2023年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2023·高考数学真题

2023 年全国新高考Ⅱ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 13i3i 1. 在复平面内， 对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为 13i3i=38i3i2 =68i， 则所求复数对应的点为 6,8 ，位于第一象限. 故选：A. 2. 设集合A=0,a ，B=1,a2,2a2 ，若AÍB，则a =（ ）． 2 A. 2 B. 1 C. D. 1 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分a2=0和2a2=0两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为AÍB，则有： 若a2=0，解得a=2，此时A=0,2 ，B=1,0,2 ，不符合题意； 若2a2=0，解得a =1，此时A=0,1 ，B=1,1,0 ，符合题意； 综上所述：a =1. 故选：B. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共 有（ ）． A. C45 ×C15 种 B. C20 ×C40 种 400 200 400 200 C. C30 ×C30 种 D. C40 ×C20 种 400 200 400 200 【答案】D 第1页 | 共23页【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 400 200 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60´ =40人，高中部共抽取60´ =20， 600 600 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C40 ×C20 种. 400 200 故选：D. 2x1 4. 若 f x=xaln 为偶函数，则a =（ ）． 2x1 1 A. 1 B. 0 C. D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可. 1 【详解】因为 f(x) 为偶函数，则 f(1)= f(1)，\(1a)ln =(1a)ln3，解得a=0， 3 2x1 1 1 当a=0时， f x= xln ， 2x12x1>0，解得x> 或x< ， 2x1 2 2 ì 1 1ü 则其定义域为íx x 或x< ý，关于原点对称. î 2 2þ 2x1 2x1 æ2x1ö 1 2x1 f x=xln =xln =xln ç ÷ = xln = f x， 2x1 2x1 è2x1ø 2x1 故此时 f x 为偶函数. 故选：B. x2 5. 已知椭圆C:  y2 =1的左、右焦点分别为F ，F ，直线y = xm与C交于A，B两点，若 1 2 3 △FAB 面积是△F AB 面积的2倍，则m=（ ）． 1 2 2 2 2 2 A. B. C.  D.  3 3 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用D>0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方 程，解出即可. 第2页 | 共23页ìy = xm ï 【详解】将直线y = xm与椭圆联立íx2 ，消去y可得4x2 6mx3m2 3=0，  y2 =1 ï î 3 因为直线与椭圆相交于A,B点，则D=36m2 4´4  3m2 3  >0，解得20，所以xex ³ ， x a 设gx= xex,xÎ1,2 ，所以g¢x=x1ex >0，所以gx 在 1,2 上单调递增， 1 1 gx> g1=e，故e³ ，即a³ =e1，即a的最小值为e1． a e 故选：C． 1 5 a 7. 已知a为锐角，cosa= ，则sin =（ ）． 4 2 第3页 | 共23页3 5 1 5 3 5 1 5 A. B. C. D. 8 8 4 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． a 1 5 【详解】因为cosa=12sin2 = ，而a为锐角， 2 4  2 a 51 解得：sin = 3 5 51． = = 2 8 16 4 故选：D． 8. 记S 为等比数列 a  的前n项和，若S =5，S =21S ，则S =（ ）． n n 4 6 2 8 A. 120 B. 85 C. 85 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据S ,S 的关系即可解出； 4 8 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列 a  的公比为 q ，首项为a ， n 1 若q =1，则S =6a =3´2a =3S ，与题意不符，所以q ¹1； 6 1 1 2 a  1q4 a  1q6 a  1q2 由S =5，S =21S 可得， 1 =5， 1 =21´ 1 ①， 4 6 2 1q 1q 1q 由①可得，1q2 q4 =21，解得：q2 =4， a  1q8 a  1q4 所以S = 1 = 1 ´  1q4 =5´116=85． 8 1q 1q 故选：C． 方法二：设等比数列 a  的公比为 q ， n 因为S =5，S =21S ，所以q¹1，否则S =0， 4 6 2 4 从而，S ,S S ,S S ,S S 成等比数列， 2 4 2 6 4 8 6 第4页 | 共23页5 所以有，5S 2 =S 21S 5，解得：S =1或S = ， 2 2 2 2 2 4 当S =1时，S ,S S ,S S ,S S ，即为1,4,16,S 21， 2 2 4 2 6 4 8 6 8 易知，S 21=64，即S =85； 8 8 5 当S = 时，S =a a a a =a a  1q2 =  1q2 S >0， 2 4 4 1 2 3 4 1 2 2 与S =5矛盾，舍去． 4 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握S ,S 的关 4 8 系，从而减少相关量的求解，简化运算． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，ÐAPB=120°，PA=2，点C在底面圆周 上，且二面角PACO为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为π B. 该圆锥的侧面积为4 3π C. AC =2 2 D. △PAC的面积为 3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，ÐAPB=120°，PA=2，所以OP=1,OA=OB= 3， 1  2 A选项，圆锥的体积为 ´π´ 3 ´1=π，A选项正确； 3 B选项，圆锥的侧面积为π´ 3´2=2 3π，B选项错误； C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD， 则AC ^OD,AC ^ PD，所以ÐPDO是二面角PACO的平面角， 则ÐPDO =45°，所以OP=OD=1， 故AD=CD= 31= 2，则AC =2 2，C选项正确； 1 D选项，PD= 12 12 = 2，所以S = ´2 2´ 2 =2，D选项错误. VPAC 2 故选：AC. 第5页 | 共23页10. 设O为坐标原点，直线y = 3x1过抛物线C: y2 =2pxp>0 的焦点，且与C交于M，N两 点，l为C的准线，则（ ）． 8 A. p =2 B. MN = 3 C. 以MN为直径的圆与l相切 D. OMN 为等腰三角形 V 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得 p，根据弦长公式求得 MN ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答 案. 【详解】A选项：直线y = 3x1过点 1,0 ，所以抛物线C: y2 =2pxp>0 的焦点F1,0 ， p 所以 =1, p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2 =4x. 2 B选项：设M x ,y ,Nx ,y  ， 1 1 2 2 ìïy = 3x1 由í 消去y并化简得3x2 10x3=x33x1=0， ïîy2 =4x 1 1 16 解得x =3,x = ，所以 MN = x x  p=3 2= ，B选项错误. 1 2 3 1 2 3 3 C选项：设MN 的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d ,d ,d， 1 2 1 1 1 因为d = d d =  MF  NF  = MN ， 2 1 2 2 2 即A到直线l的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l相切，C选项正确. D选项：直线y = 3x1，即 3x y 3=0， 3 O到直线 3x y 3=0的距离为d = ， 2 第6页 | 共23页1 16 3 4 3 所以三角形OMN的面积为 ´ ´ = ， 2 3 2 3 æ1 ö 2 3 由上述分析可知y = 331=2 3,y = 3 1 = ， ç ÷ 1 2 è3 ø 3  2 æ1ö 2 æ2 3ö 2 13 所以 OM = 32  2 3 = 21, ON = ç ÷ ç ç ÷ ÷ = ， è3ø è 3 ø 3 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. b c 11. 若函数 f x=alnx  a ¹0既有极大值也有极小值，则（ ）． x x2 A. bc>0 B. ab>0 C. b2 8ac>0 D. ac<0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数 f(x)的导数 f¢(x)，由已知可得 f¢(x)在(0,¥)上有两个变号零点，转化为一元二次方 程有两个不等的正根判断作答. b c a b 2c ax2 bx2c 【详解】函数 f(x)=alnx  的定义域为(0,¥)，求导得 f¢(x)=   = ， x x2 x x2 x3 x3 因为函数 f(x)既有极大值也有极小值，则函数 f¢(x)在(0,¥)上有两个变号零点，而a¹0， 因此方程ax2 bx2c=0有两个不等的正根x,x ， 1 2 第7页 | 共23页ì ïΔ=b2 8ac>0 ï ï b 于是íx x = >0 ，即有b2 8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD 1 2 a ï ï 2c x x = >0 ï î 1 2 a 正确. 故选：BCD 12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为a(00，即P> P¢，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和， 相互独立事件的积是解题的关键. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知向量a r ，b r 满足 a r b r = 3， a r b r = 2a r b r ，则 b r =______． 【答案】 3 【解析】 r r r 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c=ab ，结合数量积的运算 律运算求解. 【详解】法一：因为 a r b r = 2a r b r ，即  a r b r2 =  2a r b r2 ， r r r r r r r r 则a 2 2a×bb 2 =4a 2 4a×bb 2，整理得a r2 2a r ×b r =0， 又因为 a r b r = 3，即  a r b r2 =3， r r r r r r 则a 2 2a×bb 2 =b 2 =3，所以 b = 3. r r r r r r r r r r r r 法二：设c=ab ，则 c = 3,ab=c2b,2ab=2cb， r r r r  2  2 r r r r r r r r 由题意可得： c2b = 2cb ，则c 2 4c×b4b 2 =4c 2 4c×bb 2， r r r r 整理得：c 2 =b 2，即 b = c = 3. 故答案为： 3. 14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥， 所得棱台的体积为______． 【答案】28 【解析】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体 第9页 | 共23页的体积公式直接运算求解. 2 1 【详解】方法一：由于 = ，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6， 4 2 1 所以正四棱锥的体积为 ´4´4´6=32， 3 1 截去的正四棱锥的体积为 ´2´2´3=4， 3 所以棱台的体积为324=28. 1   方法二：棱台的体积为 ´3´ 164 16´4 =28. 3 故答案为：28. 8 15. 已知直线l:xmy1=0与 C:x12  y2 =4交于A，B两点，写出满足“ ABC面积为 ”的m  V 5 的一个值______． 1 1 【答案】2（2,2, , 中任意一个皆可以） 2 2 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 AB ，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得 AB =2 4d2 ， 1 8 4 5 2 5 所以S = ´d´2 4d2 = ，解得：d = 或d = ， △ABC 2 5 5 5 11 2 2 4 5 2 2 5 1 由d = = ，所以 = 或 = ，解得：m=±2或m=± ． 1m2 1m2 1m2 5 1m2 5 2 1 1 故答案为：2（2,2, , 中任意一个皆可以）． 2 2 第10页 | 共23页1 16. 已知函数 f x=sinwxj ，如图A，B是直线y = 与曲线y = f x 的两个交点，若 2 π AB = ，则 f π=______． 6 3 【答案】 2 【解析】 æ 1ö æ 1ö π 1 2π 【分析】设 A ç x , ÷ ,B ç x , ÷，依题可得，x x = ，结合sinx= 的解可得，wx x = ， è 1 2ø è 2 2ø 2 1 6 2 2 1 3 æ2 ö æ 2 ö 从而得到w的值，再根据 f ç π ÷ =0以及 f 0<0，即可得 f(x)=sin ç 4x π ÷，进而求得 f π ． è3 ø è 3 ø æ 1ö æ 1ö π π 【详解】设A ç x , ÷ ,B ç x , ÷，由 AB = 可得x x = ， è 1 2ø è 2 2ø 6 2 1 6 1 π 5π 由sinx= 可知，x= 2kπ或x= 2kπ，kÎZ，由图可知， 2 6 6 5 π 2π 2π wx jwx j= π = ，即wx x = ，\w=4． 2 1 6 6 3 2 1 3 æ2 ö æ8π ö 8π 8 因为 f ç π ÷ =sin ç j ÷ =0，所以 j=kπ，即j= πkπ，kÎZ． è3 ø è 3 ø 3 3 æ 8 ö æ 2 ö 所以 f(x)=sin ç 4x πkπ ÷ =sin ç 4x πkπ ÷， è 3 ø è 3 ø æ 2 ö æ 2 ö 所以 f x=sin ç 4x π ÷或 f x=sin ç 4x π ÷， è 3 ø è 3 ø æ 2 ö æ 2 ö 3 又因为 f 0<0，所以 f(x)=sin ç 4x π ÷，\ f π=sin ç 4π π ÷ = ． è 3 ø è 3 ø 2 3 故答案为： ． 2 【点睛】本题主要考查根据图象求出w以及函数 f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性 质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 第11页 | 共23页四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 记 V ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 V ABC的面积为 3，D为BC中点，且 AD=1． π （1）若ÐADC = ，求tanB； 3 （2）若b2 c2 =8，求b,c． 3 【答案】（1） ； 5 （2）b=c=2. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公 式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出ÐADC 即可求解作答；方法2，利用向量 运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出ÐADC 即可求解作答. 【小问1详解】 π 方法1：在 ABC中，因为D为BC中点，ÐADC = ，AD=1， V 3 1 1 1 3 3 1 3 则S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a = S = ，解得a = 4， VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2 2π 在△ABD中，ÐADB = ，由余弦定理得c2 = BD2  AD2 2BD×ADcosÐADB， 3 1 741 5 7 即c2 =412´2´1´( )=7，解得c= 7，则cosB= = ， 2 2 7´2 14 5 7 21 sinB= 1cos2 B = 1( )2 = ， 14 14 sinB 3 所以tanB= = . cosB 5 π 方法2：在 ABC中，因为D为BC中点，ÐADC = ，AD=1， V 3 第12页 | 共23页1 1 1 3 3 1 3 则S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a = S = ，解得a = 4， VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2 在 ACD中，由余弦定理得b2 =CD2  AD2 2CD×ADcosÐADB， V 即b2 =412´2´1´ 1 =3，解得b= 3，有AC2  AD2 =4=CD2，则ÐCAD= π ， 2 2 π 3 3 5 C = ，过A作AE^BC于E，于是CE = ACcosC = ,AE = ACsinC = ，BE = ， 6 2 2 2 AE 3 所以tanB= = . BE 5 【小问2详解】 ì 1 1 c2 = a2 12´ a´1´cos(πÐADC) ï ï 4 2 方法1：在△ABD与 ACD中，由余弦定理得í ， V 1 1 ï b2 = a2 12´ a´1´cosÐADC ïî 4 2 1 整理得 a2 2=b2 c2，而b2 c2 =8，则a=2 3， 2 1 3 π 又S = ´ 3´1´sinÐADC = ，解得sinÐADC =1，而0<ÐADC <π，于是ÐADC = ， VADC 2 2 2 所以b=c= AD2 CD2 =2. r r r r r r 方法2：在 V ABC中，因为D为BC中点，则2AD= AB AC，又CB= ABAC ， 于是4  A  D r2 C  B r2 =(  A  B r   A  C r )2 (  A  B r   A  C r )2 =2(b2 c2)=16，即4a2 =16，解得a=2 3， 1 3 π 又S = ´ 3´1´sinÐADC = ，解得sinÐADC =1，而0<ÐADC <π，于是ÐADC = ， VADC 2 2 2 所以b=c= AD2 CD2 =2. ìa 6,n为奇数 18. a  为等差数列，b =í n ，记S ，T 分别为数列 a  ， b  的前n项和， n n 2a ,n为偶数 n n n n î n S =32，T =16． 4 3 （1）求 a  的通项公式； n （2）证明：当n>5时，T >S ． n n 【答案】（1）a =2n3； n 第13页 | 共23页（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列 a  的公差为d，用a ,d 表示S 及T ，即可求解作答. n 1 n n （2）方法1，利用（1）的结论求出S ，b ，再分奇偶结合分组求和法求出T ，并与S 作差比较作答；方 n n n n 法2，利用（1）的结论求出S ，b ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出T ，并与S 作差比较作答. n n n n 【小问1详解】 ìa 6,n=2k1 设等差数列 a  的公差为d，而b =í n ,kÎN*， n n 2a ,n=2k î n 则b =a 6,b =2a =2a 2d,b =a 6=a 2d 6， 1 1 2 2 1 3 3 1 ìS =4a 6d =32 于是í 4 1 ，解得a =5,d =2，a =a (n1)d =2n3， T =4a 4d 12=16 1 n 1 î 3 1 所以数列 a  的通项公式是a =2n3. n n 【小问2详解】 n(52n3) ì2n3,n=2k1 方法1：由（1）知，S = =n2 4n，b =í ,kÎN*， n 2 n î4n6,n=2k 当n为偶数时，b b =2(n1)34n6=6n1， n1 n 13(6n1) n 3 7 T = × = n2  n， n 2 2 2 2 3 7 1 当n>5时，T S =( n2  n)(n2 4n)= n(n1)>0，因此T >S ， n n 2 2 2 n n 3 7 3 5 当n为奇数时，T =T b = (n1)2  (n1)[4(n1)6]= n2  n5， n n1 n1 2 2 2 2 3 5 1 当n>5时，T S =( n2  n5)(n2 4n)= (n2)(n5)>0，因此T >S ， n n 2 2 2 n n 所以当n>5时，T >S . n n n(52n3) ì2n3,n=2k1 方法2：由（1）知，S = =n2 4n，b =í ,kÎN*， n 2 n î4n6,n=2k 当n为偶数时， 12(n1)3 n 144n6 n 3 7 T =(b b  b )(b b  b )= ×  × = n2  n， n 1 3 L n1 2 4 L n 2 2 2 2 2 2 3 7 1 当n>5时，T S =( n2  n)(n2 4n)= n(n1)>0，因此T >S ， n n 2 2 2 n n 第14页 | 共23页当n为奇数时，若n³3，则 12n3 n1 144(n1)6 n1 T =(b b  b )(b b  b )= ×  × n 1 3 L n 2 4 L n1 2 2 2 2 3 5 3 5 = n2  n5，显然T =b =1满足上式，因此当n为奇数时，T = n2  n5， 2 2 1 1 n 2 2 3 5 1 当n>5时，T S =( n2  n5)(n2 4n)= (n2)(n5)>0，因此T >S ， n n 2 2 2 n n 所以当n>5时，T >S . n n 19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查， 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人 判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)；误诊率是将未患病者判定为 阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率 pc=0.5％时，求临界值c和误诊率qc ； （2）设函数 f c= pcqc ，当cÎ95,105 时，求 f c 的解析式，并求 f c 在区间95,105的 最小值． 【答案】（1）c=97.5，q(c)=3.5%； ì0.008c0.82,95£c£100 （2） f(c)=í ，最小值为0.02． î0.01c0.98,1000.5%，所以950.02, ì0.008c0.82,95£c£100 故 f(c)=í ， î0.01c0.98,1000,b>0，由焦点坐标可知c=2 5， a2 b2 c 则由e= = 5可得a=2，b= c2 a2 =4， a x2 y2 双曲线方程为  =1. 4 16 【小问2详解】 由(1)可得A 2,0,A 2,0 ，设M x ,y ,Nx ,y  ， 1 2 1 1 2 2 1 1 显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为x=my4，且 0， 4 16 32m 48 则y  y = ,y y = ， 1 2 4m2 1 1 2 4m2 1 第18页 | 共23页y y 直线MA 的方程为y = 1 x2 ，直线NA 的方程为y = 2 x2 ， 1 x 2 2 x 2 1 2 联立直线MA 与直线NA 的方程可得： 1 2 x2 y x 2 y my 2 my y 2y  y 2y = 2 1 = 2 1 = 1 2 1 2 1 x2 y x 2 y my 6 my y 6y 1 2 1 2 1 2 1 48 32m 16m m× 2× 2y 2y 4m2 1 4m2 1 1 4m2 1 1 1 = = = ， 48 48m 3 m´ 6y 6y 4m2 1 1 4m2 1 1 x2 1 由 = 可得x=1，即x =1， x2 3 P 据此可得点P在定直线x=1上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力， 其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 22. （1）证明：当0< x<1时，xx 0对"xÎ0,1 恒成立， 则Fx 在 0,1 上单调递增，可得Fx> F0=0， 第19页 | 共23页所以x>sinx,xÎ0,1 ； 构建Gx=sinx  xx2 = x2 xsinx,xÎ0,1 ， 则G¢x=2x1cosx,xÎ0,1 ， 构建gx=G¢x,xÎ0,1 ，则g¢x=2sinx>0对"xÎ0,1 恒成立， 则gx 在 0,1 上单调递增，可得gx> g0=0， 即G¢x>0对"xÎ0,1 恒成立， 则Gx 在 0,1 上单调递增，可得Gx>G0=0， 所以sinx> xx2,xÎ0,1 ； 综上所述：xx 0，解得1< x<1，即函数 f x 的定义域为 1,1 ， 若a=0，则 f x=ln  1x2 ,xÎ1,1 ， 因为y =lnu在定义域内单调递减，y =1x2在 1,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减， 则 f x=ln  1x2 在 1,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增， 故x=0是 f x 的极小值点，不合题意，所以a¹0. 当a¹0时，令b= a >0 因为 f x=cosaxln  1x2 =cos  a x  ln  1x2 =cosbxln  1x2 ， 且 f x=cosbxlné1x2ù =cosbxln  1x2 = f x ， ë û 所以函数 f x 在定义域内为偶函数， 2x 由题意可得： f¢x=bsinbx ,xÎ1,1， x2 1 ì1 ü （i）当0b2x = ， x2 1 x2 1 1x2 且b2x2 >0,2b2 ³0,1x2 >0， 第20页 | 共23页x  b2x2 2b2 所以 f¢x> >0， 1x2 即当xÎ0,mÍ0,1 时， f¢(x)>0，则 f x 在 0,m 上单调递增， 结合偶函数的对称性可知： f x 在 m,0 上单调递减， 所以x=0是 f x 的极小值点，不合题意； æ 1ö （ⅱ）当b2 >2时，取xÎ ç 0, ÷ Í0,1 ，则bxÎ0,1 ， è bø 2x 2x x 由（1）可得 f¢x=bsinbx <b  bxb2x2  =  b3x3 b2x2 b3x2b2 ， x2 1 x2 1 1x2 æ 1ö 构建hx=b3x3 b2x2 b3x2b2,xÎ ç 0, ÷， è bø æ 1ö 则h¢x=3b3x2 2b2xb3,xÎ ç 0, ÷， è bø æ1ö æ 1ö 且h¢0=b3 >0,h¢ ç ÷ =b3 b>0，则h¢x>0对"xÎ ç 0, ÷恒成立， èbø è bø æ 1ö æ1ö 可知hx 在ç 0, ÷上单调递增，且h0=2b2 <0,h ç ÷ =2>0， è bø èbø æ 1ö æ 1ö 所以hx 在ç 0, ÷内存在唯一的零点nÎ ç 0, ÷， è bø è bø 当xÎ0,n 时，则hx<0，且x>0,1x2 >0， x 则 f¢x<  b3x3b2x2 b3x2b2 <0， 1x2 即当xÎ0,nÍ0,1 时， f¢x<0，则 f x 在 0,n 上单调递减， 结合偶函数的对称性可知： f x 在 n,0 上单调递增， 所以x=0是 f x 的极大值点，符合题意； 综上所述：b2 >2，即a2 >2，解得a> 2或a< 2，     故a的取值范围为 ¥, 2 U 2,¥ . 【点睛】关键点睛： 1.当0