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内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026 学年第二学期下学期4 月诊断考试
高一数学
一、单选题
1．下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若复数满足
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．从棱长为4 的正方体
中截去到正方体顶点B 的距离小于或等于4 的部分后，得到几何
体
，则
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一只运动队有男队员42 人，女队员56 人，按照性别分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为
28 的样本，则男运动员应抽取的人数为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
5．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为
3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，
表示事件“第一次取出的是红球”，
表示事件“取出的两球
同色”，
表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ）
A．
与
互斥
B．
与
互斥
C．
D．
6．已知点
，
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
是夹角为
的两个单位向量，则
和
的夹角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列关于复数的结论正确的是（ ）
A．
的虚部是
B．
C．
D．方程
的根是
10．关于球
的下列说法正确的有（ ）
A．若球
的体积为
，则球
表面积也为
B．若球
的半径变为原来的2 倍，则球
体积变为原来的4 倍
C．若一平面截球
截得一半径为2 的圆面且
到此截面的距离为1，则球
的表面积为
D．若一正方体的八个顶点都在球
的球面上，则球
的体积与正方体的体积之比为
11．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示：
运动时长
0.5
1
1.5
2
2.5
3
天数
2
3
10
9
2
4
则下列结论正确的是（ ）
A．该人该月运动时长的极差为8h
B．该人该月运动时长的中位数为1.75h
C．该人该月运动时长的平均数为1.8h
D．该人该月运动时长的方差小于1
三、填空题
12．设是虚数单位，若复数
为纯虚数，那么实
________.
13．已知向量
满足
，且
，则
__________.
14．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，在该圆锥内有一个体积为
的球，则该
球的体积
的最大值是___________．
四、解答题
15．在
中，角
的对边分别为
．已知
，
．
(1)求
的值；
(2)求的值．
16．宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100 名游客对景区
进行满意度评分（满分100 分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求x 的值；
(2)若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在
，
的两组中共抽取3 人，再从这3 人中随机
抽取2 人进行交流，求选取的2 人评分分别在
和
内的概率．
17．已知向量
，满足
，向量
的夹角为
．
(1)求
的值；
(2)求向量
与的夹角的余弦值．
18．如图，在
中，
为
的中点，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
19．（1）已知向量
满足
，且
与
的夹角为
．若
与
的夹角为钝角，求
实数
的取值范围；
（2）如图，半圆的直径
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若
为半径
上的动
点，求
的最小值．
参考答案
1．C
【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同，
不能保证向量相等，故A 错误；
对于B：向量不能比较大小，故B 错误；
对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量，
即
，故C 正确；
对于D：向量不能等于数字0，故D 错误.
故选：C
2．D
【详解】依题意，
，
所以
在复平面内对应的点
位于第四象限.
故选：D
3．D
【详解】根据题意易得
是由正方体
，挖去
个以4 为半径的球所得，
所以
的表面积为
.
故选：D
4．D
【详解】运动员人数为
，
根据题意，男运动员应抽取的人数为：
人.
故选：D
5．D
【详解】由题意，事件A 包含
，
事件B 包含
，
事件C 包含
，
显然
，
与
不互斥，
与
不互斥，故AB 错误，
总事件的情况为
，
，共12 种情况，
其中
包含
，共8 种情况，
故
，故C 错误，
事件
包含
，共6 种情况，
则
包含事件
，共4 种情况，
故
，故D 正确.
故选：D.
6．B
【详解】依题意，
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：B
7．A
【详解】因为
是夹角为
的两个单位向量，
所以
，
，
设为
的夹角，
，
故选：A.
8．D
【详解】因为
，
所以
，整理得
，
由正弦定理边化角得
，
若
，则
，不满足题意，故
.
又
，
所以
，
整理得
，
则
，
易知，若
，则
，不合题意；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
9．BD
【详解】对于A，
的虚部是
，A 错误；
对于B，设
，
，则
，
，
，
，又
，所以
，B 正确；
对于C，取
，则
，
，C 错误；
对于D，由
得
，
，
，D 正确.
故选：BD.
10．ACD
【详解】对于A，设球
的半径为
，则
，解得
，球
表面积
，A 正确；
对于B，球
的半径变为原来的2 倍，则球
体积变为原来的8 倍，B 错误；
对于C，依题意，球
的半径
，球
的表面积为
，C 正确；
对于D，令正方体的棱长为2，则球
的半径为
，则球
的体积与正方体的体积之比：
，D 正确.
故选：ACD
11．BCD
【详解】选项A：由题表可得该人该月运动时长的极差为
，故A 错误.
选项B：将该人该月的运动时长按从小到大的顺序排列后，中位数为第15 个数据与第16 个数据的平均数，
由题表可知第15 个数据是1.5，第16 个数据是2，该月共有30 天，因此该人该月运动时长的中位数为
1.75h，,故B 正确.
选项C：该人该月运动时长的平均数为
，故C 正确.
选项D：该人该月运动时长的方差为
，
故D 正确.
故选：BCD.
12．1
【详解】由题意得
，解得
.
故答案为：1.
13．
【详解】因为
，则
，即
，
即
即
，解得
.
故答案为：
.
14．
【详解】解：由题意得，扇形的弧长
，
所以该圆锥的底面圆的半径
，
所以该圆锥的高
．
设该圆锥内的球的最大半径为
，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得
，所以
，
所以该球的体积
的最大值是
．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由
，得到
，
又
，则
，所以
，显然
，
所以
，又
，则
.
（2）由余弦定理
，又
，
，
所以
，整理得到
，解得
，
所以的值为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，可得
，
解得
；
（2）因为评分在
，
的频率分别为0.05，0.1，所以在
中抽取
（人），
设为a，
在
中抽取
（人），设为B，C．
记事件A 表示从这3 人中随机抽取2 人进行交流，选取的2 人评分分别在
和
内．
从这3 人中随机抽取2 人，则有
，
，
，共3 个样本点，
选取的2 人评分分别在
和
内的有
，
，共2 个样本点，
所以
，
即选取的2 人评分分别在
和
内的概率为
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，
，
则
；
（2）由已知，
，
，
则向量
与的夹角的余弦值为
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为
为
的中点，所以
，
则
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）不妨令
，则
，设
，则
．
在
中，由余弦定理得
，
即
．①
在
中，由余弦定理得
，即
．②
①②联立，解得
，
所以
．
19．（1）
（2）
.
【详解】（1）由题意：
，
又
，
由题意
，解得
，
又当
时，即
时，
与
共线，
所以
与
的夹角为钝角时，实数
的取值范围为
；
（2）由题意：由
为圆心，得
，所以
，
则
，
由
，
，
所以
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
即
的最小值为
.
