2025年12月高三T8联考数学试卷答案_@高三模考真题_2025年12月高三T8联考试卷及答案

高三年级１２月检测训练 数学试题参考答案及多维细目表 nn 当n 时nS S S 题号 ＋２ (－１),∴ ≥２ ,(n － n －１)＝ n ＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ nn ． 答案 ２ (－１) B C D B A A S S n n n S nS nn －１ 题号 ∴(－１)n － n －１＝２ ( －１),∴n－n ７ ８ ９ １０ １１ －１ 答案 n {S n } 是首项为 公差为 的等 D B AB ACD ACD ＝２(≥２),∴ n －５, ２ １ ． 【 答案 】B 差数列． 解析 A xx 或x B xx 【 】∵ ＝{| ≤－１, ≥３}, ＝{| ≥ S n n n S n n A B xx 或x ． ∴n＝－５＋２(－１)＝２ －７,∴ n ＝ (２ － e},∴ ∪ ＝{| ≤－１, ≥e} ２ ． 【 答案 】C ７)＝２ n２ －７ n ,∴ S n 的最小值为S ２＝－６,∴ λ ≤ ． －６ 解析 方法一 z z ３i－１ 【 】 :∵(２＋i)＝３i－１,∴ ＝ ２＋i ＝ 方法二 : 当n ≥２ 时 , na n ＝ S n ＋２ n ( n －１)①,( n a S n n ． (３i－１)(２－i) １ ７i z z z －１)n －１＝ n －１＋２(－１)(－２)② ＝ ＋ ,∴||＝ ２,∴ 􀅰 ＝ 得n a n a n n ５ ５ ５ ①－② (－１)n －(－１)n －１＝４(－１), | z | ２ ＝２ ． ≥２,∴ a n － a n －１＝４, 方法二 :∵(２＋i) z ＝－１＋３i,∴ ５| z |＝ １０, ∴ 数列 { a n} 是首项为 －５, 公差为 ４ 的等差数列． a n n 令a 得n z z z z２ ． ∴ n ＝－５＋４(－１)＝４ －９, n ＞０ ≥ ∴||＝ ２,∴ 􀅰 ＝||＝２ S 的最小值为S λ ． ．答案 ３,∴ n ２＝－６,∴ ≤－６ ３ 【 】D ．答案 ６ 【 】A 解析 ab １ １ １ ab 解析 由题得筒车半径为 转动一圈需要 【 】∵ ＝a＋b≥２ ab,∴ ≥２, 【 】 ２m, ４０ 且轴心O距水面高度为 s, ３m, １ １ ab 最小值为 ∴ log a ２ ＋ log b ２ ＝log２ ≥log２２＝１,∴ A (２＋ ３)－(３－２) ω ３π π K ∴ ＝ ＝２,＝ ＝ , ＝ 此时a b ． ２ ６０ ２０ １, ＝ ＝ ２ ．答案 (２＋ ３)＋(３－２) ． ４ 【 】B ＝ ３(m) 解析 如图 延长AG 交BC于点D 则BG→ ２ 【 】 , , ＝ 又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时 d ,∴ (０) BD→ DG→ １BC→ １AG→ BG→ λBC→ μ ＋ ＝ － ,∵ ＝ ＋ 􀅰 φ ３．又 π φ π φ π． ２ ２ ＝０,∴sin ＝－ － ＜ ＜ ,∴ ＝－ ２ ２ ２ ３ AG→ 且BC→ AG→不共线 λ １μ １ λ ．答案 , , ,∴ ＝ ,＝－ ,∴ － ７ 【 】D ２ ２ 解析 如图 设点M 在第一象限 过点F 作 μ ． 【 】 , , ２ ＝１ FG MF 于点G 设N 为圆O的切点 连接 A ２ ⊥ １ , , ON FN NG mFG ON ． ,∴ １ ＝ ＝ ,２ ＝２ ＝２ G B D C ．答案 ５ 【 】A S 解析 方法一 由a n n 得na S 【 】 : n ＝n＋２(－１) n ＝ n 数学试题 参考答案 第 页 共 页 １ ７当y gx 在区间 上恰有 个零点 在 MGF 中 MG ２３ MF ４３ 由双 ∴ ＝ ( ) (０,＋∞) ２ Rt△ ２ , ＝ , ２＝ , 时 需满足gx x k． ３ ３ , (０)＜０,０＜ ０＜ 曲线定义得 MF MF m ２３ ∴ g ( x ０)＝e x ０ (２ x ０－１)＋ k (－ x ０＋１)＝ | １|－| ２|＝２,∴２ ＋ ３ － e x ０(２ x ０－１)＋e x ０ (２ x ０ ＋１)(－ x ０ ＋１)＝ ４３ ＝２,∴ m ＝１＋ ３． x ０e x ０(－２ x ０＋３)＜０,∴ x ０＞ ３． ３ ３ ２ ．答案 易知hx x x 在区间 上单调 ８ 【 】B ()＝e(２ ＋１) (０,＋∞) 解析 gx fx f x g x 递增 【 】∵ ( )＝ ( )＋ (－ ),∴ (－ )＝ , f (－ x )＋ f ( x )＝ g ( x ) ．又g ( x ) 定义域为 { x | x ∴ k ＝e x ０(２ x ０＋１)＞４e ３ ２ ． 关于原点对称 gx 为偶函数．要使y 综上所述k ３ ． ≠０} ,∴ ( ) ＝ ,∈(４e２,＋∞) gx 恰有 个零点 则需使y gx 在区间 ．答案 () ４ , ＝ () (０, ９ 【 】AB 上恰有 个零点． 解析 极差为最大值与最小值的差 极差相 ＋∞) ２ 【 】 ,∴ 当x 时gx x x k x 同 选项 正确 ＞０ ,( )＝e(２ －１)＋ (－ ＋１)＝ ,∴ A ; x x kx ． x x x e(２ －１)－ (－１) 原数据的平均数x １＋ ２＋􀆺＋ n 新数据 方法一 令 x x kx 显然x 不 ＝ n , : e(２ －１)＝ ( －１), ＝１ x x x x x x 是方程的根 k e x (２ x －１) 记h x 的平均数y ＝ １＋ ＋ ２＋ n ＋􀆺＋ n ＋ ＝ ,∴ ＝ x , ( )＝ －１ x x x x x １＋ ２＋􀆺＋ n x x 平均数不同 选 e(２ －１)问题转化为hx k在区间 n ＋ ＝２ ,∴ ,∴ x , ( )＝ (０, －１ 项 正确 上有 个解． B ; ＋∞) ２ 又h′x e x (２ x２ －３ x ) 原数据的方差s２ １＝n １ [( x １－ x ) ２ ＋( x ２－ x ) ２ ＋􀆺＋ ()＝ x ２ , (－１) ∴ x ∈(０,１) 时 , h′ ( x )＜０, h ( x ) 单调递减 ; ( x n － x ) ２ ], 新数据的方差s２ ２＝n １ [( x １＋ x －２ x ) ２ ＋ æ ö x ∈è ç １, ３ ø ÷时 , h′ ( x )＜０, h ( x ) 单 调 递 减 ; ( x ２＋ x －２ x ) ２ ＋􀆺＋( x n ＋ x －２ x ) ２ ]＝ s２ １,∴ 方 ２ 差相同 选项 错误 æ ö ,∴ C ; x ∈è ç３ ,＋∞ø ÷时 , h′ ( x )＞０, h ( x ) 单调递增 , 中位数显然不同 ,∴ 选项 D 错误． ２ 且h (０)＝１ ．当x从 １ 的左侧无限趋近于 １ 时 , １０ ． 【 答案 】ACD æ ö h ( x ) 趋近于 －∞; 当x从 １ 的右侧无限趋近于 １ 【 解析 】∵ g ( x )＋ g è ç x １ ø ÷ ＝ x －x １ －ln x ＋x １ － 时hx 趋近于 当x趋近于 时hx ,() ＋∞; ＋∞ ,( ) æ ö x １ 选项 正确 趋近于 ．又hç３÷ ３ k ３ ． －lnx＝０,∴ A ; ＋∞ è ø＝４e２,∴ ∈(４e２,＋∞) ２ x２ x 方法二 : g′ ( x )＝e x (２ x ＋１)－ k , 易知g′ ( x ) 在 ∵ g′ ( x )＝１＋x １ ２－x １ ＝ ＋ x １ ２ － ＞０,∴ g ( x ) 区间 (０,＋∞) 上单调递增 ,∴ 要使y ＝ g ( x ) 在 在区间 (０,＋∞) 上单调递增．又g (１)＝０, 区间 (０,＋∞) 上恰有 ２ 个零点 , 则需满足g′ ( x ) ∴ g ( x )＞０ 解集为 (１,＋∞),∴ 选项 B 错误 ; 在区间 上有零点 记为x 且g′ æ ö æ ö (０,＋∞) , ０, (０)＝ π ３π 且gç１６÷ gç１１÷ １－ k ＜０,∴ k ＞１, 且g′ ( x ０)＝e x ０(２ x ０＋１)－ ∵sin ３ ＞sin １１ ＞０, è ３ ø＞ è ３ ø＞０, æ ö æ ö k ． ＝０ ∴sin π 􀅰 g è ç１６ ø ÷ ＞sin ３π 􀅰 g è ç１１ ø ÷ ,∴－sin π 􀅰 当x x 时 g′x gx 单调递减 当 ３ ３ １１ ３ ３ ∈(０,０) , ( )＜０, ( ) ; æ ö æ ö æ ö x x 时g′x gx 单调递增． gç１６÷ ３π gç１１÷ 由hç１６÷ １６ ∈(０,＋∞) , ()＞０,() è ø＜－sin 􀅰 è ø, è ø＝sin π􀅰 ３ １１ ３ ３ ３ g k gk k k k k ∵ (０)＝ －１＞０,()＝e(２ －１)＋ (－ ＋ æ ö æ ö æ ö gç１６÷ π gç１６÷ hç３÷ ３π k k k k k２ k è ø＝－sin 􀅰 è ø, è ø＝sin 􀅰 １)＞ (２ －１)＋ (－ ＋１)＝ ＞ －１, ３ ３ ３ １１ １１ 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ２ ７æ ö æ ö æ ö æ ö n gç３÷ ３π gç１１÷ hç１６÷ hç３÷ ６􀅰 ! n n n ． è ø＝－sin 􀅰 è ø,∴ è ø＜ è ø, n ,∴(－５)! ＝(－６)!,∴ ＝６ １１ １１ ３ ３ １１ ６! (－６)! 选项 正确 ∴ C ; ．答案 ２ h′x f′xgx fxg′x x １３ 【 】 ()＝ ()()＋ () ()＝πcosπ 􀅰 ２ æ çx １ x ö ÷ x x２ ＋１－ x x 【 解析 】 设M ( x １, y １), N ( x ２, y ２), 由抛物线定 è －x－ln ø＋sinπ 􀅰 x２ ,∴ ∈ p p 义得 FM x FN x ． æ ö æ ö | |＝ １＋ ,| |＝ ２＋ ç１ ÷时h′x x ç ３÷时h′x ． ２ ２ è ,１ø , ()＞０;∈è１, ø , ( )＜０ æ pö æ pö ２ ２ çx ÷ çx ÷ 又h′ 为hx 极大值点 选项 FM FN è １＋ ø－è ２＋ ø (１)＝０,∴１ ( ) ,∴ D || |－| || ２ ２ 正确． ∴ | MN | ＝ １＋ k２ | x １－ x ２| ．答案 x x １１ 【 】ACD | １－ ２| ２． 【 解析 】 记正方形ABCD 和正方形A １ B １ C １ D １ ＝ １＋ k２ | x １－ x ２| ＝ ２ 的中心分别为O和O １, 则点P在线段OO １( 不 １４ ． 【 答案 】－３ 含端点O ) 上 , 易知 ０＜ h ≤１,∴ 选项 A 正确 ; 【 解析 】 令x ＝sin α , y ＝cos β , 则 ( x － １－ y２ )􀅰 在 Rt△ POC 中 , h ＝ PO ＝ PC２ － OC２ ＝ ( y － １－ x２ )＝０,∴ x ＝ １－ y２ , 或y ＝ ３ ２ １ 选项 错误 １－ x２ ,∴ x２ ＋ y２ ＝１( x ≥０), 或x２ ＋ y２ ＝１ － ＝ ,∴ B ; ４ ４ ２ y ． (≥０) 如图 记四棱锥PＧABCD 的外接球球心为G , , 点 α β 在圆x２ y２ 位于第一 ∴ (sin ,cos ) ＋ ＝１ 、 则点G则在OP上 连接CG．在 OGC中 , Rt△ , 二 四象限 包括坐标轴 的部分上． 、 ( ) OG ＝１－ R , OC ＝ ２ , GC ＝ R , 则R２ ＝(１－ R ) ２ ＋ ∵ 点 (sin α ,cos β ) 到直线x ＋ y －２＝０ 距离为 ２ α β æ ö ２ |sin ＋cos －２| ＝ d , è ç ２ ø ÷ ,∴ R ＝ ３ ,∴ S球 ＝４π R２ ＝４π× ９ ＝ ９ π, ２ ２ ４ １６ ４ 又 α β α β 选项 正确 sin ＋cos －２≤０,∴sin ＋cos －２＝ ∴ C ; d． － ２ 下求d的最大值．如图 d的最大值为点 , (－１, 到直线x y 的距离 d ０) ＋ －２＝０ ,∴ max＝ |－１＋０－２| ３ ＝ , ２ ２ α β ３ ． ∴(sin ＋cos －２)min＝－ ２× ＝－３ 该正方体恰好放入与四棱锥PＧABCD 体积相 ２ y 同的 个四棱锥 公共部分的体积为正方体 ６ ,∴ 内切球体积的１ 公共部分的体积为１ ４ ,∴ × π ６ ６ ３ æ ö ç１÷ ３ π 选项 正确． O 1 2 x ×è ø ＝ ,∴ D x y2 0 ２ ３６ ．答案 １２ 【 】６ æ ö A b c 【 解析 】∵ T ６＝C n５xn －５ è ç x ２ ø ÷ ５ ,∴ 第 ６ 项系数为 １５ ．解 :(１) 在 △ ABC中 ,cos ２ ＝ ＋ c ,∴ １ (１＋ ２ ２ ２ C n５ 􀅰２ ５ , 又T ７＝C n６xn －６ æ è ç x ２ ö ø ÷ ６ ,∴ 第 ７ 项系数为 cos A )＝ １ æ è ç c b ＋１ ö ø ÷ ,∴cos A ＝c b ． 􀆺􀆺􀆺 ２ 分 ２ C n６ 􀅰２ ６． 方法一 : 在 △ ABC中 , 由正弦定理得 cos A ＝ n B 由题可知 C n５ 􀅰２ ５ ＝３C n６ 􀅰２ ６ ,∴ n ! ＝ sin C,∴sin B ＝cos A sin C． ５! (－５)! sin 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ３ ７A B C B A C ． 每个样本点出现的可能性相等 且为有 ∵ ＋ ＋ ＝π,∴sin ＝sin( ＋ ) ＝２５６, , A C A C A C 限个 分 ∴sin cos ＋cos sin ＝cos sin , ,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ９ A C ． A C 记质点经过 次移动后回到点A为事件B 要 ∴sin cos ＝０∵sin ≠０,∴cos ＝０, ４ , 次回到起点A 则向左向右移动次数相等 向 C π． 分 ４ , , ∴ ＝ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ 上向下移动次数相等 事件B包含的样本点 ２ ,∴ b b２ c２ a２ b 方法二 :∵cos A ＝c,∴ ＋ ２ bc － ＝c, 个数为m ＝A ４ ４＋ A ２ ２ A 􀅰 ４ ４ A ２ ２ ＋ A ２ ２ A 􀅰 ４ ４ A ２ ２ ＝３６,( 或m 分 ∴ a２ ＋ b２ ＝ c２ ,∴ C ＝ π． 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ 分 ＝A ４ ４＋２C ２ ４＝３６)􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３ ２ (２) 方法一 : 如图 , 过点D作DH 垂直于AC于 由古典概型计算公式得P ( B )＝ ２ ３ ５ ６ ６ ＝ ６ ９ ４ ． ∴ 质 AH AD 点H．由题可得 １． 点移动四次后回到点A的概率为９． 分 HC＝DB＝ 􀆺 １５ ２ ６４ HD ． 证明 如图 连接ABAC． 设AH xHC x A ACD １７ (１) : , １ ,１ ＝ , ＝２ ,tan ＝ x ,tan∠ C  HD A tan ． 分 A ＝ x,∴ ACD＝２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３  B ２ tan∠  D C O A B CD 方法二 在 ACD 中 由正弦定理得 : △ , A＝ AB AC AAB AACAA AA sin ∵ ＝ ,∠ １ ＝∠ １ , １ ＝ １ , AD AAB AAC AB AC． 分 ∴△ １ ≌△ １ ,∴ １ ＝ １ sin∠ ACD①, 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ８ O 为BC中点 BC AO．又AC AB ∵ ,∴ ⊥ １ ＝ , CD 在 BCD 中 由正弦定理得 BC AO． 分 △ , æ ö ＝ ∴ ⊥ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ çπ A÷ 又AO AO OAO 平面AAOAO 平 sinè － ø ∩ １ ＝ , ⊂ １ , １ ⊂ ２ 面AAO BC 平面AAO． 分 BD CD BD １ ,∴ ⊥ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺 ５ æ ö,∴ A＝ ACD②, BC 平面BCCB 平面AAO 平面 çπ ACD÷ cos cos∠ ∵ ⊂ １ １,∴ １ ⊥ sinè －∠ ø BCCB ． 分 ２ １ １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ 分 解 AO 平面ABC AAO为AA 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ (２) :∵ １ ⊥ ,∴∠ １ １ A 与平面ABC所成的角 即 AAO ．由题 得 tan ． 分 , ∠ １ ＝６０° ②÷①, ACD＝２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３ 可知OA OBOA 两两垂直 以O为坐标原 tan∠ , , １ , ．解 由题可知X 的可能取值为 １６ :(１) －２,０,２, 点 OA→OB→ OA→分别为x轴 y轴 z轴正方 , , , １ 、 、 ∴ P ( X ＝－２)＝(１－ p ) ２ , P ( X ＝０)＝２ p (１－ p ), 向 建立如图所示的空间直角坐标系． , PX p２． 分 C ( ＝２)＝ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ３ z  X的分布列如下． A  B  X －２ ０ ２ P p２ p p p２ (１－ ) ２ (１－ ) D EX p２ p２ p C ∴ ( )＝－２􀅰(１－ )＋２ ＝４ －２＞０, O １ p ．不列分布列不扣分 分 ∴ ２ ＜ ＜１( )􀆺􀆺􀆺 ７ x A B 移动四次 样本空间的样本点总数为n ４ y (２) , ＝４ 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ４ ７设AC AB A A ＝ ＝４,∴ １(０,０,２６), (２２,０, y y ４－ ８ ２＋４＋ １ ９ ７ １０． ０), B (０,２ ２,０), C (０,－２ ２,０) ． ∵ AC→ ＝ ＝ ( y １＋ y ２) ２ －４ y １ y ２ ＝ ６４ ６４ ＝ ２０ ＋ A １ C→ １,∴ C １(－２２,－２２,２６), B １(－２２, ８１ ９ 分 分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ９ ２２,２６),􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ 假设存在直线l 设直线l方程为x my ② , ＝ ＋ D AD→ ∴ (－ ２,２２,６),∴ ＝(－３２,２２, Ax y Bx y ． ２, (１,１), (２,２) ６), AC→ １＝(－４２,－２２,２６) ． ì ïx２ y２ ï 设平面AC １ D的一个法向量为n ＝( x , y , z ), 联立í ïï ８ ＋ ４ ＝１,消去x , 得 ( m２ ＋２) y２ ＋４ my － îx my {AD→ n ＝ ＋２, 􀅰 ＝０, Δ 恒成立 ∴ AC→ n ４＝０, ＞０ , １􀅰 ＝０, m { y y －４ yy －４ y －３２ x ＋２２ y ＋ ６ z ＝０,令y ∴ １＋ ２＝m２ ＋２ ,１ ２＝m２ ＋２ ,∴(１－ ∴ ＝ ３, －４２ x －２２ y ＋２６ z ＝０, y ２ y y ２ yy ３２( m２ ＋１)． ２)＝(１＋ ２)－４ １ ２＝ m２ ２ n ． 分 ( ＋２) ∴ ＝(３３,３,７)􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３ 如图 延长QA交x轴于点S 若QRF A AO 平面ABC 取平面ABC的法向量 , , , ,２, ∵ １ ⊥ ,∴ 四点共圆 则 AFS AQR． 分 m 记平面ACD与平面ABC的夹 , ∠ ２ ＝∠ 􀆺􀆺􀆺 １１ ＝(０,０,１), １ y m n Q 角为α 则 α mn | 􀅰 | , cos ＝|cos‹ ,›|＝ m n ＝ | |􀅰|| ７ ７ ７９ A ２ ２ ２ ＝ ７９ , 2 1 (３３)＋(３)＋７ F O R F S x 平面ACD 与平面ABC 夹角的余弦值为   ∴ １ E B ７ ７９． 分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １５ ７９ P ．解 椭圆C的左 右焦点分别为F １８ :(１)∵ 、 １(－２, F 且过 AFS １ AQR １． ０),２(２,０), (２,３), ∵tan∠ ２ ＝m,∴tan∠ ＝m ２ ２ 又 AQR AQR ∵ (２－２)＋３＋ (２＋２)＋３＝４２, ∠ ＝∠１－∠２,∴tan∠ ＝tan(∠１－ k k ∴２ a ＝４２,∴ a ＝２２ ． ∴ b２ ＝ a２ － c２ ＝４, ∠２)＝ １ t ＋ a t n a ∠ n １ ∠ － １ t 􀅰 a t n a ∠ n ２ ∠２ ＝ １＋ k QA Q － A􀅰 k QB QB ． ( 此 x２ y２ 椭圆C的方程为 ． 分 步骤不推理不扣分 ∴ ＋ ＝１ 􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ ) ８ ４ y ２ y ２ 直线l方程为x １y 设Ax y １－m ２－m (２)① ＝ ＋２, (１,１), 由k k 得 AQR ２ QA ＝my ,QB ＝my tan∠ １＋２ ２＋２ Bx y ． (２,２) y y ４(１－ ２) ì ïx２ y２ ＝ æ ö , ïï ＋ ＝１, ( m２ ＋１) y １ y ２＋è ç ２ m －m ２ ø ÷ ( y １＋ y ２)＋４＋m ４ ２ 联立í８ ４ 消去x 得 y２ y ï , ９ ＋８ －１６＝０, y y î ïx ＝ １ ２ y ＋２, ∴ æ ４(１－ ö ２) ＝ m２ yy çm ２÷ y y ４ ( ＋１)１ ２＋è２ －mø(１＋ ２)＋４＋m２ y y ８yy １６． 分 ∴ １＋ ２＝－ ,１ ２＝－ 􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ ９ ９ m２ １ １ １６ ２ ＋２ m m２ S S BP AF y y m,∴m＝ ,∴２ ２ ＋２＝２＋ 由题得 １＋ ３ | |＋| ２| ２＋４＋ １ ８ m２ S S ＝ BF AF ＝ y y １６＋m２－８ ２＋ ３ | ２|＋| ２| １－ ２ 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ５ ７x x n n １ m２． 分 ∴cos １∈(０,１),cos n ∈(－１,０),≥２,∈ m２－ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １５ é x ù é x ù N∗ ê ê２cos １ ú ú ê ê２cos nú ú n n ,∴ë x û＝０,ë x û＝－１,≥２, 由点P在点E下方得 ２ m １ n －m＜－２,∴０＜ ＜１, N∗． ∈ 记f ( m )＝２ m ２ m２ ＋２＋ m２ －m １ ２－２,０＜ m ∴ i∑ n ＝ １ [ f ( x i)] ＝ １ －n , n ∈ N∗． æ è ç 或 i∑ n ＝ １ [ f ( x i)] ＜１, { n＝ ö ∴ f′ ( m )＝２ ２ m２ ＋２＋ ４ m m ２ ２ ＋２ m ＋m ２ ３ ＝ ０ １ , －n , n １, ≥２, 且n ∈ N∗ ø ÷÷ 􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ 分 ２ ＋２ 设 φx ＝x＋gx x φ′x ＝ ＋ æ ö ② ( ) ( ), ＞０, ( ) １ ．又fç１÷ f ＞０ è ø＜０,(１)＞０, １ － １ 恒成立 当x ２ x＋ x＋ ＞０ ,∴ ＞０ 存在直线l条数为 条． 分 ２ ４５ ２ ５ ∴ , １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７ 时 φx 单调递增． 分 é ù é ù ,( ) 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １１ １９ ．解 :(１) 当x ＝４ 时 ,ë ê ê２co ４ s４ û ú ú ＝ë ê êco ２ s４ û ú ú ＝－１, ∵ φ (４) ＝ ８, 由 ① 知x ２ t ＜４, x ２ t＋ １＞４, t ∈ N∗ , 分 且x φx ＝x ＋x 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２ １ ＞４,(１) １ ２ ＞８, 当x 时 é ê ê２cos５ ù ú ú ． 分 ∴ φ ( x ２ t＋ １)＞ φ (４) ＝ ８, φ ( x ２ t)＜ φ (４) ＝ ８, t ∈ ＝５ ,ë ５ û＝０􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ N∗． 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １２ 分 (２)① 由条件g ( x )＝ x ＋４５ ４ ＋ ０ x ＋５ 可知 , 当 当 当 n n＝ ＝ ２ １ t 时 ( t , ∈ [ x N １] ∗ ＝ ) ５ 时 ; , 由 φ ( x ) ＝x＋g ( x ) 得 x 时gx 连续且单调递减 分 ＞０ ,() 􀆺􀆺􀆺􀆺 ５ φ ( x n) ＝x n ＋g ( x n) ＝x n ＋x n＋ １, x x gx g ．g ∵ １＝５,∴ ２＝ (１)＝ (５)∵ (４)＝４, ∴ x １ ＋x ２ ＋x ３ ＋ 􀆺 ＋x n ＝ ( x １ ＋x ２) ＋ ( x ３ ＋ g g ．又g ． ． g ∴ (５)＜ (４)＝４ (５)＞３９,∴３９＜ (５) x ４) ＋ 􀆺 ＋ ( x ２ t－ １ ＋x ２ t) ＝φ ( x １) ＋φ ( x ３) ＋ 􀆺 即 ． x ． ＜４, ３９＜ ２＜４ ＋φ ( x ２ t－ １)＞８ t＝ ４ n , x gx ． x g ． gx ∵ ３＝ (２),３９＜ ２＜４,∴ (３９)＞ (２) x １ ＋x ２ ＋x ３ ＋ 􀆺 ＋x n ＝x １ ＋ ( x ２ ＋x ３) ＋ ( x ４ g ．又g g ． ． x ＞ (４) (４)＝４, (３９)＜４１,∴４＜ ３＜ ＋x ５) ＋ 􀆺 ＋ ( x ２ t－ ２ ＋x ２ t－ １) ＋x ２ t ＝x １ ＋φ ( x ２) ．． ４１ ＋φ ( x ４) ＋ 􀆺 ＋φ ( x ２ t－ ２) ＋x ２ t ＜５ ＋ ８( t－ １) ＋ x gx x ． g gx ∵ ４＝ (３),４＜ ３＜４１,∴ (４)＞ (３)＞ ４ ＝ ８ t＋ １ ＝ ４ n＋ １, g (４ ． １) ．又g (４)＝４, g (４ ． １)＞３ ． ９,∴３ ． ９＜ x ４ n x ＝n 分 ． ∴[ i] ４ ;􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １４ ＜４ i∑＝ １ 同理 可得 x ． 依此规律 归纳可得 同理 当n＝t＋ t N∗ 时 , ４＜ ５＜４１,∴ , , ２ １(∈ ) , x ２ t ∈(３ ． ９,４), x ２ t ＋１∈(４,４ ． １), t ∈ N∗． x １ ＋x ２ ＋x ３ ＋ 􀆺 ＋x n ＝ ( x １ ＋x ２) ＋ ( x ３ ＋x ４) 下面用数学归纳法证明此归纳结论 : ＋ 􀆺 ＋ ( x ２ t－ １ ＋x ２ t) ＋x ２ t＋ １ ＝φ ( x １) ＋φ ( x ３) ＋ 当t ＝１ 时 , x ２∈(３ ． ９,４), x ３∈(４,４ ． １) ． 􀆺 ＋φ ( x ２ t－ １) ＋x ２ t＋ １ ＞８ t＋ ４ ＝ ４ n , 假设当t ＝ k ( k ∈ N∗ ) 时 , x ２ k ∈(３ ． ９,４), x ２ k ＋１∈ x １ ＋x ２ ＋x ３ ＋ 􀆺 ＋x n ＝x １ ＋ ( x ２ ＋x ３) ＋ ( x ４ (４,４ ． １) ． ＋x ５) ＋ 􀆺 ＋ ( x ２ t－ ２ ＋x ２ t－ １) ＋ ( x ２ t ＋x ２ t＋ １) ＝ 则当t ＝ k ＋１ 时 , x ２(k ＋１)＝ x ２ k ＋２＝ x ２ k ＋１＋１＝ x １ ＋φ ( x ２) ＋φ ( x ４) ＋ 􀆺 ＋φ ( x ２ t)＜５ ＋ ８ t＝ g ( x ２ k ＋１)∈( g (４ ． １), g (４))⊂(３ ． ９,４) ． ４ n＋ １, x ２(k ＋１)＋１＝ x ２ k ＋３＝ g ( x ２ k ＋２)∈( g (４), g (３ ． ９)) n x ＝n． 分 ∴[ i] ４ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １６ ． ． i∑＝ ⊂(４,４１) １ n { n＝ 综上可知 , x ２ t ∈(３ ． ９,４), x ２ t ＋１∈(４,４ ． １), 对 ∀ t 综上所述 ,[ x i] ＝ ５, １, 􀆺 N∗ 成立．不用数学归纳法证明不扣分 i∑＝ １ ４ n , n ≥２, n ∈ N∗． ∈ ( ) 􀆺 分 分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ９ 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ６ ７多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学 逻辑 数学 直观 数学 数据 易 中 难 抽象 推理 建模 想象 运算 分析 选择题 集合的运算 １ ５ √ √ 选择题 复数的运算及模的性质 ２ ５ √ √ 选择题 基本不等式 对数运算 ３ ５ 、 √ √ 选择题 平面向量基本定理 ４ ５ √ √ √ 选择题 数列通项公式及最大项 ５ ５ √ √ √ 选择题 三角函数的图象与性质 ６ ５ √ √ √ √ 选择题 双曲线的定义及综合 ７ ５ √ √ √ √ 选择题 函数的零点 ８ ５ √ √ √ √ 选择题 统计基础 ９ ６ √ √ √ 选择题 函数的基本性质 １０ ６ √ √ √ 选择题 立体几何中的组合体问题 １１ ６ √ √ √ √ 填空题 二项式定理 １２ ５ √ √ 填空题 抛物线的定义及弦长 １３ ５ √ √ 填空题 直线与圆中的最值问题 １４ ５ √ √ √ √ 解答题 三角变换与解三角形 １５ １３ √ √ √ 解答题 二项分布与古典概型计算 １６ １５ √ √ √ √ 解答题 点线面位置关系与空间角 １７ １５ √ √ √ √ 解答题 椭圆综合 １８ １７ √ √ √ √ 解答题 导数与数列综合 １９ １７ √ √ √ 数学试题 参考答案 第 页 共 页 ７ ７