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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
U =1,2,3,4,5,A=1,3,B =1,2,4 ð B A=
1. 已知集合 ，则 U U （ ）
A. 1,3,5 B. 1,3 C. 1,2,4 D. 1,2,4,5
【答案】A
【解析】
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由ð B={3,5}，而A={1,3}，
U
所以ð
U
B
U
A={1,3,5}.
故选：A
2. “a2 =b2”是“a2 +b2 =2ab”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由a2 =b2，则a =±b，当a =-b¹0时a2 +b2 =2ab不成立，充分性不成立；
由a2 +b2 =2ab，则(a-b)2 =0，即a =b，显然a2 =b2成立，必要性成立；
所以a2 =b2是a2 +b2 =2ab的必要不充分条件.
故选：B
3. 若a =1.010.5,b=1.010.6,c =0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. c>a>b B. c>b>a
C. a>b>c D. b>a>c
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
第1页 | 共22页【详解】由y =1.01x在R上递增，则a=1.010.5 c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D
4. 函数 f x 的图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5 ex -e-x 5sinx
A. B.
x2 +2 x2 +1
5 ex +e-x 5cosx
C. D.
x2 +2 x2 +1
【答案】D
【解析】
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+¥)上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 f(-2)= f(2)<0，
5sin(-x) 5sinx
由 =- 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
(-x)2 +1 x2 +1
5(ex -e-x) 5(ex +e-x)
当x>0时 >0、 >0，即A、C中(0,+¥)上函数值为正，排除；
x2 +2 x2 +2
故选：D
5. 已知函数 f x 的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则 f x 的解析式可能为（ ）
æp ö æp ö
A. sin ç x ÷ B. cos ç x ÷
è 2 ø è 2 ø
第2页 | 共22页æp ö æp ö
C. sin ç x ÷ D. cos ç x ÷
è 4 ø è 4 ø
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
2p 2p
T = =4 T = =4
A选项中 p ，B选项中 p ，
2 2
2p 2p
T = =8 T = =8
C选项中 p ，D选项中 p ，
4 4
排除选项CD，
æp ö
对于A选项，当x=2时，函数值sin ç ´2 ÷ =0，故 2,0 是函数的一个对称中心，排除选项A，
è2 ø
æp ö
对于B选项，当x=2时，函数值cos
ç
´2
÷
=-1，故x=2是函数的一条对称轴，
è2 ø
故选：B.
6. 已知 a 为等比数列，S 为数列 a 的前n项和，a =2S +2，则a 的值为（ ）
n n n n+1 n 4
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
【答案】C
【解析】
【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公
比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得a 的值.
4
【详解】由题意可得：当n=1时，a =2a +2，即aq =2a +2， ①
2 1 1 1
当n=2时，a =2a +a +2，即aq2 =2a +aq+2， ②
3 1 2 1 1 1
联立①②可得a =2,q =3，则a =aq3 =54.
1 4 1
故选：C.
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r =0.8245，下列说法正确的是（ ）
第3页 | 共22页A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D
选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于r =0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据
的相关系数不一定是0.8245，D选项错误
故选：C
1 2
8. 在三棱锥P-ABC 中，线段PC上的点M 满足PM = PC ，线段PB上的点N 满足PN = PB，则
3 3
三棱锥P-AMN 和三棱锥P-ABC 的体积之比为（ ）
1 2 1 4
A. B. C. D.
9 9 3 9
【答案】B
【解析】
【分析】分别过M,C 作MM¢ ^ PA,CC¢ ^ PA,垂足分别为M¢,C¢.过B作BB¢ ^平面PAC ，垂足为B¢，
连接PB¢,过N 作NN¢ ^ PB¢,垂足为N¢.先证NN¢^平面PAC ，则可得到BB¢//NN¢，再证MM¢//CC¢.
MM¢ 1 NN' 2 V V
由三角形相似得到 = ， = ，再由 P-AMN = N-PAM 即可求出体积比.
CC¢ 3 BB' 3 V V
P-ABC B-PAC
第4页 | 共22页【详解】如图，分别过M,C 作MM¢ ^ PA,CC¢ ^ PA,垂足分别为M¢,C¢.过B作BB¢ ^平面PAC ，垂足
为B¢，连接PB¢,过N 作NN¢ ^ PB¢,垂足为N¢.
因为BB¢ ^平面PAC ，BB¢Ì平面PBB¢，所以平面PBB¢ ^平面PAC .
又因为平面 PBB¢ 平面 PAC = PB¢， NN¢ ^ PB¢， NN¢ Ì平面 PBB¢，所以 NN¢^平面 PAC ，且
I
BB¢//NN¢.
PM MM¢ 1
在△PCC¢中，因为MM¢ ^ PA,CC¢ ^ PA，所以MM¢//CC¢，所以 = = ，
PC CC¢ 3
PN NN¢ 2
在△PBB¢中，因为BB¢//NN¢，所以 = = ，
PB BB¢ 3
1 S ×NN¢ 1 × æ ç 1 PA×MM¢ ö ÷ ×NN¢
V V 3 VPAM 3 è2 ø 2
所以 P-AMN = N-PAM = = =
V V 1 1 æ1 ö 9 .
P-ABC B-PAC S ×BB¢ × ç PA×CC¢ ÷ ×BB¢
3 VPAC 3 è2 ø
故选：B
x2 y2
9. 双曲线 - (a >0,b>0)的左、右焦点分别为F、F ．过F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为
a2 b2 1 2 2
2
P．已知PF =2，直线PF 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
2 1
4
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 2 2 4
【答案】D
【解析】
第5页 | 共22页b b
【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设ÐPOF =q，由tanq= = 得到 OP =a，
2 OP a
a 2
OF =c.再由三角形的面积公式得到y ，从而得到x ，则可得到 = ，解出a，代入双曲线的
2 P P a2 +2 4
方程即可得到答案.
【详解】如图，
b
因为F c,0 ，不妨设渐近线方程为y = x，即bx-ay=0，
2 a
bc bc
所以 PF = = =b，
2 a2 +b2 c
所以b=2.
PF b b
设ÐPOF =q,则tanq= 2 = = ，所以 OP =a，所以 OF =c.
2 OP OP a 2
ab
1 1 ab a2
因为 ab= c×y ,所以y = ，所以 y c b，所以x = ，
2 2 P P c tanq= P = = P c
x x a
P P
æa2 abö
所以Pç , ÷，
è c c ø
因为F -c,0，
1
ab
c ab 2a a 2
所以k = = = = = ，
PF 1 a2 a2 +c2 a2 +a2 +4 a2 +2 4
+c
c
所以 2 a2 +2 =4a，解得a = 2，
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1
2 4
故选：D
第6页 | 共22页二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分．试题中包含两个空的，答对 1个的给
3分，全部答对的给 5分．
5+14i
10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________．
2+3i
【答案】4+i##i+4
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i，然后计算其运算结果即可.
5+14i 5+14i2-3i 52+13i
【详解】由题意可得 = = =4+i.
2+3i 2+3i2-3i 13
故答案为：4+i.
6
æ 1ö
11. 在 ç 2x3- ÷ 的展开式中，x2项的系数为_________．
è xø
【答案】60
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式T =-1k ´26-k ´Ck ´x18-4k，令18-4k =2确定k
k+1 6
的值，然后计算x2项的系数即可.
k
【详解】展开式的通项公式T =Ck 2x36-k æ - 1ö =-1k ´26-k ´Ck ´x18-4k，
ç ÷
k+1 6 è xø 6
令18-4k =2可得，k =4，
则x2项的系数为-14 ´26-4´C4 =4´15=60.
6
故答案为：60.
12. 过原点的一条直线与圆C:(x+2)2 + y2 =3相切，交曲线 y2 =2px(p>0)于点P，若 OP =8，则 p
的值为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据圆x+22 + y2 =3和曲线 y2 =2px关于x轴对称，不妨设切线方程为 y =kx，k >0，即
可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆x+22 + y2 =3和曲线y2 =2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y =kx，k >0，
第7页 | 共22页ì 2p
x=
2k ìïy = 3x ìx=0 ï ï 3
所以 = 3，解得：k = 3，由í 解得：í 或í ，
1+k2 ïîy2 =2px îy =0
ï
2 3p
y =
ïî 3
æ2pö 2 æ2 3pö 2 4p
所以 OP = ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = =8，解得： p=6．
è 3 ø è 3 ø 3
当k =- 3时，同理可得．
故答案为：6．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比
例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将
三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
3
【答案】 ①. 0.05 ②. ##0.6
5
【解析】
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，
所以甲盒中黑球个数为40%´5n=2n，白球个数为3n；
甲盒中黑球个数为25%´4n=n，白球个数为3n；
甲盒中黑球个数为50%´6n=3n，白球个数为3n；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，
PA=0.4´0.25´0.5=0.05；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，
黑球总共有2n+n+3n=6n个，白球共有9n个，
9n 3
所以，PB= = ．
15n 5
3
故答案为：0.05； ．
5
14. 在
V
ABC中，ÐA=60o，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设 u A u B ur =a r , u A u C ur =b r ，
则 u A u E ur 可用a r ,b r 表示为_________；若 u B u F ur = 1u B u C ur ，则 u A u E ur × u A u F ur 的最大值为_________．
3
1 r 1r 13
【答案】 ①. a+ b ②.
4 2 24
第8页 | 共22页【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a r ,b r 表示出 u A u F ur ，结合上一
空答案，于是 u A u E ur × u A u F ur 可由a r ,b r 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
uuur uuur uuur
uuur uuur r
ì ïAE+ED= AD
【详解】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC =0，可得í
uuur uuur uuur
，
ïîAE+EC = AC
uuur uuur uuur
两式相加，可得到2AE = AD+ AC，
uuur 1 r r uuur 1 r 1r
即2AE = a+b，则AE = a+ b；
2 4 2
uuur uuur uuur
uuur 1uuur uuur uuur r ì ïAF +FC = AC
空2：因为BF = BC，则2FB+FC =0，可得í
uuur uuur uuur
，
3 ïîAF +FB= AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得到AF +FC+2 AF +FB = AC+2AB，
uuur r r uuur 2r 1r
即3AF =2a+b，即AF = a+ b.
3 3
uuur uuur æ1 r 1rö æ2r 1rö 1 r2 r r r2
于是AE×AF = ç a+ b ÷ × ç a+ b ÷ = 2a +5a×b+2b .
è4 2 ø è3 3 ø 12
记AB= x,AC = y，
则 u A u E ur × u A u F ur = 1 2a r2 +5a r ×b r +2b r2 = 1 2x2 +5xycos60o +2y2 = 1 æ ç 2x2 + 5xy +2y2 ö ÷，
12 12 12è 2 ø
在 ABC中，根据余弦定理：BC2 = x2 + y2 -2xycos60o = x2 + y2 -xy =1，
V
uuur uuur 1 æ 5xy ö 1 æ9xy ö
于是AE×AF = ç 2xy+ +2 ÷ = ç +2 ÷，
12è 2 ø 12è 2 ø
由x2 + y2 -xy =1和基本不等式，x2 + y2 -xy =1³2xy-xy = xy，
故xy £1，当且仅当x= y =1取得等号，
13
uuur uuur
则x= y =1时，AE×AF有最大值 .
24
1 r 1r 13
故答案为： a+ b； .
4 2 24
第9页 | 共22页15. 若函数 f x=ax2 -2x- x2 -ax+1有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________．
【答案】
-¥,0È0,1È1,+¥
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．
【详解】（1）当x2 -ax+1³0时， f x=0Û a-1x2 +a-2x-1=0，
即é
ë
a-1x-1ù
û
x+1=0，
若a =1时，x=-1，此时x2 -ax+1³0成立；
1
若a ¹1时，x= 或x=-1，
a-1
若方程有一根为x=-1，则1+a+1³0，即a³-2且a ¹1；
1 æ 1 ö 2 1
若方程有一根为x= ，则 -a´ +1³0，解得：a£2且a ¹1；
ç ÷
a-1 èa-1ø a-1
1
若x= =-1时，a=0，此时1+a+1³0成立．
a-1
（2）当x2 -ax+1<0时， f x=0Û a+1x2 -a+2x+1=0，
即é
ë
a+1x-1ù
û
x-1=0，
若a=-1时，x=1，显然x2 -ax+1<0不成立；
1
若a¹-1时，x=1或x= ，
a+1
若方程有一根为x=1，则1-a+1<0，即a>2；
1 æ 1 ö 2 1
若方程有一根为x= ，则 -a´ +1<0，解得：a<-2；
ç ÷
a+1 èa+1ø a+1
1
若x= =1时，a=0，显然x2 -ax+1<0不成立；
a+1
综上，
1 1
当a<-2时，零点为 ， ；
a+1 a-1
第10页 | 共22页1
当-2£a<0时，零点为 ，-1；
a-1
当a=0时，只有一个零点-1；
1
当02时，零点为1,-1．
所以，当函数有两个零点时，a¹0且a ¹1．
故答案为：
-¥,0È0,1È1,+¥
．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
三、解答题：本大题共 5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在
V
ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a = 39,b=2,ÐA=120o．
（1）求sinB的值；
（2）求c的值；
（3）求sinB-C
．
13
【答案】（1）
13
（2）5
7 3
（3）-
26
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cosB,cosC，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问1详解】
a b 39 2 13
由正弦定理可得， = ，即 = ，解得：sinB= ；
sinA sinB sin120o sinB 13
【小问2详解】
第11页 | 共22页æ 1ö
由余弦定理可得，a2 =b2 +c2 -2bcsin A，即39=4+c2 -2´2´c´ ç - ÷，
è 2ø
解得：c=5或c =-7（舍去）．
【小问3详解】
a c 39 5 5 13
由正弦定理可得， = ，即 = ，解得：sinC = ，而A=120o，
sinA sinC sin120o sinC 26
25 3 39 1 2 39
所以B,C 都为锐角，因此cosC = 1- = ，cosB= 1- = ，
52 26 13 13
13 3 39 2 39 5 13 7 3
故sinB-C=sinBcosC-cosBsinC = ´ - ´ =- ．
13 26 13 26 26
17. 三棱台ABC- ABC 中，若AA^面ABC,AB ^ AC,AB = AC = AA =2,AC =1，M,N 分别是
1 1 1 1 1 1 1
BC,BA中点.
（1）求证：AN //平面C MA；
1 1
（2）求平面C MA与平面ACC A 所成夹角的余弦值；
1 1 1
（3）求点C到平面C MA的距离．
1
【答案】（1）证明见解析
2
（2）
3
4
（3）
3
【解析】
第12页 | 共22页【分析】（1）先证明四边形MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
1 1
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问1详解】
AC
连接MN,C A.由M,N 分别是BC,BA的中点，根据中位线性质，MN //AC，且MN = =1，
1 2
由棱台性质，AC //AC，于是MN //AC ，由MN = AC =1可知，四边形MNAC 是平行四边形，
1 1 1 1 1 1 1 1
则AN //MC ，
1 1
又AN Ë平面C MA，MC Ì平面C MA，于是AN //平面C MA.
1 1 1 1 1 1
【小问2详解】
过M 作ME ^ AC，垂足为E，过E作EF ^ AC ，垂足为F ,连接MF,C E.
1 1
由MEÌ面ABC，AA^面ABC，故AA ^ME，又ME ^ AC，AC∩AA = A，AC,AA Ì平面
1 1 1 1
ACC A ，则ME ^平面ACC A .
1 1 1 1
由AC Ì平面ACC A ，故ME ^ AC ，又EF ^ AC ，MEÇEF = E，ME,EF Ì平面MEF ，于是
1 1 1 1 1
AC ^平面MEF ，
1
由MF Ì平面MEF ，故AC ^MF .于是平面C MA与平面ACC A 所成角即ÐMFE.
1 1 1 1
AB 1 2 2
又ME = =1，cosÐCAC = ，则sinÐCAC = ，故EF =1´sinÐCAC = ，在
1 1 1
2 5 5 5
4 3
Rt
V
MEF中，ÐMEF =90o，则MF = 1+ = ，
5 5
第13页 | 共22页EF 2
于是cosÐMFE = =
MF 3
【小问3详解】
[方法一：几何法]
过C 作C P^ AC ，垂足为P，作CQ^ AM ，垂足为Q，连接PQ,PM ，过P作PR^CQ，垂足为
1 1 1 1
R.
由题干数据可得，C A=CC = 5，C M = C P2 +PM2 = 5，根据勾股定理，
1 1 1 1
2
æ 2 ö 3 2
CQ= 5-ç ÷ = ，
1 ç 2 ÷ 2
è ø
由C 1 P^平面AMC，AM Ì平面AMC，则C 1 P^ AM ，又C 1 Q^ AM ，C 1 Q I C 1 P=C 1 ，
第14页 | 共22页CQ,C PÌ平面C PQ，于是AM ^平面C PQ.
1 1 1 1
又PRÌ平面C 1 PQ，则PR^ AM ，又PR^C 1 Q，C 1 Q I AM =Q，C 1 Q,AM Ì平面C 1 MA，故
PR^平面C MA.
1
2
2×
PC ×PQ 2
2
在Rt V C 1 PQ中，PR= Q 1 C = 3 2 = 3 ，
1
2
又CA=2PA，故点C到平面C MA的距离是P到平面C MA的距离的两倍，
1 1
4
即点C到平面C MA的距离是 .
1 3
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点C到平面C MA的距离为h.
1
1 1 1 2 2
V = ´C P´S = ´2´ ´ 2 = ，
C 1 -AMC 3 1 VAMC 3 2 3
1 1 1 3 2 h
V = ´h´S = ´h´ ´ 2´ = .
C-C 1 MA 3 VAMC 1 3 2 2 2
h 2 4
由V =V Û = ，即h= .
C 1 -AMC C-C 1 MA 2 3 3
第15页 | 共22页x2 y2
18. 设椭圆 + =1(a >b>0)的左右顶点分别为A,A ，右焦点为F ，已知 AF =3, A F =1．
a2 b2 1 2 1 2
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A P交y轴于点Q，若三角形APQ的面积是三角
2 1
形A FP面积的二倍，求直线A P的方程．
2 2
x2 y2 1
【答案】（1）椭圆的方程为 + =1，离心率为e= .
4 3 2
6
（2）y =± x-2.
2
【解析】
ìa+c=3
【分析】（1）由í 解得a=2,c=1，从而求出b= 3，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率
îa-c=1
公式即求离心率.
（2）先设直线A P的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得x ×x ，从而得到P点和Q点
2 A 2 P
坐标.由S =S +S =2S +S 得2 y =3 y ，即可得到关于k的方程，解出k，代
VA 2 QA 1 VA 1 PQ VA 1 A 2 P VA 2 PF VA 1 A 2 P Q P
入直线A P的方程即可得到答案.
2
【小问1详解】
如图，
ìa+c=3
由题意得í ，解得a=2,c=1，所以b= 22 -12 = 3，
îa-c=1
x2 y2 c 1
所以椭圆的方程为 + =1，离心率为e= = .
4 3 a 2
第16页 | 共22页【小问2详解】
x2 y2
由题意得，直线A P斜率存在，由椭圆的方程为 + =1可得A 2,0 ，
2 2
4 3
设直线A P的方程为y =kx-2 ，
2
ìx2 y2
ï + =1
联立方程组í 4 3 ，消去y整理得： 3+4k2 x2 -16k2x+16k2 -12=0，
ïy =kx-2
î
16k2 -12 8k2 -6
由韦达定理得x ×x = ，所以x = ，
A 2 P 3+4k2 P 3+4k2
æ8k2 -6 -12k ö
所以P ç ,- ÷，Q0,-2k .
è3+4k2 3+4k2
ø
1 1 1
所以S = ´4´ y ,S = ´1´ y ,S = ´4´ y ，
VA 2 QA 1 2 Q VA 2 PF 2 P VA 1 A 2 P 2 P
所以S =S +S =2S +S ，
VA
2
QA
1
VA
1
PQ VA
1
A
2
P VA
2
PF VA
1
A
2
P
12k
所以2 y =3 y ，即2 -2k =3 - ，
Q P 3+4k2
6 6
解得k =± ，所以直线A P的方程为y =± x-2.
2
2 2
19. 已知 a 是等差数列，a +a =16,a -a =4．
n 2 5 5 3
2n-1
（1）求 a 的通项公式和 å a ．
n i
i=2n-1
（2）已知 b 为等比数列，对于任意kÎN*，若2k-1 £n£2k -1，则b 2和q<2两种情况即可确定数列的公比，进而可得
n
数列的通项公式，最后由等比数列前n项和公式即可计算其前n项和.
【小问1详解】
ìa +a =2a +5d =6 ìa =3
2 5 1 1
由题意可得í ，解得í ，
î
a -a =2d =4 îd =2
5 3
则数列 a 的通项公式为a =a +n-1d =2n+1，
n n 1
注意到a =2´2n-1+1=2n +1，从a 到a 共有2n -1-2n-1+1=2n-1项，
2n-1 2n-1 2n-1
2n-1 2n-1 2n-1-1
故 å a = 2n-1´ 2n +1 + ´2 = 22n-1+2n-1+22n-2 -2n-1 =3´22n-1.
i 2
i=2n-1
【小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当2k-1 £n£2k -1时，b 2，则b =bqn-1>b ´2n-1>2n-1 ，
n 1 1
注意到2n-1- 2n -1 =1-2n-1，则2n-1- 2n -1 >0不恒成立，即2n-1 >2n -1不恒成立，
第18页 | 共22页此时无法保证2n-10时，证明： f x>1；
5 æ 1ö
（3）证明： 0时lnx+1> ，构造g(x)=lnx+1- ，利用导数研究单调性，即可证结
x+2 x+2
论；
æ 1ö
（3）构造h(n)=lnn!-
ç
n+
÷
lnn+n，nÎN*，作差法研究函数单调性可得h(n)£h(1)=1，再构
è 2ø
(x+5)(x-1) (x+5)(x-1)
造j(x)=lnx- 且 x>0，应用导数研究其单调性得到 lnx£ 恒成立，对
4x+2 4x+2
3 1 1
h(n)-h(n+1)作放缩处理，结合累加得到h(1)-h(n)< ln2-1+ < ，即可证结论.
2 12 6
【小问1详解】
第19页 | 共22页ln(x+1) ln(x+1) 1 1 ln(x+1)
f(x)= + ，则 f¢(x)= + - ，
x 2 x(x+1) 2(x+1) x2
1 ln3 1 ln3
所以 f¢(2)= - ，故x=2处的切线斜率为 - ；
3 4 3 4
【小问2详解】
æ1 1ö 2x
要证x>0时 f x= ç + ÷ lnx+1>1，即证lnx+1> ，
è x 2ø x+2
2x 1 4 x2
令g(x)=lnx+1- 且x>0，则g¢(x)= - = >0，
x+2 x+1 (x+2)2 (x+1)(x+2)2
2x
所以g(x)在(0,+¥)上递增，则g(x)> g(0)=0，即lnx+1> .
x+2
所以x>0时 f x>1.
【小问3详解】
æ 1ö
设h(n)=lnn!-
ç
n+
÷
lnn+n，nÎN*，
è 2ø
1 1 1 1
则h(n+1)-h(n)=1+(n+ )lnn-(n+ )lnn+1=1-(n+ )ln(1+ )，
2 2 2 n
1 1 1 1
由（2）知：x= Î(0,1]，则 f( )=(n+ )ln(1+ )>1，
n n 2 n
所以h(n+1)-h(n)<0，故h(n)在nÎN*上递减，故h(n)£h(1)=1；
1 5
下证ln(n!)-(n+ )ln(n)+n> ，
2 6
(x+5)(x-1) (x-1)2(1-x)
令j(x)=lnx- 且x>0，则j¢(x)= ，
4x+2 x(2x+1)2
当0< x<1时j¢(x)>0，j(x)递增，当x>1时j¢(x)<0，j(x)递减，
(x+5)(x-1)
所以j(x)£j(1)=0，故在xÎ0,+¥ 上lnx£ 恒成立，
4x+2
1 1
(6+ )( )
1 1 1 n n 1 1 1 1
则h(n)-h(n+1)=(n+ )ln(1+ )-1£(n+ )× -1= < ( - )，
2 n 2 2 4n(3n+2) 12 n-1 n
2(3+ )
n
1 1 1 1 1 1 1 1
所以h(2)-h(3)< (1- )，h(3)-h(4)< ( - )，…，h(n-1)-h(n)< ( - )，
12 2 12 2 3 12 n-1 n
1 1 3 1 1 3
累加得：h(2)-h(n)< (1- )，而h(2)=2- ln2，则-h(n)< (1- )-2+ ln2，
12 n 2 12 n 2
3 1 1 3 1 1 5
所以h(1)-h(n)< ln2-1+ (1- )< ln2-1+ < ，故h(n)> ；
2 12 n 2 12 6 6
第20页 | 共22页5 5 æ 1ö
综上， 0，导数研究其函数符号得lnx£ 恒成立，结合放
4x+2 4x+2
3 1 1
缩、累加得到h(1)-h(n)< ln2-1+ (1- )为关键.
2 12 n
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