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— 学年度下学期高三第三次模拟考试试题
2023 2024
数学参考答案
一、
1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C
二、
9.ACD 10.BC 11.AD
三、
12.112.5 13.2π 14.①②④
四、
（）证明：连接CM
15. 1
∵AB CD，AB= CD= ，M是 AB中点
∥ 2 4
∴AM CD且 AM=CD
∥
∴四边形 AMCD是平行四边形
∴CM AD
∥
又∵QC AP，QC MC C，AP AD A
∥ ⋂ = ⋂ =
∴平面QMC 平面PAD
∥
又 QM 平面QMC
∵ ⊂
∴QM 平面PAD…… 分
∥ 3
（）证明：∵QC AP，AP 平面 ABCD
2 ∥ ⊥
∴QC 平面 ABCD
⊥
CD 平面 ABCD
∵ ⊂
∴QC CD
⊥
M是 AB中点
∴AM CD且 AM=CD
∥
π
又∵ ADC= ，
∠
2
∴平行四边形 AMCD为正方形
∴CD MC
⊥
又 MC QC C
∵ ⋂ =
∴CD 平面QCM
⊥
QM 平面QCM
∵ ⊂
∴CD QM…… 分
⊥ 7
Q Q
z
P P y
D C D C
x
A M B A M B
（）∵AP 平面 ABCD，四边形 AMCD是正方形
3 ⊥
高三数学（三模答）—
1∴AB，AD，AP两两垂直
建立直角坐标系，以 A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为 z轴
B( , , ),Q( , , ),P( , , ),D( , , )
4 0 0 2 2 3 0 0 2 0 2 0
设平面PQB的法向量n=(x ,y ,z)
1 1 1
BP=(- , , ),BQ=(- , , )
4 0 2 2 2 3
{- x + z = {z = x
- 4 x1+ 2 y1+ 0 z = ， y1= 2 -1x ，当x 1 = 1 时，法向量n =( 1 ,- 2 , 2 )…… 9 分
2 2 3 0 2
1 1 1 1 1
设平面PQD的法向量m=(x ,y ,z )
2 2 2
PD=( , ,- ),PQ=( , , )
0 2 2 2 2 1
{ y - z = ìy =z
2 x2+ 2 y2 + 0 z = ，í ï ïx 2 =- 2 3z ，当 z 2 = 2 时，法向量m =(- 3 , 2 , 2 )…… 11 分
2 2 0 î
2 2 2 2 2
2
所以平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值为：
| | | |
| cos n ,m | = | | | |n n ∙ || m m | | | |= | | | + - + 3 - 4 + + 4 + | | |= 17 …… 13 分
1 4 4 9 4 4 17
解：（）因为 b2-a2-c2= ac，所以 b=a+c，
16. 1 3 2 3
由正弦定理得， B= A+ C 分
3sin sin sin .……2
π π B π B π B
因为 C+B= 2 ，所以C= - ，同时 A=π- C+B =π- - +B = 2 -
2 ( ) [( ) ]
3 3 2 3 2 3 2
π B π B
则 B= 2 - + - …… 分
3sin sin( ) sin( ) 4
3 2 3 2
B B B B
B= 3 - -1 + 3 - 1
3sin cos ( )sin cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
B
B=
3sin 3cos
2
B B B
即 =
2sin cos cos
2 2 2
B B π
又因为B ( ,π)，所以 ，所以 = 1 ，故B= 分
∈ 0 cos ≠0 sin .……6
2 2 2 3
π B π π π π
（）由（）可知，C= - = ，A= 2 - = ，所以 ABC是直角三角形，
2 1 △
3 2 6 3 6 2
又a= ，所以c= ，b= 分
2 1 3.……8
设|BP|=m，|BQ|=n，又S = 1S ，
BPQ ABC
Δ Δ
2
所以 1mn °= 1 × 3mn = 3 ，所以mn= 分
sin60 ( ) 1.……11
2 2 2 4
在 BPQ中，由余弦定理和均值不等式可知，
△
|PQ|2=m2+n2- mn π =m2+n2- mn - =
2 cos 1≥2 1 1
3
当且仅当m=n= 时，等号成立，|PQ|取得最小值
1 1.
此时， BPQ是边长为 的等边三角形，易求得点B到直线PQ的距离为 3 分
△ 1 .……15
2
解：（）f (x) axeax，……… 分
17. 1 ′ =1-(1+ ) 1
由题意，f ( ) ( a)ea e，整理得( a)ea e，…… 分
′1 =1- 1+ =1-2 1+ =2 2
令g(x) ( x)ex，所以g (x) ( x)ex
= 1+ ′ = 2+
所以当x 时，g (x) ，g(x)单调递减，且g(x) ，
<-2 ′ <0 <0
高三数学（三模答）—
2当x 时，g (x) ，g(x)单调递增，
>-2 ′ >0
又g( ) e-2 ，g( ) ，g( ) e…… 分
-2 =- <0 -1 =0 1 =2 6
所以关于a的方程( a)ea e只有一个根，即a 分
1+ =2 =1.……7
（）由（）问可知 f(x) x ex ，所以 f (x) xex，
2 1 = (1- ) ′ =1-(1+ )
令h(x) ( x)ex g(x)
=1- 1+ =1-
进而可知h(x)在区间( )上单调递增，在区间( )上单调递减
-∞,-2 -2,+∞
且h( ) e-2 ，x 时，h(x) ，h( )
-2 =1+ >0 <-2 >0 0 =0
所以x 时，f (x) ，函数 f(x)在( )上单调递增，
<0 ′ >0 -∞,0
x 时，f (x) ，函数 f(x)在( )上单调递减，
>0 ′ <0 0,+∞
当x 时，f(x)取得最大值 f( )
=0 0 =0
所以 f(x)的值域为 分
(-∞,0].……10
又由题意n f(m)，所以 f(m) f(n) n f(n) n n ( en) nen，n
= - = - = - 1- = ∈(-∞,0]
令tx xex，x
( )= ∈(-∞,0]
所以t x ( x)ex，当x 时，t( )
′( )= 1+ =-1 ′ -1 =0
当x 时，t(x) ，t(x)在区间 单调递减，
∈(-∞,-1) ′ <0 (-∞,-1)
当x 时，t(x) ，t(x)区间 单调递增，
∈(-1,0] ′ >0 (-1,0]
所以当x 时，tx 取得最小值 1，…… 分
=-1 ( ) -e 13
当x 时，t(x) ，当x 时，tx ，且t( ) ，
∈(-∞,-1) <0 →-∞ ( )→0 0 =0
所以tx 的值域为 1 ，
( ) [-e,0]
所以 f(m) f n 的取值范围是 1 分
- ( ) [-e,0].……15
解：（）由题随机变量X的所有可能取值为 , , , , .
18. 1 0 1 2 3 4
C0C2 C0C3
P x= = 2 2 × 2 4 = 1
( 0) C2 C3
30
4 6
C1C1 C0C3 C0C2 C1C2
P x= = 2 2 × 2 4 + 2 2 × 2 4 = 7
( 1) C2 C3 C2 C3
30
4 6 4 6
C0C2 C2C1 C1C1 C1C2 C2C0 C0C3
P x= = 2 2 × 2 4 + 2 2 × 2 4 + 2 2 × 2 4 = 7
( 2) C2 C3 C2 C3 C2 C3
15
4 6 4 6 4 6
C2C0 C1C2 C1C1 C2C1
P x= = 2 2 × 2 4 + 2 2 × 2 4 = 7
( 3) C2 C3 C2 C3
30
4 6 4 6
C2C0 C2C1
P x= = 2 2 × 2 4 = 1 …… 分
( 4) C2 C3
30
5
4 6
∴ 的分布列为
X
X 0 1 2 3 4
1 7 7 7 1
P
30 30 15 30 30
∴数学期望 = × 1 + × 7 + × 7 + × 7 + × 1 = .…… 分
E(X) 0 1 2 3 4 2 7
30 30 15 30 30
（） 甲、乙两同学被同伴选择的概率均为 1 其他三名同学被选择的概率相等 比赛由
2 1 . .
3
甲同学起稿建立模型，第三次交流中甲被选择，所以第二次交流中甲未参与 设 A=“第三次交
.
高三数学（三模答）—
3流中甲被选择”，则P A =1× 2 ×1+ 2 ×1×1+ 2 ×1×1= 6 = 2 分
( ) .……11
3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 9
第n次 n n N∗ 交流中甲被选择，则第n- 次交流中甲未被选择 设第n次交流中
2 ( ≥2, ∈ ) 1 .
甲被选择的概率为P
n
则P = -P ×1=-1P +1 …… 分
n (1 n- ) n 13
1
3 3 3
P - 1 =-1 P - 1 …… 分
n ( n- ) 15
1
4 3 4
P = .
0
1
P - 1 = P - 1 × -1 n- 1= - 1 -1 n- 1
n ( ) ( ) ( )( )
1
4 4 3 4 3
∴P = 1 é - -1 n- 1 ù …… 分
n ë1 ( ) û 17
4 3
解：（）当 M 的坐标为 3 时，设过 M 点的切线方程为 y 3 kx ，与y 2＝ x联
19. 1 (-1, ) - = ( +1) 4
2 2
y2 k
立，得y 3 k ，整理得 y2 y k 3 ，
- = ( +1) - + + =0
2 4 4 2
k
令 k 3 ，解得k 或k 1 ，
Δ=1-4∙ ( + )=0 =-2 =
4 2 2
分别代入方程得y 和y ，故得 A ，B 1 ，…… 分
=-1 =4 (4,4) ( ,-1) 2
4
同时可求得直线MA的方程为y 1x ，直线MB的方程为y x 1 ，
= +2 =-2 -
2 2
进而可知k k ，即直线MA与直线MB互相垂直，
MA∙ MB=-1
则过M，A，B三点的圆的直径为线段 AB，
设该圆上任一点P的坐标为 x y ，则 AP x y ，BP x 1 y
( , ) =( -4, -4) =( - , +1)
4
所以 AP BP (x )æ x 1 ö (y )(y )
∙ = -4 è - ø+ -4 +1 =0
4
从而过M，A，B三点的圆的一般方程为x2 y2 17x y ．
+ - -3 -3=0
4
（圆的标准方程 x 17 2 y 3 2 625）…… 分
:( - ) +( - ) = 4
8 2 64
（）设切点分别为 Ax ，y ，Bx ，y ，
2 ( ) ( )
1 1 2 2
过抛物线上点 Ax ，y 的切线方程为y y k(x x)，
( ) - = -
1 1 1 1
k
与y 2＝ x联立，整理得 y2 y kx y ，
4 - - + =0
1 1
4
k
kx y ，所以k 2 ，…… 分
Δ=1-4∙ (- + )=0 = y 6
1 1
4 1
y
又因为y2 x ，从而过抛物线上点 Ax ，y 的切线方程为y y 2 x 1 ，
=4 ( ) - = y ( - )
1 1 1 1 1
1 4
即y y x x ，同理可得过点Bx ，y 的切线为y y x x ，
=2( + ) ( ) =2( + )
1 1 2 2 2 2
又切线MA，MB都过点M x ，y ，所以得y y x x ，y y x x
( ) =2( + ) =2( + )
0 0 1 0 0 1 2 0 0 2
即点 Ax ，y ，Bx ，y 均满足方程y y x x ，
( ) ( ) =2( + )
1 1 2 2 0 0
故直线 AB的方程为y y x x …… 分
=2( + ) 8
0 0
设M x ，y ，其为直线lx mm 上任意一点，
( ) : =- ( >0)
0 0
故y y x m 对任意y 成立，从而直线 AB恒过定点 m 分
=2( - ) ( ,0).……9
0 0
y2
（）由（）知y ，y 是方程y y x 的两实根，
3 2 =2( + )
1 2 0 0
4
高三数学（三模答）—
4{y y y
故有 1 + 2 =2 0，…… 分
y y x 10
=4
1 2 0
y2 y2
又x
1
，x
2
，x m
= = =-
142
4
0
所以MA MB (x x )(x x ) (y y )(y y ) m2 my2 m y2 m y2 m
∙ = 1- 0 2 - 0 + 1 - 0 2 - 0 =4 + 0 -4 - 0 =( -1)( 0 +4 )
当 m 时，MA MB ，直线 l 上任意一点 M 均有 MA MB ， MAB 为直角三角
① =1 ∙ =0 ⊥ △
形；…… 分
12
当 m 时，MA MB ， AMB π ， MAB不可能为直角三角形；…… 分
② 0< <1 ∙ <0 ∠ > △ 13
2
当m 时，MA MB ， AMB π ，
③ >1 ∙ >0 ∠ <
2
y y
因为k AB= x 1 - x 2 = y 4 y = y 2 ，k MA= y 2 = 2
1 - 2 1 + 2 0 1 y + y2 -4 x
0 0 0
所以k k 2 2
AB∙ MA= y ∙
y y2 x
0 + -4
0 0 0
若k k ，则 2 2 ，整理得(x )y2 ，
AB∙ MA=-1 y ∙ =-1 +2 =-4
y y2 x 0 0
0 + -4
0 0 0
又因为x m，所以(m )y2 ，
=- -2 =4
0 0
因为方程(m )y2 有解的充要条件是m ，所以当m 时，有MA AB，
-2 =4 >2 >2 ⊥
0
（MB AB的情况同理），
⊥
所以 MAB为直角三角形
△ .
综上所述，当m 时，直线l上任意一点M，使 MAB为直角三角形，
=1 △
当m 时，直线l上存在两点M，使 MAB为直角三角形；
>2 △
当 m 或 m 时， MAB不是直角三角形．…… 分
0< <1 1< ≤2 △ 17
高三数学（三模答）—
5
