高三年级下学期数学学科开学素养训练
参考答案
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#所以"$!% % $ !
/ / / /
.!5!易知函数-&#%在&(#*6%上单调递减#因为-&#&%/%#-&&#%#所以#&%/%&#%(#解
得#%/!
341&! ! 341&! 341&!%1,2&! !
"!0!因为 $% #所以 $ $341!%1,2!$% !
341!*1,2! . 341!*1,2! 341!*1,2! .
- / -
又&341!*1,2!$&#解得1,2!$ #341!$ #所以782!$ !
. . /
+!5!令#$.$(#则-&(%$&-&(%%9#解得-&(%$9#)错误!令.$%#$%!#则-&(%$
-&!%*-&%!%%&%9#得-&%!%$+##错误!-&%!%&-&!%#0错误!令.$%##则-&(%$
-&#%*-&%#%%&#&%9#所以-&#%%#&%9*-&%#%%&%#%&%9$(#5正确!
9!0!如图#设"&$’/$0#$&$’1$2#连接02#"2#$0#/&#
&0
易知"2$$0$3!由"$$&"$ $-槡/#得/&$/槡/#所以
! ! 0"
/ &0 / &2 / 02 / 03 /
$ #则 $ #同理得 $ #所以 $ # $ #所以3
- &" + &$ + "$ + 3$ +
+ - !
到底 面 "$’ 的 距 离4$ : : :.$!!三 棱 台
!( + &
! &槡/ 槡/
"$’5"$’ 的 体 积 为 :.: :!&* :-9*
! ! ! / - -
槡/ 槡/ % ! 槡/
槡 :!&: :-9 $/.槡/#三棱锥35"$’的体积为 :!: :-9$-槡/#则三棱台
- - / -
"$’5"$’ 与三棱锥35"$’的体积之差为/.槡/%-槡/$/!槡/!
! ! !
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’!#05!易得这组数据的众数为+##正确!这组数据的平均数为
9
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
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公众号：高考试卷君
书书书!
$9#)错误!这组数据的方差6&$ $&.%9%&*&+%9%&:/*&9%9%&*&’%9%&*&!(%9%&
9
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*&!!%9%&’$ #0正确!这组数据从小到大为.#+#+#+#9#’#!(#!!#由9:"(;$-!9#得这
-
组数据的"(;分位数为9#5正确!
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!(!)05!由#’ (# 及"%(#得"#* ’ # * #因为-&#%在 (# 上恰有/个
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零点#所以/!# * (-!#解得//#"(-.!
!& -
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!!!#05!当(#7#!时#8$(符合题意#)错误!设函数-&#%$ #则-9&#%$
#
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#设函数:&#%$&#%!%<#*!#则由:9&#%$#<#%(#得#%(#则:&#%在&(#
#&
*6%上单调递增#所以当#%(时#:&#%%:&(%$(#则-9&#%%(#所以-&#%在&(#*6%
上单调递增!
由:9&#%$#<##(#得##(#则:&#%在&%6#(%上单调递减#所以当##(时#:&#%%
:&(%$(#则-9&#%%(#所以-&#%在&%6#(%上单调递增!设函数
#
&#%$<#%!%##则
#9&#%$<#%!!当##(时# #9&#%#(#
#
&#%单调递减#当#%(时# #9&#%%(#
#
&#%单调递
增#所以
#
&#%)# &(%$<(%!%($(!所以<#%!)##当且仅当#$(时#等号成立!当#%(
<#%! <#%! <8%! <=27%!
时# %!#当##(时# #!#所以当8%(时#由题意可得 $ #因为
# # 8 =27
!
-&8%$-&=27%#所以8$=27##正确!当8%(时#=27%(#则7%!!令函数;&#%$ &#
&
!
%!%&*=2#%#*!&#%!%#则;9&#%$#%&* %(#所以;&#%在&!#*6%上单调递增#则
#
! !
;&#%%;&!%$(#所以 &7%!%&*=27$ &7%!%&*8%7%!#即7&*&8*/%-7#0正
& &
确!若存在7’&(#*6%#使得&8%7*!%&$(!(!#则8%7*!$(!!或8%7*!$%(!!#即
=27$7%!!!或=27$7%(!’#画出函数.$#%!!!与函数.$=2#的图象#易得两图象有交
点#5正确!
!&!%’(/槡+!因为&!*-"%*!#所以&!*-"%)!$(#即!&*-!)"$(#由"!"$"#得!)"$
!
% "!"&$%’!因为"!*""$’#所以"!*""&$9!#即!&*&!)"*"&$9!#解得"""$
-
/槡+!
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
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公众号：高考试卷君!/!"!$的焦点为&&(#-%#准线方程为.$%-#根据题意可得圆心’&(#%!&%#圆心’到直线
"/:(*-:&%!&%*&9"
/#*-.*&9$(的距离4$ $-#所以"0<"$&槡&.%!"$"!
槡/&*-&
!-!!(9(!从’个数中任取&个数填入* 和* 的位置#有#&$+&种方法!
&! && ’
因为* #* #* #* #* #* #* #* #所以在剩下的+个数中#最大的数只能填入
!! !& !/ &/ // /! /& //
* 的位置#再从剩下的"个数字中选择-个数字填入* #* #* #* 的位置#且这-个数
// !! !& !/ &/
字只能按照从小到大的顺序分别填入* #* #* #* 的位置#最后剩下的&个数字只能按
!! !& !/ &/
照从小到大的顺序分别填入* #* 的位置#故填好* #* #* #* #* #* #* 共有0-0&
/! /& // !! !& !/ &/ /! /& " &
$!.种方法!
因此#按照要求填好该方格共有+&:!.$!(9(种方法!
!.!&!%证明*因为"$’5"$’ 是正三棱柱#/是"’的中点#所以"’*$/!++++&分
! ! !
易得$$*平面"$’#"’+平面"$’#所以$$*"’!++++++++++++-分
! !
因为$$$$/$$#所以"’*平面$$/!++++.分
! !
&&%解*取$’的中点3#$’ 的中点+#连接"3#3+#则
! !
3+*$’!易得"3*$’#$$*"3#
!
又$$$$’$$#所以"3*平面$$’’!++++"分
! ! !
以3为坐标原点#3$#3+#3"所在直线分别为##.#%轴
建立空间直角坐标系#如图所示#
则$&&#(#(%#/&%!#(#槡/%#" &(#"#&槡/%#$&&#"#(%#+++++++++++++分
! !
--, --, --,
$/$&%/#(#槡/%#/" $&!#"#槡/%#"$$&&#(#%&槡/%!+++++++++++9分
! ! !
--,
/$)/" $#*".*槡/%$(#
!
设平面"$/的法向量为$$&##.#%%#则. +++++’分
! ! --,
0$)"$$&#%&槡/%$(#
! !
令#$/#则$$&/#%!#槡/%! +++++++++++++++++++++++!(分
设直线$/与平面"$/所成的角为!#
! !
--,
--, "$)$/" "%’*/" 槡/’
则1,2!$"341,$#$/-"$ --, $ $ #
"$""$/" 槡’*!*/:槡’*/ !/
槡/’
故直线$/与平面"$/所成角的正弦值为 !++++++++++++++!/分
! ! !/
!"!&!%证明*当7$!时#=$&**-%!(#解得*$"! ++++++++++++++!分
! ! !
当7)&时#由=$&**-7%!(#可得= $&* *-7%!-# +++++++++&分
7 7 7%! 7%!
两式相减得*$&*%&* *-#所以*%-$&&* %-%#+++++++++++-分
7 7 7%! 7 7%!
因为*%-$&#所以!*%-"是首项为&#公比为&的等比数列!+++++++++.分
! 7
&&%解*由&!%可知*%-$&:&7%!$&7#即*$&7*-!+++++++++++++9分
7 7
7&*%-%
&/%解*当7为奇数时#,$ 7 $7(当7为偶数时#,$/*$/:&7*!&!++!(分
7 &7 7 7
!高三数学"参考答案!第!!!!/页#共"页$%
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公众号：高考试卷君故$ $&,*,*,*+*, %*&,*,*,*+*, %
&7 ! / . &7%! & - " &7
$&!*/*.*+*&7%!%*/&&&*&-*&"*+*&&7*-7%+++++++++++!&分
&!*&7%!%7 &&&!%&&7%
$ */: *!&7$-7*!*7&*!&7%-!++++++++++!.分
& !%-
!+!解*&!%题意得0&>(/((%$(!!.#0&/((#>("((%$(!/.%(!!.$(!&#
0&"((#>(!&((%$(!+%(!/.$(!/.#0&!&((#>(!9((%$(!’.%(!+$(!&.#++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++&分
0&>%!9((%$!%0&>(!9((%$!%(!’.$(!(.!++++++++++++++/分
故1&?%$-:(!!.*9:(!&*!-:(!/.*&(:(!&.*&":(!(.$!/!-! +++++.分
&&%&"%该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后#日借阅总量不高于"((本的概
率降低(!(.#得0&>("((%$(!/.%(!(.$(!/#+++++++++++++++"分
设未来!(个工作日中#日借阅总量不高于"((本的天数为@#则@#$&!(#(!/%#+++分
所以0&@)&%$!%0&@$(%%0&@$!%$!%(!+!(%0! :(!/:(!+’1!%(!(&9%/:
!(
(!(-$(!9.&1(!9.!
故未来!(个工作日中#至少有&天日借阅总量不高于"((本的概率约为(!9.!+++’分
&$%该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后#日借阅总量不高于/((本.
"((本.!&((本.!9((本的概率均降低(!(.#得0&>(/((%$(!!#0&/((#>("((%$
(!�&"((#>(!&((%$(!/.#0&!&((#>(!9((%$(!&.#0&>%!9((%$(!!#++
++++++++++++++++++++++++++++++++++!!分
所以1&?%$-:(!!*9:(!&*!-:(!/.*&(:(!&.*&":(!!$!-!.!+++++!/分
!
若日借阅总量不高于!&((本时#仅启用"辆推车#日借阅总量高于!&((本时#统一启用
&"辆推车#则此时日启用推车数量?的数学期望为1&?%$(!".:"*(!/.:&"$!/#+
&
++++++++++++++++++++++++++++++++++!-分
因为!-!.%!/#所以调整方案能降低日均运维成本!++++++++++++++!.分
!9!解*&!%因为""$"*"$&"的最小值是.#所以)&*/&$.&#所以)$-! ++++++!分
&
因为双曲线’的实轴长为-槡&#所以&*$-槡&#所以*$&槡&#++++++++++&分
则,$槡)&%*&$&槡&# ++++++++++++++++++++++++++/分
#& .&
故双曲线’的标准方程为 % $!!++++++++++++++++++++-分
9 9
&&%&"%由题意可知直线A的斜率不为(#则设直线A*#$8.*-!
/ -
#$ #
!.$## !%8 & - - %
由 得. 即点+的坐标为 # #
#$8.*-# - !%8!%8
.$ #
0 !%8
& - %& & - %& -槡8&*!
则"+&"$槡 %- * $ !++++++++++++++"分
& !%8 !%8 "!%8"
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$%
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公众号：高考试卷君/ -
#$ #
!.$%## !*8 & - - %
由 得. 即点B的坐标为 #% #
#$8.*-# - !*8 !*8
.$% #
0 !*8
& - %& & - %& -槡8&*!
则"B&"$槡 %- * % $ !+++++++++++++9分
& !*8 !*8 "!*8"
-槡8&*! -槡8&*! !
因为"+&"$/"B&"#所以 $/: #解得8$ 或8$&!+++’分
& & "!%8" "!*8" &
!
因为直线A与双曲线’的右支交于0#<两点#所以%!#8#!#则8$ #
&
!
故直线A的方程为#$ .*-#即&#%.%9$(!+++++++++++++++!!分
&
/#$8.*-#
&$%由.#& .& 得&8&%!%.&*98.*9$(!
% $!#
09 9
98 9
设0&##.%#<&##.%#则.*.$% #..$ #+++++++++!&分
! ! & & ! & 8&%! ! & 8&%!
& 98 %& 9 -槡&:槡8&*!
所以".%."$槡&.*.%&%-.. $槡% %-: $ !+
! & ! & ! & 8&%! 8&%! "8&%!"
++++++++++++++++++++++++++++++++++!/分
! !"槡&:槡8&*! 8&*!
故20<& 的面积=$ "&&"".%."$ $!"槡&:槡 !
! & ! & ! & "8&%!" 8-%&8&*!
++++++++++++++++++++++++++++++++++!-分
设C$8&*!#由%可知%!#8#!#所以!(8&*!#&#即!(C#&#
8&*! C !
则 $ $ )!#+++++++++++++++++!"分
8-%&8&*! C&%-C*- -
C* %-
C
8&*!
故=$!"槡&:槡 )!"槡&#即20<& 面积的取值范围是$!"槡&#*6%! ++
8-%&8&*! !
++++++++++++++++++++++++++++++++++!+分
!’!&!%解*依题意#-&#%$<#%&#%!%&#-9&#%$<#%&&#%!%#+++++++++++!分
所以-&(%$<(%&(%!%&$(#-9&(%$<(%&&(%!%$/#+++++++++++++/分
所以曲线.$-&#%在#$(处的切线方程为.$/#!++++++++++++++-分
!
&&%证明*&"%当*$<#C$<%D时#-&#%$<#%D%&#%!%&#:&#%$<#%D *=2#%D!令:&#%
$(#得<# ! %D *=2#%D$(#则<# ! %D * ! %D$ ! %=2##即<# ! %D * &! %D % $< =2# ! *=2 ! #
# # # #
+++++++++++++++++++++++++++++++++++"分
!高三数学"参考答案!第!!!!.页#共"页$%
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公众号：高考试卷君&! % & !% &! % & !%
所以" %D $"=2 #即" %D $"=2 !++++++++++++++分
# # # #
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&$%由&"%易得"&#%在!上单调递增#所以 %D$=2 #即=2#* %D$(!++9分
# # #
! #%!
令函数
#
&#%$=2#* %D#则 #9&#%$ #令 #9&#%%(#得#%!# #9&#%#(#得(###
# #&
!#所以
#
&#%的单调递减区间为&(#!%#单调递增区间为&!#*6%#++++++++!(分
依题意可得 # &#%有两个零点# ! ## & #不妨设# ! ## & #则(## ! #!## & #
!& !% &#%!%&
令函数E&#%$=2#% #% #则E9&#%$% ((#所以E&#%在&(#*6%上单调
& # &#&
递减! +++++++++++++++++++++++++++++++++!&分
因为E&!%$(#所以当#’&(#!%时#E&#%%((当#’&!#*6%时#E&#%#(!++++!/分
!& !% !& !%
所以E&#%%E&!%$(#E&#%#E&!%$(#即=2#% #% #=2## #% #+
! & ! & ! # & & & #
! &
++++++++++++++++++++++++++++++++++!-分
!
所以由=2#* $D有两个不相等的正根####且(###!###
# ! & ! &
得
!
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*
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#%
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#
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#则&D#%#&*!#+++++++++!.分
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*=2##
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*
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#%
!%
$
#
& *
!
#则&D###&*!#即%&D#%%#&%!#+++
# & # & & # & &# & & & &
& & & &
++++++++++++++++++++++++++++++++++!"分
所以&D&#%#%%#&%#&$&#*#%&#%#%#因为#%##(#所以#*#%&D!+
! & ! & ! & ! & ! & ! &
++++++++++++++++++++++++++++++++++!+分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
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公众号：高考试卷君永久高中群【无水印】
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时间期限：资料持续更新到2026年6月高考结束，资料截止更新
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资料提供形式：QQ群+网盘群（两个群一起，QQ群实时更新，网盘群分类汇总）
资料包含内容：
1、2025年9月到2026年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等
2、2024年9月到2025年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等
3、2023年9月到2024年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等
4、2022年9月到2023年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等
5、2021年9月到2022年7月底各地高二月考卷、期中期末卷、联考卷等等
6、各科知识点总结、笔记、答题模板、全套专题讲义训练、复习讲义、专属精品内
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时间期限：资料持续更新到2026年7月底结束，资料截止更新
2026 高一 VIP 资料【无水印】
资料提供形式：QQ群+网盘群（两个群一起，QQ群实时更新，网盘群分类汇总）
资料包含内容：
1、2025年9月到2026年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等
2、2024年9月到2025年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等
3、2023年9月到2024年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等
4、2022年9月到2023年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等
5、2021年9月到2022年7月底各地高一月考卷、期中期末卷、联考卷等等
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