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巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次诊断性检测
数学试题
一、单选题
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
4．如果直线 与直线 平行，那么 等于（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
A．2 B． C． D．5
6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体
中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A． B．C． D．
7．点 到直线 （ 为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A． B．4 C．5 D．25
8．已知 分别为椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上的点， ，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右
拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数 中位数 众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数 中位数<平均数
D．图（3）的平均数 中位数 众数
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概
率是0.1
B．一组数据 的第60百分位数为14C．若样本数据 的方差为8，则数据 的方差为2
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和 ，若
，则总体方差
11．如图，正方体 的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是
（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．
C．存在某个点E，使直线 与平面ABCD所成角为
D．二面角 的平面角的大小为
三、填空题
12．已知向量 的夹角为 ， ，则 ．
13．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体 为鳖
臑， 平面 ，且 ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为
．
14．已知 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹 的方程为 .
四、解答题15．已知椭圆 .
(1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率；
(2)求与椭圆 有相同的焦点，且过点 的椭圆的标准方程．
16．已知圆 ，直线 过点 .
(1)若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 交于 两点， ，求直线 的方程.
17．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ．
(1)求角A；
(2)若D是线段 的中点，且 ，求 的面积；
(3)若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
18．培英高中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100
名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第
五组 绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频
率相同．
(1)求出频率分布直方图中 ， 的值，并估计此次竞赛成绩的中位数（保留小数点后两位）；
(2)现从以上各组中按比例分配的分层随机抽样方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为66
和37，第四组考生成绩的平均数和方差分别为84和68.5，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
(3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为 ，乙能解出而丙不能解出该
题的概率为 ，甲、丙都能解出该题的概率为 ，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙3
人中至少有1人解出该题的概率．
19．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 且 ， 平面 ，
为 的中点
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成的角；
(3)求点 到平面 的距离.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A B D C C ACD AC
题号 11
答案 BD
1．B
由中位数定义即可得.
【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
2．A
利用复数除法运算化简复数 ，结合虚部定义即可求解.
【详解】由题可得 ，所以则 的虚部为 ,
故选：A
3．B
根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】A： 仅表示 与 的大小相等，但是方向不确定，故 未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
4．A
由平行的性质计算可得 ，再排除重合情况即可得.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
若 ，则两直线分别为 、 ，此时两直线重合，不符；
若 ，则两直线分别为 、 ，符合题意；
故 .
故选：A.
5．B
由向量垂直的坐标表示求出 ，再计算模长可得.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：B.
6．D
根据图形及平行公理判断即可.
【详解】对于A：显然 、 、 在正方体的上底面，且三点不共线， 不在正方体的上底面，
所以 、 、 、 四点不共面，故A错误；
对于B：如图， ，即 、 、 、 四点共面，即 、 、 三点共面，且三点不共线，
又 平面 ，所以 、 、 、 四点不共面，故B错误；
对于C：显然 、 、 在正方体的下底面，且三点不共线， 不在正方体的下底面，
所以 、 、 、 四点不共面，故C错误；
对于D：
如图，连接 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 、 、 、 四点共面，故D正确.
故选：D
7．C
数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案.
【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ，
点 与点 的距离为： .
当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 .
此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 .
故选：C8．C
利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得： ，又因为 ，
所以解得： ，
再由于 ， ，结合勾股定理可得：
，解得 ，所以椭圆 的离心率为 ，
故选：C.
9．ACD
【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.
图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D.
【详解】选项A：个体m被抽到的概率为 ，故A正确；
选项B：由于 ，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为 ，故B错误；
选项C：设数据 的平均数为 ，方差为
，
则数据 的平均数为，
方差为
，
所以 ，故C正确；
选项D：设第一层数据为 ，第二层数据为 ，
则 ， ，
所以 ，
， ，
总体平均数 ，
总体方差
因为 ，则 ，
所以
，故D错误.
故选：AC.
11．BD
A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性
质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.
【详解】对于选项A：三棱锥 的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确；
对于选项B： 两点在平面 上的射影分别为 ,即直线 在平面 上的射影为 ，
而 ,根据三垂线定理可得 .故选项B正确；
对于选项C：因为 平面 ,直线 与平面ABCD所成角为 ,
当点 和点 重合时， 在平面 射影最小，
这时直线 与平面ABCD所成角 最大值为 ，故选项C不正确；
对于选项D：二面角 即二面角 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 即为二面角 的平面角，
在正方形 中， ，所以二面角 的大小为 ，故选项D正确.
故选：BD.
12．
根据平面向量数量积公式求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
．
故答案为：13．
由已知，可根据题意，设 ，然后根据体积为1，求解出 ，然后
把鳖臑的外接球可还原在以 为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的
一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.
【详解】由已知，因为 平面 ，可令 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
由已知，鳖臑的外接球可还原在以 为长宽高的长方体中，设其外接球半径为 ，
所以其外接球的半径 ，
所以其外接球的表面积 .
故答案为： .
14．
设动点 ，根据两点间距离公式，列方程即可求解.
【详解】设动点 ，则 ，
即 ，整理得 ，
故动点 的轨迹 的方程为 .
故答案为： .
15．(1)长轴长 ，短轴长 ，离心率(2)
（1）根据已知条件求得 ，从而求得长轴长，短轴长及离心率；
（2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点 来求得正确答案.
【详解】（1）由题可知 ，
所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 .
（2）因为椭圆 的焦点为 ，
所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为 ，
其中 ，
所以椭圆的方程为 ，
将 代入得 ，
解得 ，或 （舍），
所以椭圆的标准方程为 ．
16．(1) 或
(2) 或
（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案；
（2）设直线 的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案.
【详解】（1）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为2，所以直线 与圆 相切，符合题意；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离等于半径，即 ，
解得 .
所以直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
（2）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 .
所以 ，
解得 ，或 .
所以直线 的方程为 或 ，即 或 .
17．(1)
(2)
(3)
（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；
（2）先根据向量关系 ，左右两边平方后结合余弦定理得出 ，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）由正弦定理可知 ，
∴ ，∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）由（1）及余弦定理得 ，即 ，①
又因为 ，则 ，
则 ，
即 ，
所以 ，②
由 得 ，
所以 ．
（3）由（1）得 ，则 ，即 ，
由正弦定理可知 ， ，
所以
．
因为△ABC为锐角三角形，所以 ， ，即 ， ，
则 ，即 ，
则 ，
故△ABC的周长的取值范围为 ．
18．(1) ，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ，
可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
设中位数为 ，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故此次竞赛成绩的中位数约为 分.
（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为 ，
且两组频率之比为 ，成绩在第二组、第四组的平均数 ，
成绩在第二组、第四组的方差
，
故估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差是 .
（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件 ，
“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件 ，
由题意得 ，所以 ，
所以 ，所以乙、丙分别解出该题的概率为 ，
则 ，因为 ，
所以 ，因为 相互独立，
所以 ，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为 .
19．(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点，又 为 的中点，
则 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
（2）如图作 ，因 平面 ， 平面 ，
则 ，又 平面 ， ，则 平面 .
连接 ，则 为 与平面 所成的角.
由题可得 ， ， ，则 .
（3）如图，取CD中点为 ，连接AH，易得 .
则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则
.
, .设平面 法向量为 ，则 .
令 ，则 ，故取 .
则点 到平面 的距离为 .
