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2023 年辽宁省鞍山市中考数学真题
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）
1. 实数﹣2023的绝对值是（ ）
A. 2023 B. ﹣2023 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值 的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可．
【详解】解：几何体的左视图为：
故选D．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、 ，选项计算错误，不符合题意；
B、 ，选项计算错误，不符合题意；
C、 ，选项计算正确，符合题意；
D、 ，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正
确的计算，是解题的关键．
4. 九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：
得分/分 0 1 2 3 4
人数 1 3 4 14 8
则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）
A. 8，3 B. 8，2 C. 3，3 D. 3，2
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进
行求解即可．
【详解】解：得分为3分的人数有14人，次数最多，
∴众数为3；
将数据排序后，第15个和第16个数据均为3，
∴中位数为：3；
故选C．
【点睛】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法．
5. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg
所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方
程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方
程即可．
【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输 kg货物，由题意，得：
；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
6. 如图，直线 ，将含有 角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若 ，那么 的大小
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据含有 角的直角三角尺，得到 的值，再利用平行线的性质得到 的值，即可解答．
【详解】解： 图中是含有 角的直角三角尺，
，
，
，
，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关
键．
7. 如图， 为 的两条弦，D，G分别为 的中点， 的半径为2．若 ，则
的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，圆周角定理得到 ，勾股定理求出 ，三角形的中位线
定理，即可求出 的长．
【详解】解：连接 ，
∵ 的半径为2． ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵D，G分别为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键．
8. 如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ， ，垂直于 的直线 从
出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线 与 重合时停止运动，运动过程
中 分别交矩形的对角线 于点E，F，以 为边在 左侧作正方形 ，设正方形
与 重叠部分的面积为S，直线 的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数
关系的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 在 点左侧时的两段图象，即可得出结论．
【详解】解：当 在 点左侧，即： 时：
①当正方形 的边 在 的外部时，重叠部分为矩形，如图：
设 分别交 于点 ，
∵垂直于 的直线 从 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度平移，
∴ ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形 的边 在 的内部时，与 重叠部分即为正方形 ，如图：
由①可知： ，
∴ ，图象是一段开口向上的抛物线；
当 过点 时，即 时， 重合，此时， ；
综上：满足题意的只有B选项，
故选B．
【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想
进行求解．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年
“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次．将数据274000000用科学记数法可表示
为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【
详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
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学科网（北京）股份有限公司为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 因式分解： ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解
时，要分解到不能分解为止.
11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中
随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红
球，则口袋中红球约有________个．
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为 ，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有 个，
则 ，
答：红球的个数约为 个．
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵ 有两个不相等的实数根，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边
上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ， ，则点 的坐标
是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出
，在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关
键．
14. 如图， 中，在 ， 上分别截取 ， ，使 ，分别以 ， 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线 ，交 于点 ，过点 作
，垂足为点 ，若 ， ， ，则 的长为____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到 ，因此 ，由角平分线定义推出
，又 ，推出 ，得到 ，代入有关数据，即可求
出 的长．
【详解】由题中作图可知： 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线 的性质，等腰三角形的性质，相似三角形
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学科网（北京）股份有限公司的判定和性质，解题的关键是证明 ，得到 ，从而求出 的长，
15. 如图，在 中， ，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A
的反比例函数 的图象交AC于点E，过点E作 轴，垂足为点F．若点E为 的中点，
， ，则k的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过点 作 轴于点 ，证明 ，得 ，再根据
，可得 ，再证明 ，得到 的长，设 ，
，得到 的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得 的值，从而可得 ，再
利用勾股定理解得 ，从而求得 的值．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司轴，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
即 ，
同理可得 ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
都在反比例函数上，
，
解得 ，
，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的
点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．
16. 如图，在正方形 中，点M为 边上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋轮 得
到 ，在 、 上分别截取 、 ，使 ，连接 ，交对角线 于点 ，
连接 并延长交 于点H．若 ， ，则 的长为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题干条件可得 ，所以 ≌ ，得到 ，又证明得 ≌
， ，所以 ≌ ， ；设正方形的边长为 ，列
双勾股方程解得正方形的边长，再根据 ∽ ，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得， ≌ ，
，
,
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学科网（北京）股份有限公司，
、 是等腰直角三角形，
；
连接 、 ,
≌ ，
，
连接 ，
， ，
≌ ，
，
，
又 ， ，
≌ ， ，
连接 、 ，
， ，
≌ ， ，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
得 ，
，
解得 （舍）， ，
， ， ，
又 ∽ ，
，
，
故答案是 ．
【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出
双勾股方程计算求解是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母
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学科网（北京）股份有限公司的值代入求解．
【详解】解：
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
18. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接
BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出 DOE≌△BOF，得到
OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边△形，进而利用对角线互
相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
【详解】∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在 EOD和 FOB中，
△ △
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形BFDE为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出
OE=OF是解题关键．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永
不过时．某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动．评比结果共分为四项： ．非凡创
意； ．魅力色彩； ．最美设计； ．无限潜力．参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项．活动结束
后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）本次评比活动中，全校有 名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“ ．非凡创
意”奖的学生人数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） 人
【解析】
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中获得“ ．无限潜力”的有 人，占调查人数的 ，由频
率等于频数除以总数可求出调查人数；
（2）求出样本中获得“ ．魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中获得“ ．非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获得“A．非凡创意”奖的学
生所占的百分比，进而求出相应的人数．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解： (名)，
故答案为： ；
【小问2详解】
样本中获得“ ．魅力色彩”的人数为： (名)，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解： (人)．
答：全校有 名学生中获得“ ．非凡创意”奖的学生大约有 人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，从统计图中获取信息，是解题的关键．
20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，
并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间
玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”
“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气
的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的
方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为 ．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面 垂直于地面
，遮阳棚与墙面连接处点 距地面高 ，即 ，遮阳棚 与窗户所在墙面 垂直，即
．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为 (若经过点 的光线恰好照射在地
面点 处，则 )，为使正午时窗前地面上能有 宽的阴影区域，即 ，求遮阳棚的
宽度 ．(结果精确到 ．参考数据： )
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学科网（北京）股份有限公司【答案】遮阳棚的宽度 约为
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据垂直定义可得 ，从而可得四边形
是矩形，然后利用矩形的性质可得 ， ， ，从而可得
，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差
关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
，
遮阳棚的宽度 约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
22. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ， ，过点A作 轴
交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使 ，连接 ， ．若 的面积是6．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）点P为第一象限内直线 上一点，且 的面积等于 面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，可得三角形面积之比，计算出 的面积，面积乘2即为 ，解
析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线 的解析式为 ，设符合条件的点 ，利用面积的倍数关
系建立方程解出即可．
【小问1详解】
解：∵ ， 的面积是6，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵图象在第二象限，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ；
【小问2详解】
∵点 ， ，在 的图象上，
∴ ， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴交x轴于点C，
∴ ，
∴ ，
设直线 上在第一象限的点 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
六、解簎题（每小题10分，共20分）
23. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，过点D作 ，交 的延长线于点
F，交 的延长线于点E，连接 ．若 ．
（1）求证： 为 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据同角的补角相等，得到 ，等角的余角相等，得到
， 等 边 对 等 角 ， 得 到 ， 推 出 ， 得 到
，即可得证；
（2）连接 ，推出 ，利用锐角三角函数求出 的长，设 的半径为 ，证
明 ，列出比例式进行求解即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
又 为 的半径，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
连接 ，则： ，
∵ 为 的直径，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和
性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为 6
元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播
销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求 与 的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
第26页/共40页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）当销售单价定为 元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为 元
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设销售销这种荔枝日获利 元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
【小问1详解】
解：设 与 的函数解析式为 ，
∵改函数图象经过点 和点
∴
解得：
∴ 与 的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：设销售销这种荔枝日获利 元，
根据题意，得，
，对称轴为直线 ，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵销售价格不高于18元/kg，
当 时， 有最大值为 元，
当销售单价定为 时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为 元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司七、解答题（本题满分12分）
25. 如图，在 中， ， ，点D是射线 上的动点（不与点B，C重合），连
接 ，过点D在 左侧作 ，使 ，连接 ，点F，G分别是 ， 的中点，
连接 ， ， ．
（1）如图1，点D在线段 上，且点D不是 的中点，当 ， 时， 与 的位置关系
是________， ________．
（2）如图2，点D在线段 上，当 ， 时，求证： ．
（3）当 ， 时，直线 与直线 交于点N．若 ， ，请直接写出线段
的长．
【答案】（1）垂直，
（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）连接 并延长交 于 ，根据等腰三角形的判定和性质，推出 ，四点共圆，
进而得到 ，推出 与 垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到
第28页/共40页
学科网（北京）股份有限公司，证明 ，得到 ，即可得出结果；
（2）作 于 ，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，同（1）推出 ，
得到 ，进而得到 ，变形得到 ，再根据等腰
三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；
（3）分点 在线段 上和在线段 的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【小问1详解】
解：连接 并延长交 于 ，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 垂直；
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
第29页/共40页
学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：垂直， ；
【小问2详解】
作 于 ，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
∵ ，
第30页/共40页
学科网（北京）股份有限公司∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，四点共圆，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是梯形 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
①当点 在 上时，作 于 ，作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交
的延长线与点 ，
由（2）知： 为等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
②当点D在 的延长线上时，作 于 ，作 于点 ，作 ，交 的延长
线与点 ，
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学科网（北京）股份有限公司同①可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即： ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查几何 的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等
边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的
关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形．
八、解答题（本题满分14分）
26. 如图1，抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，点E为第一象限内抛物线上一
动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线 与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线 轴，交 于点F，连接
．当 时，求点E的横坐标．
（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点， 与 交于点M．若 ， ，求点E
的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过 ， 向 轴作垂线，垂足为 ， ，根据 证得 ，从而
，设 点坐标，分别表示出 ， 坐标，再列方程求解即可；
（3）将 平移到 ，连接 ，则 ；过 作 于 ，过 作
轴于 ，过 作 交延长线于 ，延长 交 轴于 ，设 ，则 ，
， ，由 可得 ，从而 ，设 由
可得 ， ， ，再求出 点坐标为 ，代入抛物线
解析式中即可求得 或 ，从而可得 点坐标 ．
【小问1详解】
解：把 和 代入到解析式中可得
，解得 ，
抛物线的解析式为： ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
直线 中，令 可得 ，
直线 中，令 ，可得 ，
分别过 ， 向 轴作垂线，垂足为 ， ，
根据题意可得 ，
轴， 轴，
和 为直角三角形，
在 和 中，
，
，
，
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
， ，
从而 ， ，
则有 ，解得 （舍去），或 ，
故点 的横坐标为： ；
【小问3详解】
将 平移到 ，连接 ，则四边形 为平行四边形， ，过 作
于 ，过 作 轴于 ，过 作 交延长线于 ，延长 交 轴于 ，
，
可设 ，则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，
轴，
，
，
， ， ，
， ， ，
，
， ，
，
，
， ，则 ，
， ，
，
代入抛物线解析式中有： ，
解得： 或 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ．
【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定
与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行
计算，构造相似三角形解决问题．
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