文档内容
几何-曲线型几何-圆环-0 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆环 B 1.认识圆环的特征 少考
2.掌握圆环的面积计算公式
3.运用公式合理的进行计算
知识提要
圆环
概述
圆环是由两个半径不相等的同心圆构成的，大圆面积比小圆面积多的部分就是圆环。
面积公式
S=πR2-πr2=π(R2-r2
)精选例题
圆环
1. 如下图所示，已知圆环的面积是 141.3 平方厘米，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π 取 3.14）
【答案】 45
【分析】 设大圆半径为 R，小圆半径为 r，则圆环面积为
π(R2-r2 )=141.3(平方厘米),
所以阴影部分面积为
R2-r2=141.3÷3.14=45(平方厘米).
2. 如下图所示，大正方形的面积是 400 平方厘米，则圆环的面积是 平方
厘米．（π 取 3.14）【答案】 157 平方厘米
【分析】 将小正方形转 45∘，如下图所示，可以看出大正方形的面积是小正方形面积
的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是 400 平方厘米，所以大圆面
积为 314 平方厘米，小圆面积为 157 平方厘米，圆环面积为 314-157=157(平方厘米)．
3. 如图，大正方形的面积是 400 平方厘米，则圆环面积是 平方厘米．（
π 取 3.14）【答案】 157
【分析】 如图所示，
由大正方形的面积为 400 平方厘米知 AB=20(厘米)．取圆心 O，AB 中点 M，连接
OM 交小正方形于点 E，连接 OB 交大圆于点 F．
于是
MB=OM=OF=10(厘米),
易知 △OEF 为等腰直角三角形，
所以
2OE2=OF2=100(平方厘米),
于是
OE2=50(平方厘米),
所以圆环的面积为
π⋅OM2-π⋅OE2 =π×102-π×50
¿ ≈157(平方厘米).
4. 如下图所示，有 10 个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．
如果射击时命中最里面的小圆得 10 环，命中最外面的圆环得 1 环．得 1 环圆环的面积是
10 环圆面积的 倍．【答案】 19
【分析】 1 环、2 环、10 环的外圈的圆的半径值比为 10:9:1，面积比为
100:81:1，1 环面积是 10 面积的 (100-81)÷1=19 倍．
5. 如图，这是一个既左右对称，又上下对称的图形，已知图中
A A =A A =A A =A B=2，阴影部分的面积是 ．（取 π≈3.14）
1 1 2 2 3 3
【答案】 62.8
【分析】 菱形外面的四个半圆能拼成 2 个圆．菱形内部，将四个角拼在一起能得到
下图——一个圆环．故阴影的面积为：2π22+π42-π22=20π=62.8．6. 大圆半径为 R，小圆半径为 r，两个同心圆构成一个环形．以圆心 O 为顶点，半径 R
为边长作一个正方形：再以 O 为顶点，以 r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积
为 50 平方厘米，求环形面积．（圆周率取 3.14）
【答案】 157 平方厘米
【分析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显
然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是 R2-r2=50 平方厘米，那么环形的面积为：
πR2-πr2=π(R2-r2 )=π×50=157(平方厘米)．
7. 两个半径不等的同心圆，内圆半径 3cm，外圆直径 8cm，圆环面积是多少？
【答案】 21.98 平方厘米．
【分析】 注意外圆的直径是 8cm，半径应是 4cm，那么圆环的面积是
π×4×4—π×3×3=21.98(平方厘米).8. 在直径为 6 米的圆形花坛的外面，围绕着一条宽 1 米的环形小路，这条小路的面积是多
少？
【答案】 21.98 平方米．
【分析】 此题相当于知道小圆直径和环宽，求圆环的面积．小圆半径 3 米，大圆半
径 4 米，圆环的面积是 21.98 平方米．
9. 已知与小圆相切的线段长度是 10 厘米，那么图中圆环的面积是多少？
【答案】 25π 平方厘米
【分析】
连接 OC、OB，则 OC⊥AB，在直角三角形 OBC 中，
OB2-OC2=BC2= (1 AB ) 2 =25,
2
图中圆环的面积为
πR2-πr2=π(R2-r2 )=π×(OB2-OC2 )=25π(平方厘米).10. 图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环形面积．（π 取 3.14）
【答案】 157 平方厘米
【分析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显
然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是 R2-r2=50 平方厘米，那么环形的面积为：
πR2-πr2=π(R2-r2 )=π×50=157(平方厘米).
11. 图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知
纸的厚度为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【答案】 71.4 米．【分析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面
积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
因此，
纸卷侧面积
纸的长度 ≈
纸的厚度
3.14×(100-9)
¿ =
0.04
¿ ¿
所以，这卷纸展开后大约 71.4 米．
12. 图中阴影部分的面积是 25cm2，求圆环的面积．
【答案】 157cm2．
R2 r2
【分析】 设大圆半径为 R，小圆半径为 r，依题有 - =25，即
2 2
R2-r2=50.
则圆环面积为：
πR2-πr2=π(R2-r2 )=50π=157(cm2 ).
13. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个
环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积
是 77.1 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π=3.14）【答案】 4.1 平方厘米．
【分析】 ⑴每个圆环的面积为：
π×42-π×32=7π=21.98(平方厘米)
⑵五个圆环的面积和为：
21.98×5=109.9(平方厘米)
⑶八个阴影的面积为：
109.9-77.1=32.8(平方厘米)
⑷每个阴影的面积为：
32.8÷8=4.1(平方厘米)
14. 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径是 20 厘米，中间有一直径为 8
厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？（π 取
3.14）
【答案】 65.94
【分析】 卷纸问题：依据体积不变原则求解，缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：
[ (20) 2 (8) 2]
π× -π× ×100=8400π(立方厘米)
2 2
薄膜展开后为一个长方形，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为
8400π÷0.04=659400(平方厘米)=65.94(平方米).15. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 10 厘
米．求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 78.5 平方厘米．
【分析】 如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作
垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得
R2-r2=52=25,
所以图中阴影部分面积为
πR2-πr2=π×(R2-r2)=25π=78.5(平方厘米).
16. 如图，厚度为 0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的
外直径是 180 厘米，内直径是 50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【答案】 9388.6
【分析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为
(180) 2 (50) 2
π× -π× =7475π(平方厘米),
2 2
如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为 0.25 毫米（即 0.025
厘米），所以长为
7475π÷0.025=938860(厘米)=9388.6(米).
所以这卷铜版纸的总长是 9388.6 米．
17. 图中阴影部分的面积是 25 平方厘米，求圆环的面积．（π 取 3.14）
【答案】 157 平方厘米．
【分析】 记大圆半径为 R，小圆半径为 r，那么圆环的面积为 π(R2-r2)，只要能
够求出 R2-r2 即可．
1
阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于
(R2-r2)，所以
2
R2-r2=2×25=50(厘米).
由此可得圆环面积等于
50×3.14=157(平方厘米).
18. 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径为 8
厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？【答案】 65.94 平方米．
【分析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：
[ (20) 2 (8) 2]
π× -π× ×100=8400π(立方厘米),
2 2
薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为
8400π÷0.04=659400(平方厘米)=65.94(平方米).
另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．
由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为
(20) 2 (8) 2
π× -π× =84π(平方厘米),
2 2
展开后为一个长方形，宽为 0.04 厘米，所以长为
84π÷0.04=6594(厘米),
所以展开后薄膜的面积为
6594×100=659400(平方厘米)=65.94(平方米).
