文档内容
几何-曲线型几何-圆-2 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆 B 1.了解有关圆的概念和性质 少考
2.学习圆的周长和面积公式的推导
3.运用圆的性质以及周长和面积公
式进行计算
知识提要
圆
概念
圆是由一条曲线围成的平面图形．
圆中心的一点叫圆心，用 O 表示．
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示．
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示．
直径所在的直线是圆的对称轴．
性质
圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；
在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍．d=2r；圆有无数条对称轴；
圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；
所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
公式
圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
精选例题
圆
1. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部分面积为 S ，空白部分面积为 S ，那
1 2
么这两部分面积之比为 ．（π 取 3.14）
57
【答案】
100
【分析】 设小圆半径为 R，S =(4R) 2÷2=8R2，S =π(2R) 2-8R2=4πR2-8R2，
2 1
S (π-2)4R2 57
所以 1= = ．
S 2×4R2 100
2
2. 如图所示，已知最大的圆的直径是 100cm，则最小的圆的直径是 cm．【答案】 50
【分析】
已知最大的圆的直径是 100cm，而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线所以大正方形的
面积为
100×100÷2=5000(cm2
)
图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半．所以小正方
形的面积为
5000÷2=2500(cm2
)
所以小正方形的为 50cm 而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是
50cm．
3. 在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆
的直径分别为 24.2m，19.3m，4.9m，这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的
鞋匠刀形 (Arbelos)，即下图中阴影部分所示的图形，那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周
长为 （圆周率用 π 表示）．【答案】 24.2π
【分析】
三个半圆的周长和
(19.3×π+4.9×π+24.2×π)÷2=24.2π
4. 下图所示中的长方形的长与宽的比为 8:3，半圆的半径是 20，那么阴影部分的面积是
．（取 π=3.14）
【答案】 244【分析】 详解：如图所示，直角三角形 OAB 的三边长之比为 3:4:5，且斜边
AO=20，所以两直角边分别长 12 和 16，长方形的长和宽分别为 32 和 12，所以阴影部
1
分面积为 ×20×20×3.14-32×12=244．
2
5. 填空．
（1）圆的半径是 2cm，面积是 cm2；
（2）圆的直径是 8cm，面积是 cm2
（3）圆的半径 50cm，面积是 m2
（4）圆的面积是 12.56，半径是 m
【答案】 （1）12.56；
（2）50.24；
（3）0.785；
（4）2
【分析】 利用圆的有关公式计算：S=πr2；d=2r．
6. 如图所示，大圆的直径是小圆的 5 倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧
组成．如果已知阴影部分的面积等于 4，那么图中空白部分的面积等于 ．【答案】 21
【分析】 设小圆的半径为 r，则阴影部分的面积为：
1 1
[π(2r) 2-2πr2]+ [π(3r) 2-3πr2]=πr2+3πr2=4πr2,
2 2
所以
πr2=1,
故空白面积为：
π(5r) 2-4=25πr2-4=21.
7. 一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可
以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为 平方米．（
π 取 3.14）
【答案】 50.465
3
【分析】 长方形的对角线长为 5，在羊圈外，羊能够到达的图形包括 个半径为 4
4
1
的圆以及 个半径为 1 的圆，所以羊能够达到的总面积为
4
3 1
3×4+ ×π×42+ ×π×12≈50.465(平方米)．
4 4
8. 有 7 根直径都是 5 分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆绑在一起，其切面
如下图所示，至少需要绳子 分米．（π 取 3.14）【答案】 91.4
【分析】 根据题意，图中的绳子共有 6 个直径以及 6 个弧，这 6 个扇形的弧长之
和为一个完整的圆的周长，所以共需要绳子：
6×5+π×5=30+5π=45.7(分米),
所以如图的切面，其至少需要绳子
45.7×2=91.4(分米).
9. 如下图所示，两个半径为 2 的等圆，阴影部分 ①（有两个部分）与阴影部分 ② 的面积
相等．AB 的长度是 ．（π 取 3.14）【答案】 3.14
【分析】 两阴影部分面积相等，说明长方形面积等于两半圆面积之和，所以
AB=π×22÷4=3.14．①
10. 如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径 R=3，则阴影部分图形的周长为
，面积为 ．（圆周率用 π 表示）
27
【答案】 21π； π
8
【分析】 阴影部分图形的周长是大圆的周长加 2.5 个中圆的周长加 5 个小圆的周长：
3 3
2×3×π+2.5×2× ×π+5×2× π=21π
2 4
阴影部分图形的面积是大圆的面积减 2.5 个中圆的面积：
5 3 27
32π- ×( ) 2π= π
2 2 811. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米．阴
影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个
圆的面积等于 平方厘米．
【答案】 105
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r) 2+R2=(R+r) 2，
R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 1680÷16=105(平方厘米)．
12. 如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径 R=3，则阴影部分面积与最大的圆面
积之比为 ．【答案】 3:8
【分析】 大圆的面积为 S=π×R2=πR2
阴影部分的面积为：
1 1 R 1 1 3
S =[ πR2- ( ) 2 ]×5=( πR2- πR2 )×5= πR2
阴影 5 2 2 5 8 8
所以阴影部分和大圆的面积比为
3
πR2: πR2=3:8
8
13. 下图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是 10 厘米．那么阴影图形的面积是
平方厘米．（π 取 3.14）
【答案】 942
【分析】 用 7 个小圆的面积减去大圆的面积就是阴影图形的面积．
S =S ×7-S
阴 小圆 大圆
¿ =300π
¿ ¿
14. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
20，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．【答案】 20π
【分析】 周长等于一个大圆的周长，πd=20π．
15. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分 Ⅰ 与Ⅱ的面积之和为
（圆周率用 π 表示）．
【答案】 π-2
1
【分析】 Ⅰ和Ⅱ部分面积为 大圆-直角边为2的等腰直角三角形，如图所示：
4
Ⅰ和Ⅱ部分面积和为
1 1
π×22- ×2×2=π-2.
4 216. 如右图所示，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的
面积是 平方厘米．（取 π=3.14）
【答案】 17.875
【分析】 详解：如图2所示，阴影部分面积等于梯形 ABCD 的面积 减去一个四分
1
之一圆的面积，即 (5+10)×5÷2- ×52π=17.875．
4
17. 如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 ．【答案】 16m2．
【分析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我
们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如下图，割补后阴影部分的面积与正方形
的面积相等，等于 (2×2) 2=16(m2 )．
18. 如图所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，
7，则图中阴影部分的面积是 平方米．（π 取 3）
【答案】 0.84【分析】 阴影面积为：
π×12+π×(32-22 )+π×(52-42 )+π×(72-62
)
π×1+π×(3+2)+π×(5+4)+π×(7+6)¿=¿28π¿=¿84(平方分米)¿=¿0.84(平方米).¿
¿
19. 如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，A´C=C´D=D´B，M 是 C´D 的中点，H
是弦 CD 的中点．若 N 是 OB 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分
的面积是 平方厘米．
【答案】 2
【分析】 连接 OC、OD、OH，由于 C、D 是半圆的两个三等分点 M 是 C´D
的中点，H 是弦 CD 的中点，可见这个图形是对称的．由对称性可知 CD 与 AB 平行，
由此可得：△CHN 的面积与 △CHO 的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形 COD 面
1
积的一半，而扇形 COD 的面积又等于半圆面积的 ，所以，阴影部分面积等于半圆面积的
3
1 1
，为 12× =2(平方厘米)．
6 6
20. 如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边
BC 的中点，那么阴影部分的面积是 ．（π 取 3.14）【答案】 51.75
【分析】
102+
1
×π×
(10) 2
-
[1
×5×15+
1
×(15+5)×5
]
2 2 2 2
100+12.5π-87.5¿=¿51.75.¿
¿
21. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
1，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．
【答案】 π
【分析】 若大圆里有若干个小圆，且大圆的直径等于这些小圆的直径和，则大圆的周
长等于所有小圆的周长和，则该图形周长等于一个大圆的周长，πd=π．
22. 如下图所示，已知圆心是 O，半径 r=9 厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π=3.14）【答案】 42.39
【分析】 因为圆的半径都相等，于是 OA=OB．在等腰三角形 AOB 中两个底角都
是 15∘．又知道三角形内角之和是 180∘，所以，三角形 AOB 的顶角
∠AOB=180∘-(15∘+15∘)=150∘．同理 ∠AOC=150∘，因此
1
∠BOC=360∘-(150∘+150∘)=60∘．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的 ，即
6
1 1
×π×r2= ×3.14×92=42.39(平方厘米)．
6 6
23. 在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的 %．
（π 取 3.14）
【答案】 78.5
【分析】 设圆的半径为 r，则正方形的边长为 2r，圆的面积为 3.14r2，正方形面
积为 4r2，这个圆的面积是正方形面积的 3.14÷4=0.785=78.5%．
24. 自三角形 ABC 内一点 P，分别向 BC，CA，AB 边引垂线，垂足依次为 D,E,F．以
BD,CD,CE,AE,AF,BF 为直径分别向形外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为
S ,S ,S ,S ,S ,S ．若 S -S =2,S -S =1，那么 S -S = ．
1 2 3 4 5 6 5 6 1 2 4 3【答案】 3
【分析】 连接 AP,BP,CP．
则
AF2+BD2+CE2=(AP2-PF2 )+(BP2-PD2 )+(CP2-PE2 ),
BF2+CD2+AE2=(BP2-PF2 )+(CP2-PD2 )+(AP2-PE2 ),
所以，
AF2+BD2+CE2=BF2+CD2+AE2,
π
两边同乘 得：
2×4
π(AF) 2
+
π(BD) 2
+
π(CE) 2
π(BF) 2 π(CD) 2 π(AE) 2
2 2 2 2 2 2 + + .¿
2 2 2 2 2 2
¿也就是
S +S +S =S +S +S .
1 3 5 2 4 6
S -S =S -S +S -S =1+2=3.
4 3 1 2 5 6
25. 在图中所示的 10×12 的网格图中，猴子 KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中
最大的圆的半径是 4，图中阴影部分的面积是 ．（圆周率 π 取 3）
【答案】 21.5
【分析】 根据半径为 4 可观察得出小正方形的边长为 1，
阴影部分的面积=大圆面积-空白面积.
大圆的面积：
S=π×42=48,
空白面积：
3
S=5×2+ ×π×12×2+π×22=10+4.5+12=26.5,
4
阴影部分面积：
48-26.5=21.5.
26. 如下图所示，有 10 个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．
如果射击时命中最里面的小圆得 10 环，命中最外面的圆环得 1 环．得 1 环圆环的面积是
10 环圆面积的 倍．【答案】 19
【分析】 1 环、2 环、10 环的外圈的圆的半径值比为 10:9:1，面积比为
100:81:1，1 环面积是 10 面积的 (100-81)÷1=19 倍．
27. 如图，斜边为 6 的等腰直角三角形 ABC 放在半径为 5 的圆内，现在保持 B、C 和圆
接触，让三角形 ABC 沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形 ABC 扫过的图形面积是
．（π 取 3.14）
【答案】 75.36
【分析】 连接 OA 并延长，交 BC 于 E，得到直角三角形 OBE，BE=3，根据勾股定理可知，OE=5，则
OA=4-3=1.
所以扫过阴影面积为：
π52-π12=24π=75.36.
28. 如下图所示，已知圆环的面积是 141.3 平方厘米，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π 取 3.14）
【答案】 45
【分析】 设大圆半径为 R，小圆半径为 r，则圆环面积为
π(R2-r2 )=141.3(平方厘米),
所以阴影部分面积为
R2-r2=141.3÷3.14=45(平方厘米).29. 埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了一个计算圆的面积的公式：
8d
S=( ) 2
9
其中，d 是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率 π 取值为 ．
（保留两位小数）
【答案】 3.16
【分析】 由圆的面积公式
8d d
S=( ) 2=π( ) 2
9 2
那么
8
π=( ) 2×4≈3.16
9
30. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分的面积为 （圆周率用 π
表示）．
【答案】 4π-8
【分析】 可以把中间的四个叶子形状的图形分成两半，刚好可以补到正方形外边的空
白处．所以大圆的面积减去内接正方形的面积，就是阴影部分的面积．
4×4
S =π×22- =4π-8
阴 2
31. 下图的 4 个圆半径都是 10 厘米，试求阴影部分的面积总和是 平方厘
米．（圆周率 π 取近似值 3）
【答案】 400
1
【分析】 将图中左边一半的阴影部分割补成下图，下图的阴影为一个圆减去 圆，
3
余下 2 圆，所以原题中整个阴影的面积为 ( 2× 2 = 4) 圆， 4 ×3×102=400(平方厘米)．
3 3 3 332. 如图是小明用一些半径为 1 厘米、2 厘米、4 厘米、8 厘米的圆、半圆、圆弧和一个正
方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为 平方厘米．
【答案】 64
【分析】 半径为 1 厘米的圆的面积为：
π×12=π(平方厘米);
半径为 2 厘米的圆的面积为：
π×22=4π(平方厘米);
半径为 4 厘米的圆的面积为：
π×42=16π(平方厘米);半径为 8 厘米的圆的面积为：
π×82=64π(平方厘米);
所以阴影部分的面积为：
1
4×π+(16π-4π)+8×8- ×64π=64(平方厘米).
4
33. 如下图所示的四个正方形的边长都是 1，图中的阴影部分的面积依次用 S ,S ,S ,S 表
1 2 3 4
示，则 S ,S ,S ,S 从小到大排列依次是 ．
1 2 3 4
【答案】 S 10，问明明可以接受么？
【答案】 见解析．
【分析】 不合算的，披萨是以面积计的，不是以长度计量的。直径十寸，面积是
25π 。六寸的，面积是 9π，两个才 18π，不足 25π，不合算．
109. 一个圆形水池，围绕它走一圈有 12.56 米，这个水池的直径是多少？
【答案】 4 米．
【分析】 可知圆的周长是 12.56 米，可以求得直径12.56÷3.14=4(米).
110. 如图，正方形的面积是 8，阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 4.56
【分析】 四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积，四个半圆可以
拼成两个相同的圆，而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是 6.28，
那么阴影部分的面积就是 6.28×2-8=4.56．
111. 如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、C 为某传动机械的
一部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：
（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？
（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？【答案】 （1）顺时针转动；（2）3
【分析】 （1）当 A 顺时针转动时，带动逆时针转动，
当 B 逆时针转动时带动 C 顺时针转动．所以当 A 匀速顺时针转动时，C 顺时针转动．
（2）当 A 转动时可带动 B 转动，而 B 转动时可带动 C 转动，且 A，B，C 转动时，
所转过的长度相等，即当 A 转动一圈时，即 A 上的定点转了一圈，转过的长度为圆 A 的
周长，
L =2×π×15=30π(厘米),
A
此时，C 上的点也转过了 30π 厘米，所以当 A 转动一圈时，C 转动的圈数是：
30π
=3(圈).
2×π×5
所以当 A 转动一圈时，C 转动了 3 圈．
112. 把一张长 12cm，宽 8cm 的红纸剪出一个最大的圆，这个圆周长是多少？
【答案】 25.12cm
【分析】 所能裁出的圆，最大直径为 8cm，圆的周长是
π×8=25.12(厘米).
113. 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘
米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积．1
【答案】 124 平方厘米
3
【分析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结 AO ，AO ，BO ，BO ，O O ，如图所示，就可以得到两个等
1 2 1 2 1 2
边三角形（各边长均等于半径），则 ∠AO O =∠BO O =60∘，即 ∠AO B=120∘．
2 1 2 1 2
这样就可以求出以 O 为圆心的扇形 AO BO 的面积，然后再减去三角形 AO B 的面积，
2 1 2 2
就得到弓形的面积，三角形 AO B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB，高
2
是 O O 的一半．
1 2
所以，阴影部分面积 =2×(S -S )
扇形AO B △AO B
2 2
=2× ( 3.14×102× 120 - 1 ×17× 10)
360 2 2
1 1
=209 -85=124 (平方厘米)．
3 3
114. 把一张长 12cm，宽 8cm 的红纸剪出一个最大的圆，剪剩下的面积是多少？
【答案】 39.76 平方厘米．
【分析】 所能裁出的圆，最大直径为 8cm，半径为 4cm，圆的面积是
π×4×4=50.24(平方厘米),红纸原来的面积是
12×8=96(平方厘米),
剩下的面积是
96-50.24=39.76(平方厘米).
115. 图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
【答案】 1:1
【分析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲=120∘的扇形-三角形-小弓形;
阴影部分乙=三角形+小弓形;
由于 120∘ 扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：综上所述：
(1 1) 1
阴影部分甲的面积=圆的面积的 - =圆的面积的 .
3 6 6
所以甲、乙面积之比为 1:1．
116. 一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是 ．（精确到
0.01，π=3.14）
【答案】 3.27
1 π
【分析】 设半圆的半径为 r，则 r2π=2r+rπ，即 r=2+π，所以半圆的半径：
2 2
4
r= +2≈3.27．
π
117. 左图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．让 A 点不动，把整个半圆逆时针转
60∘，此时 B 点移动到 C 点，如右图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π
取 3.14．）
【答案】 略
【分析】 右图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆以及以 AC 为半径的 60∘
扇形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积．
那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60∘ 扇形的面积，即
60
×32×π≈1.5×3.14=4.71(平方厘米).
360
118. 图中有半径分别为 5 厘米、4 厘米、3 厘米的三个圆，A 部分（即两小圆重叠部分）
的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？【答案】 一样大．
【分析】 如图所示，半径为 5 厘米的圆与半径为 4 里面的圆面积之差为
π×52-π×42=9π,
它等于半径为 3 厘米的圆面积
π×32=9π,
同时等于图中阴影部分面积与 B 部分面积之和．
而小圆面积又等于 A 部分的面积与 B 部分面积之和，因此 A 部分的面积与阴影部分面积
相等．
119. 圆形花坛的直径是 6 米，它的周长是多少？将圆环扩建后，直径变为 8 米，周长增加
了多少？
【答案】 原周长：18.84 米；扩建后增加：6.28 米．
【分析】 直径 6 米，周长是
π×d=3.14×6=18.84(米);
圆环扩建后，直径 8 米，周长是
3.14×8=25.12(米),
增加了
25.12-18.84=6.28(米).120. 有一飞镖形建筑物 ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60 米、BC=70 米、
CD=40 米、AD=30 米，并且已知 ∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的
外缘距离建筑物之最近距离都保持 5 米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取
π=3.14）
【答案】 229.25
【分析】 可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为
60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为 360∘+90∘=450∘．
450∘
所以三个圆弧段的长度和为 2×5×3.14× =39.25(米)．故绕一圈需走
360∘
190+39.25=229.25(米)．
121. 图中的长方形的长与宽的比为 8:3，求阴影部分的面积．
【答案】 244【分析】 如下图，设半圆的圆心为 O，连接 OC．
从图中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根据勾股定理可得 BC=12．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
1
为：π×202× -(16×2)×12=200π-384=244．
2
122. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线．请证明：一定存在 3 个点，
π
以它 们为顶点的三角形面积小于 ．
6
【答案】 略
π
【分析】 证明：将半径为 1 的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 ，根
6
据抽屉原理，至少有三个点在同—部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即
π
．
6
123. 如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当
小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【答案】 3
【分析】 如图，同样考虑小圆的一条半径 OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚
动了大圆的半周时，半径 OA 滚动了 540∘，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一
周时，小圆自身转了 3 圈．也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这
个圆的周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一
圈，所以本题中小圆自身转了 3 圈．
124. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲（上方阴影）的面
积比阴影乙（下方阴影）的面积大 7，求 BC 长．（π 取 3.14）
【答案】 15
【分析】 阴影甲和阴影乙的面积差等于半圆的面积减去直角三角形ABC的面积，半
1 (20) 2
圆的面积为 ×π× =50π≈157，
2 2S 2×150
所以 S =157-7=150，BC= △ABC = =15．
△ABC AB 20
125. 在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，
以 AD 为半径的圆的一部分．求阴影部分的面积．
【答案】 1.14 平方厘米
π 1
【分析】 如右图所示，S = ×AD2- AD2 ，
1 4 2
S +S =
1
π×
(AC) 2
-
1
AD2=
1
π×AC2-
1
AD2 ．
2 3 2 2 2 8 2
因为 AC2=2AD2=4，
所以阴影部分的面积为：
π 1 1 1 1 1
×AD2- AD2+ π×AC2- AD2= π×AC2- AC2=π-2=1.14(平方厘米)．
4 2 8 2 4 2
另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面
π 1
积，所以阴影部分的面积为
×AD2+ π×AC2-AD2=1.14(平方厘米)．
4 8
126. 求如图中阴影部分的面积．（圆周率取 3.14 ]）【答案】 4.56
【分析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针 90∘，则阴影部分转
化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为
1 1
×π×42- ×4×4=4.56.
4 2
127. 大圆中套着一个小圆，大圆的半径恰好是小圆的直径。大圆的周长是小圆的多少倍？
【答案】 2
【分析】 大圆半径是小圆的直径，也就是说大圆的半径是小圆半径的两倍，直径也是
两倍关系。．那么由计算公式可知，周长是两倍的关系．
128. 如图中，正方形的边长是 5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆
周率取 3.14）
【答案】 142.75cm2
【分析】 ( π×52× 3 +5×5÷2 ) ×2=142.75(cm2 )．
4129. 在下图中，AC 为圆 O 的直径，三角形 ABC 为等腰直角三角形，其中 ∠C=90∘．
以 B 为圆心，BC 为半径作弧 CD 交线段 AB 于 D 点．若 AC=10 厘米，试求下图中
阴影部分面积之和．（令 π=3）
【答案】 62.5 平方厘米
【分析】 阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：
1 1
π×52+ ×π×102- ×102=62.5(平方厘米).
8 2
130. 如图，在一块面积为 12.56 平方厘米的纸板中，裁出了 2 个同样大小的圆纸板．问：
余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）【答案】 6.28 平方厘米
【分析】 大圆的面积是 12.56 平方厘米，可求出大圆的半径是 2 厘米，那么小圆
的半径是 1 厘米，面积是 3.14 平方厘米．阴影部分的面积是 12.56-3.14-3.14=6.28 平
方厘米．
131. 请按照图中尺寸求出两图中阴影部分的面积分别为多少．（π 取 3.14）
【答案】 4.56；28.5
【分析】 （1）4× (1 ×π×22- 1 ×2×2 ) =4π-8=4.56；
4 2
（2）
1
×π×
(10) 2
-
[1
×10×10-
45
×π×102
]
2 2 2 360
25π-50¿=¿28.5.¿
¿
132. 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的
面积．【答案】 2.5
【分析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图
形．
1
由右图可见，阴影部分面积等于 大圆面积减去一个小圆面积，再加上 120∘ 的小扇形面积
6
1 1 2
（即 小圆面积），所以相当于 大圆面积减去 小圆面积．而大圆的半径为小圆的 3
3 6 3
倍，所以其面积为小圆的 32=9 倍，那么阴影部分面积为
(1
×9-
2)
×π×12=
5
π=2.5．
6 3 6
133. 一个圆形蓄水池的周长是 25.12 米，这个蓄水池的占地面积是多少？
【答案】 50.24 平方米．
【分析】 周长 25.12 米，直径是 8 米，半径 4 米．面积是 16π，也就是 50.24
平方米．
134. 已知一个圆的面积是 113.04 平方厘米，求这个圆形的周长．（π 取 3.14）
【答案】 37.68 厘米
【分析】 圆的 面积=πr2，已知面积是 113.04 平方厘米，可以求出 r=6 厘米，
圆形的周长 2πr=3.14×6×2=37.68(厘米)．
1 1
135. 有一辆杂技自行车，前轮的半径是 4 分米，后轮的半径是 3 分米，那么当后轮转
11 3
的圈数比前轮多 10 圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值 3.14．）
【答案】 113.04 米．
1 1
【分析】 由于前后轮的半径比是 4 :3 =27:22，所以前后轮的周长比也是
11 3
27:22，那么当转过相同路程时，前后轮转过的圈数比是 22:27，所以当后轮转的圈数与前
10
轮多转 10 圈时，车的前轮转了 ×22=44 圈，后轮转了 54 圈，前进了
27-22
1 1
2×3.14×4 ×44× =113.04 米．
11 10
136. 如图，正方形边长为 2cm，圆与正方形是相切的关系，求阴影部分面积．【答案】 4–π
【分析】 阴影面积 S 等于正方形的面积减去圆的面积
S=2×2–π=4–π
137. 图中的三个图形都是由 A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为 A×B、
C×D、A×D．请你画出表示 A×C 的图形．
【答案】 见解析．
【分析】 观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它
们共有的字母是 A，因此 A 表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一
条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段．这样，由第一个图形可知 B
表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而 A×C 表示的图形应为竖向线段和小圆组
合而成，即下图．138. 如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线
段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？
【答案】 16
【分析】 方法一：根据题意，令空白部分的半圆的半径为 r，则可知：
(r+6) 2+(r+2) 2=4r2，解之得：r=10．
S =(2r) 2-πr2=400-100π；
中间阴影
[1 1 ]
S = (2+r)(6+r)- πr2 ×4=384-100π．
四角阴影 2 4
所以 S -S =(400-100π)-(384-100π)=16．
中间阴影 四角阴影方法二：四角上的阴影部分加上一个圆的面积等于 4 个直角三角形的面积，中间阴影
部分加上一个圆的面积等于中间正方形的面积，根据差不变原理，阴影部分的面积差等于正方
形面积与 4 个直角三角形的面积差，根据弦图可得，两者的差为 (6-2) 2=16．
139. 如图（1）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让 A 点不动，
把整个半圆逆时针转 60∘，此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14）
【答案】 4.71 平方厘米
【分析】 图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个
半圆面积与一个圆心角为 60∘ 的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为 60∘ 的扇形面积，
1
即
×π×32=4.71．
6
140. 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 O 、O 、O 为圆心，求
1 2 3
阴影部分的面积．（π=3）【答案】 150 平方厘米
【分析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面
积，等于大正方形的面积减去一个 90∘ 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
1
S -S -[(S -S )÷4]=20×20- π×(20) 2-[(20×20-100π)÷4]=75(平方厘米),
正方形 扇形 正方形 圆 4
所以阴影部分的面积为 75×2=150(平方厘米)．
141. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那
么阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 18.24
【分析】 如下图，我们将原题中阴影部分分成 ①、②、③、④ 4 个部分，并且这
4 个部分的面积相等．有 ②、③ 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．
二分之一圆的面积为
1
×4×4×π≈8×3.14=25.12.
2
其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为
1
×8×4=16,
2
所以 ②、③ 部分的面积和为
25.12-16=9.12(平方厘米).
而 ①、②、③、④ 四部分的面积和为 ②、③ 部分的面积和的 2 倍，即为
9.12×2=18.24(平方厘米).
所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米．
142. （1）左图中正方形的面积是 8，那么圆的面积是多少？（π 取 3.14）
（2）右图中正方形的面积是 16，那么圆的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 （1）6.28；（2）25.12．
【分析】 （1）方中圆，方与圆的比为 4:π，可求出圆的面积是 6.28；
（2）圆中方，圆与方的面积之比为 π:2，可求出圆的面积是 25.12．
143. 如图，求阴影部分的面积．【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
144. 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂
有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【答案】 5:11
【分析】 假设最小圆的半径为 r，则三种半圆曲线的半径分别为 4r，3r 和 r．
1 1 1
阴影部分的面积为： π(4r) 2- π(3r) 2+ πr2+πr2=5πr2 ，
2 2 2
空白部分的面积为：π(4r) 2-5πr2=11πr2，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:11．
145. 如下图所示，如果正方形的边长为 2，那么阴影部分的面积为多少？（π 取 3.14）【答案】 0.86
【分析】 正方形的面积是 4，圆的面积是 3.14，所以，阴影的面积是 0.86．
146. 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部
分的面积是多少？
【答案】 20
【分析】 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个下图阴影部分的面积和．
而图形 ① 可以通过割补得到图形 ②，
1
而图形 ② 是一个圆心角为 60∘ 的扇形，即 圆．
6
1
所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积．
6
即原题图中阴影部分面积为 2×10=20.147. 如图，求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 2.28
【分析】 阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个
整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为 l，圆的直径为 d，则
l2
=4,
2
则
l2=8,d2=8,
圆的面积为
πd2
S= =2π=6.28,
4
阴影的面积为
S =6.28-4=2.28.
阴
148. 下图中的大正方形边长为 4 厘米，每个圆弧皆是半径为 1 厘米的半圆或四分之一圆，
( 22)
请问阴影部分面积为多少平方厘米？ π=
7【答案】 10
【分析】 将图形分割如下图所示，阴影部分可拼成 10 个小正方形．所以阴影部分
面积为 1×1×10=10(平方厘米)．
149. 在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒 5 米，已知拖拉机前轮直径 0.8 米，后轮直
径 1.25 米．设某一时刻两轮上与地面接触的点为 A 和 B，那么经过多少秒后，A 和 B
再次同时与地面接触？（圆周率取近似值 3）
【答案】 2 秒．
【分析】 前轮与后轮的周长比是 0.8:1.25=16:25，因此走同样的路程，前轮与后
轮转的圈数比是 25:16；从此时到 A 和 B 再次同时与地面接触，两轮都转了整数圈，所以A 轮转了 25 圈，B 轮转了 16 圈，走的路程是 0.8×3×25=60 米，需要的时间是
60÷5=12 秒．
1
150. 古埃及人计算圆形面积的方法：将直径减去直径的 ，然后再平方．由此看来，古埃及
9
人认为圆周率 π 等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
【答案】 3.16．
1
【分析】 假设半径为 r，那么直径为 2r．直径减去直径的 ，然后再平方，得到的
9
是 (8 ×2r ) 2 = 256 r2 ，所以古埃及人认为圆周率 π 等于 256 ，约等于 3.16．
9 81 81
151. 某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如
图）．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？
【答案】 10.84cm2【分析】 将古钱币分成 8 个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正
方形，中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
(4) 2 (4) 2 (4) 2
π - ×2+ ×2÷4×π=6π-8=10.84 (cm2 )．
2 2 2
152. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？
【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．
153. 一枚半径为 1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚
过后回到原来的位置，那么与原 A 点重合的点是哪个．硬币自己转动几周，硬币圆心的运动
轨迹周长为多少．【答案】 6π
1
【分析】 先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆， ×(2×2π)×3=6π，
2
6π÷2π=3，即为 3 周，所以答案为 A 点，3 周，6π．
154. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知大圆半径是 20 厘米，那么阴影面积是多少？（π
取 3.14）【答案】 456 平方厘米
【分析】
如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正
方形，那么阴影面积是大圆减正方形面积．大圆半径为 20 厘米，则正方形面积是
1
S= ×402=800(平方厘米),
2
阴影面积是
S=202π-800=456(平方厘米).
155. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【答案】 8
【分析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积∶大圆面积
=πr2:πR2=1:9，
1
小圆面积 =36× =4，7 个小圆总面积 =4×7=28，
9
边角料面积 =36-28=8(平方厘米)．
156. 如下图所示，AB 为圆 O 的直径，点 D 在圆 O 上．在梯形 ABCD 中，线段 AB
与线段 DC 都分别垂直于 BC；AB=2CD；弧 DMB 是以点 C 为圆心的圆弧．请问下图
22
中阴影部分的面积与圆 O 的面积之比是多少？（取 π= ）
713
【答案】
44
22
【分析】 不妨设两圆的半径为 1，则圆 O 的面积为 ，阴影部分的面积等于梯形
7
ABCD 的面积减去弓形 DMB 的面积的 2 倍：
1 1 22 1 13
×(1+2)×1-2× × ×12+2× ×12= ,
2 4 7 2 14
所以面积比为
13 22 13
: = .
14 7 44
157. 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每
个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 8 平方厘米
【分析】 如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径
的两倍，等于 4 厘米，所以面积为 4×4÷2=8 平方厘米．158. 如下图所示，AB 是一根长度为 1 的线段，要移到与它相距为 2 的 CD 处（CD=1）．
在移动过程中，AB 扫过的面积至少是多少？
【答案】 可以任意小，即可以无限接近 0，但不等于 0．
【分析】 如下图所示，先将线段 AB 绕 B 点顺时针旋转 n∘ 至 EB，再将 EB 沿
直线 BE 平移到 FG，然后线段 FG 绕 G 点逆时针旋转 n∘ 至 GH，最后将 GH 沿直线
平移到 CD．由于平移时是沿着线段所在的直线移动，所以平行移动时扫过的面积为 0．在
nπ
整个移动的过程中，线段扫过的面积就只是两个扇形（阴影部分），面积和为 ．当 n 无
180
限接近 0 时，面积无限接近 0．159. 下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少．【答案】 4.5
【分析】 如图可知 EF= 3，设大半圆半径为 R，小圆半径为 r，如右图 R=EH，
r=HG=EG，根据勾股定理得 R2=2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
S =S -S
阴影 小圆 柳叶
=S -2(S -S )
小圆 扇形EHF △EHF
=S -2S +2S
小圆 扇形EHF △EHF
=S -S +2S
小圆 大半圆 △EHF
=2S
△EHF
=EF×GH=3×3÷2=4.5
160. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．
【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．
161. 一个半径为 3 分米的扇形，面积为 6.28 平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π 取
3.14）【答案】 80 度
6.28
【分析】 扇形所在大圆的面积是 3.14×32=28.26，圆心角是 ×360=80 度．
28.26
162. 如图所示，正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，E、F 分别为所在半圆弧的中点．
求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 73.12 平方厘米．
【分析】 从图中可以看出，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去
△AED 的面积，即
8×8+π×42÷2-8×12÷2=41.12
而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即
8×8+π×42-41.12=73.12(平方厘米).
163. 下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是灰色部分面积大？【答案】 一样大
【分析】 大圆半径是小圆半径的两倍，所以大圆面积是小圆面积的 4 倍，所以四个
小圆的面积等于大圆的面积，由容斥原理得两部分的面积一样大．
164. 如图，是一个边长是 12 厘米的正方形，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π≈3.14）
【答案】 41.04
【分析】 根据容斥原理，阴影面积是
1
×
(12) 2
×3.14+
1
×122×3.14-
1
×12×12=41.04(平方厘米).
2 2 8 2
165. 下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。【答案】 257 平方厘米．
【分析】 直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方
形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用割补法，可以得到下图。其中的阴影部分的面积与
原图相同，等于一个正方形与 4 个半圆（即 2 个圆）的面积之和，为
(2r) 2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257(厘米2 ).
166. 12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形（圆心的连线）．用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这
枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【答案】 6
【分析】 对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”
上的转动，一是在”边”上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度 ÷2π= 自身转动圈数．结
论：一样多；都是 6 圈．
167. 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的
长度是多少厘米？（π 取 3）【答案】 45
【分析】 由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与6个 BC 弧长之和．
将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360∘，
所以 BC 弧所对的圆心角是 60∘，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长．
而线段 AB 等于塑料管的直径，
由此知绳长为：5×6+5π=45(厘米)．
