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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
A={x∣x=3k+1,kÎZ},B={x∣x=3k+2,kÎZ} ð (A B)=
1. 设集合 ，U为整数集， U U （ ）
A. {x|x=3k,kÎZ} B. {x∣x=3k-1,kÎZ}
C. {x∣x=3k-2,kÎZ} D. Æ
2. 若复数 a+i1-ai=2,aÎR，则a =（ ）
A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2
3. 执行下面的程序框遇，输出的B=（ ）
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
4. 向量 a r = b r =1, c r = 2 ，且a r +b r +c r =0 r ，则cosáa r -c r ,b r -c r ñ =（ ）
1 2 2 4
A. - B. - C. D.
5 5 5 5
5. 已知正项等比数列 a 中，a =1,S 为 a 前n项和，S =5S -4，则S =（ ）
n 1 n n 5 3 4
A. 7 B. 9 C. 15 D. 30
6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球
俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
第1页 | 共5页7. “sin2a+sin2b=1”是“sina+cosb=0”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
x2 y2
8. 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，其中一条渐近线与圆(x-2)2 +(y-3)2 =1交于 A，
a2 b2
B两点，则| AB|=（ ）
1 5 2 5 4 5
A B. C. D.
.
5 5 5 5
9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连
续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30
æ πö π 1 1
10. 已知 f x 为函数 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数，则 y = f x 与y = x- 的交点个
è 6ø 6 2 2
数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC = PD=3,ÐPCA=45°，则 PBC的面
V
积为（ ）
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 5 2
x2 y2 3
12. 己知椭圆 + =1，F,F 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosÐFPF = ，则|PO|=
9 6 1 2 1 2 5
（ ）
2 30 3 35
A. B. C. D.
5 2 5 2
二、填空题
æ πö
13. 若y =(x-1)2 +ax+sin ç x+ ÷为偶函数，则a =________．
è 2ø
ì-2x+3y£3
ï
14. 设x，y满足约束条件í3x-2y£3 ，设z =3x+2y，则z的最大值为____________．
ï
x+ y³1
î
15. 在正方体ABCD-ABC D 中，E，F分别为CD，AB 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条
1 1 1 1 1 1
第2页 | 共5页棱的交点总数为____________．
16. 在 ABC中， AB=2，ÐBAC =60°,BC = 6，D 为 BC 上一点，AD 为ÐBAC的平分线，则
V
AD=_________．
三、解答题
17. 已知数列 a 中，a =1，设S 为 a 前n项和，2S =na ．
n 2 n n n n
（1）求
a
的通项公式；
n
ìa +1ü
（2）求数列í n ý的前n项和T ．
î 2n þ n
18. 在三棱柱ABC- ABC 中，AA =2，AC ^底面ABC，ÐACB=90°，A到平面BCC B 的距离为
1 1 1 1 1 1 1 1
1．
（1）求证：AC = AC；
1
（2）若直线AA 与BB 距离为2，求AB 与平面BCC B 所成角的正弦值．
1 1 1 1 1
19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组
（加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
0)交于A,B两点，且| AB|=4 15．
（1）求 p；
uuur uuur
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MF×NF =0，求
V
MNF 面积的最小值．
sinx æ πö
21. 已知 f(x)=ax- ,xÎ ç 0, ÷
cos3 x è 2ø
（1）若a= 8，讨论 f(x)的单调性；
（2）若 f(x)0．
（1）求不等式 f x< x的解集；
（2）若曲线y = f x 与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a．
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