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2025 年辽宁省初中学业水平考试
数学试卷
（本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标是
第一部分选择题
一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A B.
.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主
视图形状即可得到答案．
【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意；
C、球的主视图是圆，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D、正方体的主视图是正方形，不符合题意；
故选：A．
2. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣
传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数
法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故选C．
3. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断
即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
故选B
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学科网（北京）股份有限公司4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成
为解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色
后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等
可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
红 黄
红 (红，红) (红，黄)
黄 (黄，红) (黄，黄)
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为 ．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司6. 如图，点 在 的边 上， ，垂足为 ， ，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到 ，再根据三角形
的外角的性质，求出 的度数即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
7. 如图，在矩形 中，点 在边 上， ，连接 ，若 ， ，则 的长
为（ ）
A. 1 B. 5 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求
出 的长，进而得到 的长，推出 的长，进而求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵矩形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D.
8. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将线段 平移得到线段 ，
点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规
则，再应用于点B即可得到点D的坐标．
【详解】解：由题意，点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 的坐标为 ，即 ；
故选B．
9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问
长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽
多多少步？设这个矩形的宽为 步，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为 步，利用矩形
面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为x步，则长为 步
由题意，得： ，
故选A.
10. 如图，在 中， ， ， ， 的平分线 与 相交于点 ．在
线段 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，与射线 相交于点 和点 ，再分别以点
和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，与 相交于点 ，连
接 ．则 的周长为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知
，证明 ，得到 ， ，进而求出 的长，得到 垂直平分
得到 ，进而推出 的周长等于 的长即可．
【详解】解：由作图可知， ，设 交于点 ，则： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
故选B
第二部分非选择题
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量 记作 ，那么低于标准质量
记作___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数 实的际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“ ”
表示，那么低于标准质量就用“ ”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量 记作 ，那么低于标准质量 记作
，
故答案为： ．
12. 在电压不变的情况下，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系．当 时，
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学科网（北京）股份有限公司．则电流 与电阻 之间的函数表达式为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流 与电阻 之间的函数表达式为 ，
利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流 与电阻 之间的函数表达式为 ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位： ）的平均数和方差
如下表：
平均
运动员 方差
数
甲 601
乙 601
则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴甲的方差小于乙的方差，
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学科网（北京）股份有限公司∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲．
14. 如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取一点 ，在 处测得 ， ，则
树 的 高 约 为 ___________ （ 结 果 精 确 到 ． 参 考 数 据 ： ，
）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
在 中，由 即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
15. 如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，点 在线段 上，
，点 在线段 上， ，连接 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为
___________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得
， ，取 中点H，连接 ，则 ， ，
再用勾股定理解 即可．
【详解】解： 在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，
， ，
，
，
如图，取 中点H，连接 ，
点 为 的中点，点H为 的中点，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
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学科网（北京）股份有限公司．
17. 小张计划购进 两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知 种文创产品比 种文创产品每
件进价多3元，购进2件 种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元．
（1）求 种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件
种文创产品？
【答案】（1） 种文创产品每件的进价为 元
（2）小张最多可以购进50件 种文创产品
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关
键：
（1）设 种文创产品每件的进价为 元，根据 种文创产品比 种文创产品每件进价多3元，购进2件
种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进 件 种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设 种文创产品每件 进的价为 元，则： 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
答： 种文创产品每件的进价为 元；
【小问2详解】
设小张购进 件 种文创产品，由（1）可知， 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ；
答：小张最多可以购进50件 种文创产品．
18. 种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了
解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据
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学科网（北京）股份有限公司进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图
抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表
棵
数/ 1 2 3 4 5
棵
人
1
数/ 4 6
0
人
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求 的值；
（2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数；
（3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参
加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数．
【答案】（1）
（2）3 （3）估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为 人
【解析】
【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关
键：
（1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人
数所占的比例，求出 的值，再用总数减去其它组的数量求出 的值即可；
（2）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可.
【小问1详解】
解： （人）；
∴ ， ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
【小问2详解】
将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3，
∴中位数为3；
【小问3详解】
（人）；
答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为 人.
19. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组
开展了综合与实践活动，记录如下：
活
动
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
主
题
活
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
动
准
2．准备皮尺等测量工具．
备
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面
示意图，信息如下：
采 1．大门形状为矩形（矩形 ）；
集
数 2．底部跨度（ 的长）为 ；
据
3．立柱 的长为 ，且 ，垂
足为 ．
考虑实用和美观等因素，在 间增加两根
设
与 垂直的立柱，垂足分别为 ，
计
方 立柱的另一端点 在抛物线形框架结构
案
上，其中 ．
小组成员经过讨论，确定以点 为坐标原
点，线段 所在直线为 轴，建立如图2
确 所示的平面直角坐标系．点 的坐标为
定
，设抛物线的表达式为 ，
思
路 分析数据得到点 或点 的坐标，进而求出
抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立
柱的长度，从而解决问题．
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学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为 的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够
用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）
（2）这根材料的长度够用
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出 点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出 的坐标，进而求出 的长，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意，得： ， ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题意，可知： ，
∴ 关于 轴对称，
∵ ，
∴当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
故这根材料的长度够用．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 在线
段 上（不与点 ， 重合），过点 作 的垂线，与直线 相交于点 ，点 关于直线 的对
称点为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）设点 的坐标为 ，当 时，线段 与线段 相交于点 ，求四边形 面积的
最大值.
【答案】（1）见解析 （2）四边形 面积的最大值为 ．
【解析】
【分析】（1）先求得 ， ，得到 ， ，利用等腰直角三角形 性的质即可证明
结论成立；
（2）由题意得 ， ，根据折叠的性质得 ，
，利用等腰直角三角形的判定和性质求得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，再利用梯形的面积公式求得四边形 面积关于 的二次函数，利用二次函数的
性质求解即可．
【小问1详解】
证明：对于直线 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 面积
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴当 ，四边形 面积有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边
形 面积关于 的二次函数的解析式是解题的关键．
21. 如图，在 中， ，以 为直径作 ，与 相交于点 ．连接 ，与 相交
于点 ．
（1）如图1，连接 ，求 的度数；
（2）如图2，若点 为 的中点，且 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公
式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）连接 ，先证明 ，得到 ，由等腰三角形性质得到
，设 ，在四边形
中，由四边形内角和等于 计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明 为等边三角形，则可求 度数，再由弧长公式
即可求解．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在四边形 中，∵
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ．
22. （1）如图1，在 与 中， 与 相交于点 ， ，求证：
；
（2）如图2，将图1中的 绕点 逆时针旋转得到 ，当点 的对应点 在线段 的延长
线上时， 与 相交于点 ：若 ，求 的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，连接 ，求
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学科网（北京）股份有限公司的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角求得 ，再利用 证明 即可；
（2）由题意得 ，得到 ， ， ，作
于点 ，利用直角三角形 的性质结合勾股定理求得 ， ，证明 ，推出
，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设 ，由旋转的性质得 ，则 ，利用三角形内角和定理以
及平角的性质求得 ， ，推出 ，求得
，作 于点 ，求得 ，再求得 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ，
作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ，
由旋转的性质得 ，则 ，
∵ ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，即 ，
∴ ．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴的正半轴相交于点 ，二
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学科网（北京）股份有限公司次函数 的图象经过点 ，且与二次函数 的图象的另一个交点为 ，点 的横坐标为 ．
（1）求点 的坐标及 的值．
（2）直线 与二次函数 的图象分别相交于点 ，与直线 相交于点 ，当
时，
①求证： ；
②当四边形 的一组对边平行时，请直接写出 的值．
（3）二次函数 与二次函数 组成新函数 ，当
时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）点 的坐标为 ， 的值分别为
（2）①见解析② 或
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的
性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先求出 ， ，再分别代入 ，列出二元一次方程组，即可解答．
（2）①设直线 的解析式为 ，将 ， 分别代入，得直线 的解
析式为 ，设点E的坐标为 ，求出 ，
， ，则 ，
，即可解答．②当 时， ，
当 时， ，再分类讨论，即可解答．
（3）易得 ，当 时， 取得最小值为 ，解出 ；当
时，函数 的最大值为 ，解得 ；当 时， ，解得， 或
（舍去）， ，即可解答．
【小问1详解】
解：当 时， ，
解得 ，
∴ ，
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司将 代入 ，得 ，
∴ ，
将 ， 分别代入 ，得
，
解得 ．
答：点 的坐标为 ， 的值分别为 ．
【小问2详解】
①证明：如图，
设直线 的解析式为 ，将 ， 分别代入，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设点E的坐标为
∵ ，
∴ ，
将 代入 得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
，
∴
②如图
当 时， ，
∴ ，
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即 ，解得 ．
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ 或 ．
【小问3详解】
∵次函数 与二次函数 组成新函数 ，
∴ ，
∴当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
当 时，y随x的增大而增大．且当 时， 取得最小值．
∵当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴当 时， 取得最小值为 ，即 ，
解得 ．
∵ 时，函数 的最大值为 ，
∴当 时，函数 的最大值为 ，即 ，
解得 ；
当 时， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，化简得 ，
解得， ．
第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
