表达式； （2）当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格． 【答案】（1） y 10x600 （2）40 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）根据表格数据，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为ykxb，将  35,250 ， 45,150  代入，得 35k b250  ， 45k b150 k 10 解得： ， b600 ∴ y 10x600； 【小问2详解】 解：依题意，  x30  y 2000， 即  x30 10x600 2000， 第14页/共27页 学科网（北京）股份有限公司解得：x40或x50（舍去） 答：销售价为40元/千克． 21. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成 绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制 成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m ______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安 全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7； （2）见解析，108°； 1 （3） ． 6 【解析】 【分析】此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点 是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百 分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求 出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在 扇形圆心角的度数； （3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，这次抽样调查共抽取：1632%50（人），m5014%7， 第15页/共27页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：50，7． 【小问2详解】 由（1）知，m7，等级为A的有：501615712（人）， 15 补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为： 360 108． 50 【小问3详解】 树状图如下所示： 由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种， 2 1 ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为  ． 12 6 22. 如图，已知四边形ABCD是矩形．延长BA至E使AE  AD．连接CE分别交BD，AD于点G，F， 且CE DB． （1）过点C作CM  EC，交AB的延长线于点M．求证：四边形DBMC是平行四边形； （2）连结AG，求证：EGDG  2AG． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质： （1）由题意知DC∥BM ，再由垂直证明BD∥CM 即可求证； 第16页/共27页 学科网（北京）股份有限公司（2）过点A作AN  AG交EC于点N，先证明AEN≌ADG得出EN  DG，AN  AG，NG 2AG 即可解答． 【小问1详解】 证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，即CD∥BM ， ∵CE DB，CM EC ， ∴BD∥CM ， ∴四边形DBMC是平行四边形； 【小问2详解】 证明：过点A作AN  AG交EC于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EAD90NAG， ∴EAN DAG， ∵BDCE， ∴DGF 90， ∴FDGDFG 90， ∵DCF DFG90， ∴DCF FDGAEN， ∵AE  AD， ∴AEN≌ADG  ASA  ， ∴EN DG，AN  AG ， 第17页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴NG 2AG， ∴EGDG EGEN  NG 2AG． 23. 如图，已知A  0,4  ，B 3,0  ，C  2,0  ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹） k （2）若反比例函数 y  的图象过点D，求此反比例函数的解析式； x （3）在（2）的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当△ACE的面积取最小值时，求点 E的坐标． 20 【答案】（1）见解析 （2）y  x   （3） 10，2 10 【解析】 【分析】（1）根据AB BC 5，分别以A,C 为圆心5为半径，作弧，两弧交于点D，即可求解； k （2）根据菱形的性质求得D的坐标，代入 y  ，即可求解． x （3）先求得直线AC的解析式，进而得出过点E且平行于AC的直线l解析式，根据题意可得l与反比例数 图象只有一个交点，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求； 第18页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 解：∵A  0,4  ，B 3,0  ，C  2,0  ∴OA4,OB 3,BC 5 ∴AB OA2 OB2 5， ∴AB AC ∵D与B关于AC对称， ∴DA AB,CB CD， ∴ABBC CD AD5 ∴四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC   ∴D 5,4 k ∵反比例函数 y  的图象过点D， x ∴k 5420 20 ∴ y  ； x 【小问3详解】 设直线AC的解析式为ykxb     将A 0,4 ，C 2,0 代入，得 b4  2kb0 k 2 解得： b4 ∴直线AC的解析式为 y 2x4 第19页/共27页 学科网（北京）股份有限公司设过点E与AC平行的直线l的解析式为 y 2xd 20 ∵当△ACE的面积取最小值时，则AC,l的距离最小，此时l与 y  只有1个交点即点E， x  20 y  ∴ x  y 2xd ∴2x2 dx200 ∴ b2 4acd2 1600 ∴d 4 10或d 4 10 （舍去） ∴直线l的解析式为 y 2x4 10， 20 点E即为 y 2x4 10， y  的交点， x  20 y  ∴ x ，  y 2x4 10  x 10 解得： ， y 2 10   ∴E 10，2 10 ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质与判定，坐标与图形，一元二次方程根的判别式， 反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 24. 抛物线y ax2 bx4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B  3,0  ，对 称轴为直线x1，对称轴与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点，作直线PC，当PCBABC时，求点P的坐标； 3 （3）点E为线段OC上一动点，当点E坐标为何值时，DE CE有最小值，并求出最小值． 5 4 8 【答案】（1） y  x2  x4 3 3  4 100 （2）  , 或(2,4)  7 49  16 （3） 5 第20页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解直角三角形等知识： （1）由待定系数法即可求解；  7  （2）当点P在BC下方时，证明CH BH ，即 3x 2  x2 16，得到H  ,0，即可求解；当点P(P)  6  在BC上方时，则点C,P关于抛物线的对称轴对称，即可求解；   （3）过点C作直线CT 交x轴于点T，设T x,0 ，过点D作DH CT交y轴于点E，垂足为点H，此 3 3 时点D距离直线CT 的距离最短，则DEHE 最小，若DE CE有最小值，则HE  CE，进而解直 5 5 角三角形即可求解． 【小问1详解】  b x1 解：由题意得： 2a ，  9a3b40  4 a    3 解得： ， 8  b  3 4 8 则抛物线的表达式为： y  x2  x4； 3 3 【小问2详解】 4 8 解：对于 y  x2  x4，当x0时， y 4， 3 3   ∴C 0,4 ∴OC 4, 当点P在BC下方时， 设CP交x轴于点H， 第21页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∵PCBABC， 则CH BH ，   设H x,0 ，则HB3x， CH  x2 16 ， 3x  x2 16 即 3x 2  x2 16， 7 解得：x  ， 6  7  则点H  ,0，  6  24 由点C、H的坐标得，直线CH 的表达式为： y  x4， 7 24 4 8 联立上式和抛物线的表达式得： x4 x2  x4， 7 3 3 4 解得：x0（舍去）或 ， 7  4 100 则点P的坐标为：  , ；  7 49  当点P(P)在BC上方时， ∵PCBABC， 则CP∥x轴， 则点C、P关于抛物线的对称轴对称， 则点P(2,4)；  4 100 综上，点P的坐标为：  , 或(2,4)；  7 49  【小问3详解】   过点C作直线CT 交x轴于点T，设T x,0 ， 第22页/共27页 学科网（北京）股份有限公司4 8 4 16 ∵ y  x2  x4  x1 2  ， 3 3 3 3 ∴抛物线的对称轴为直线x1，   ∴D 1,0 ， 过点D作DH CT交y轴于点E，垂足为点H，此时点D距离直线CT 的距离最短， ∴DEHE 最小， 3 3 若DE CE有最小值，则HE  CE, 5 5 HE 3 即sinHCE   , CE 5 TO 3 ∴sinOCT  , CT 5 又CT  x2 16,TO x ， x 3 ∴  ， x2 16 5 解得，x3或3（舍去）， ∴TO3,CT 5, ∴DT  DOOT 134, ∵CHE DOE 90,CEH DEO, ∴ODE HCE, 4 ∴cosODE cosHCE  , 5 DH 4 又 cosTDH  DT 5 4 16 则HD TDcosTDH 4  ， 5 5 3 16 即DE CE的最小值为： ． 5 5 25. 如图，在Rt△ABC中，ABC 90，点P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作O，交BC于 第23页/共27页 学科网（北京）股份有限公司点D，与AC的另一个交点为E，连接DE，BE． （1）当 D  P E  P 时，求证：AB  AP； （2）当AB3，BC 4时． ①是否存在点P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明 理由； ②连接DP，点H 在DP的延长线上，若点O关于DE的对称点Q恰好落在CPH内，求CP的取值范围． 5 7 7 5 【答案】（1）见解析 （2）①存在，CP2或CP  或CP  ；② CP 2 5 5 2 【解析】 【分析】（1）根据 D  P E  P 得出 DBP EBP ，连接 BE ，可得 ABC BEP 90 则 ABPBPE，即可得证； BC 4 3 12 （2）①勾股定理可得 AC 5 ，进而可得 sin A  ， cosA ， BE sinAAB  ， AC 5 5 5 9 9 16 AE cosAAB  ，CE 5  ，分三种情况讨论，分别解直角三角，即可求解； 5 5 5 ②根据题意得出四边形ODQE是菱形，分当Q在PH上时，当Q在CP上时，求得临界值，进而结合图形， 即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ D  P E  P ∴DBP EBP， 连接BE ，如图， ∵BP是直径， 第24页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴ABC BEP 90， ∴ABC DBP BEPPBE ， 即ABPBPE， ∴AB  AP； 【小问2详解】 ∵Rt△ABC中，AB3，BC 4 ∴AC 5， BC 4 3 ∴sin A  ，cosA AC 5 5 ∵BEP90 12 9 9 16 ∴BE sinAAB  ，AE cosAAB  ，CE 5  5 5 5 5 若存在BDE是等腰三角形； 12 8 ①当BD  BE时，BD  BE  ，则CD4BD 5 5 连接DP， ∵PB是直径， ∴PDB90 CD CE ∵cosC   CP CB 8 16 ∴ 5 5  CP 4 解得：CP2 当DB DE时，过点D作DF  BE于点F ， ∵DB  DE,DF  BE 第25页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴BF  FE（等腰三角形三线合一） ∴DE平行AC， BD BF ∴  1 DC FE ∴DF是BCE的中位线， ∴CD= DB= 2， CD CE ∵cosC   CP CB 16 ∴ 2 5 ，  CP 4 5 解得：CP  ， 2 当ED  EB时，如图所示，过点E作EGCB于点G， ∴BEG 90CEG C BG BE 3 ∴sinC    BE BC 5 3 12 36 ∴BG    ， 5 5 25 72 ∴BD 2BG  25 72 28 ∴CD5  25 25 CD CE ∵∵cosC   CP CB 28 16 ∴ 25 5 ，  CO 4 7 解得：CP  ， 5 5 7 综上所述，CP2或CP  或CP  ； 2 5 ②连接OD,OE,QE,DQ，依题意，OD OE QD QE ∴四边形ODQE是菱形， 第26页/共27页 学科网（北京）股份有限公司当Q在PH上时， ∵四边形ODQE是菱形， ∴OD∥QE ，DQ∥OE ∴CDP CBA90 ∴DQ∥OE∥AB BO AE ∴  1 OP PE ∴EO为ABP的中位线， 9 18 ∴AP 2PE 2AE 2  5 5 18 7 ∴CP  AB AP 5  ， 5 5 ②当Q在CP上时，∵四边形ODQE是菱形， ∴OD∥AC， ∴C BDO CBP， 5 ∴BPCP  AP ， 2 7 5 综上所述，CP的取值范围为 CP ． 5 2 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，菱形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质， 勾股定理，分类讨论是解题的关键． 第27页/共27页 学科网（北京）股份有限公司