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专题强化：碰撞模型拓展
题型分类
题型一 滑块-弹簧模型
1.模型图示(如图所示)
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为0，则系统动量守恒。
(2)机械能守恒：系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性
碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为0，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
1.(2026·河南新乡·模拟预测)如图甲所示，物块A与物块B之间通过一根轻质弹簧栓接，静置在光滑的水
平地面上，物块B与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，t=0时解除锁定。规定向右为
正方向，物块A在一段时间内运动的v-t图像如图乙所示，已知物块A的质量为m，则 ( )
A. 物块B的质量为2m
B. t 时刻弹簧处于原长
2
1
C. t ∼t 时间内，弹簧弹性势能的最大值为 mv2
1 3 6 0
D. t ∼t 时间内，物块A运动的位移大小为 v 0t 3 -t 1
1 3
1
4
2.(2026·福建南平·二模)(多选)如图(a)，质量分别为m 、m 的两个小球A、B拴接在一根轻弹簧的两端，
A B
并静止在光滑的水平地面上。给小球A一个水平向右的初速度v 压缩弹簧，此后小球A、B的速度与冲
0
量大小的关系图像如图(b)所示，图中v 、I 已知，则 ( )
0 0A. m >m
A B
1 1 v
B. + = 0
m m I
A B 0
C. 从开始运动到A、B共速时B球的动能变化量为v I
0 0
1
D. A、B共速时弹簧的弹性势能最大，其最大值为 v I
2 0 0
题型二 滑块-斜面(曲面)模型
1.模型图示(如图所示)
2.模型特点
(1)上升到最大高度：滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v ，此时滑块的竖直速度v =0。系统水平方
共 y
1 1
向动量守恒，有mv =(M+m)v ；系统机械能守恒，有 mv2= (M+m)v2 +mgh，其中h为滑块上
0 共 2 0 2 共
升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势
能)。
(2)返回最低点：滑块与斜(曲)面分离点。系统水平方向动量守恒，有mv =mv +Mv ；系统机械能守
0 1 2
1 1 1
恒，有 mv2= mv2+ Mv2(相当于弹性碰撞)。
2 0 2 1 2 2
1.(2026·安徽亳州·模拟预测)(多选)质量为m =3m的物块A以一定速度v 在光滑的水平面运动，在其
A 0
1
右侧有一质量为m =m的物块B其曲面为光滑 圆弧，半径为R，最低点与水平面相切。A恰好滑
B 4
到B的圆弧最高点，重力加速度为g。v 未知。则下列说法正确的是 ( )
0
A. A和B动量守恒
2B. A的初速度v =2 2gR
0
C. B的最大速度为3 2gR
D. 若A的初速度增大为2v ，A从B最高点飞出再落回过程，B的位移为12 3R
0
2.(2025·辽宁沈阳·三模)(多选)如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面
上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小
球与滑块的速度大小分别为v 、v ，作出图像如图乙所示，重力加速度为g=10m/s2，不考虑任何阻力，则
1 2
下列说法正确的是 ( )
A. 小球的质量为2M
2
B. 小球运动到最高点时的速度为 m/s
3
1
C. 小球能够上升的最大高度为 m
30
D. 小球在与圆弧滑块分离后相对地面向右做平抛运动
题型三 滑块-木板模型
1.模型图示(如图所示)
2.模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。
3.求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q=FΔx或Q=E -E ，研究对象为一个系统。
f 初 末
31.(2026·安徽合肥·二模)(多选)如图甲所示，光滑的水平地面上静置一长木板，木板的左端有一个可视为
质点的滑块。现给滑块一水平向右的初速度v ，此后滑块和木板的动能随各自位移变化的图像如图乙
0
所示，最终滑块恰停在木板的右端。下列说法正确的是 ( )
A. 滑块与木板的质量之比为2∶3 B. 木板的长度为14 m
1 1
C. 滑块与木板间的滑动摩擦力大小为3 N D. 滑块的速度减为 v 时，木板的速度为 v
2 0 3 0
2.(2026·山东淄博·二模)(多选)如图甲，O为光滑绝缘水平面上的一点，以O为原点、水平向右为正方向建
立x轴。在0≤x≤d的区域内存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里。
质量为m、长为d的绝缘板静止在光滑水平面上，其左端位于O点。一质量为m、带电量为-q的小物块
以大小为2v 的初速度从左端滑上绝缘板，物块相对地面运动的速度v随x变化的关系如图乙所示。已
0
知物块与板间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，物块可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，
则 ( )
A. 物块从O点运动到x=d位置的过程中，物块做匀减速直线运动
3mv2
B. 物块从O点运动到x=d位置的过程中，物块和板组成的系统产生的热量为 0
4
mg
C. 匀强电场的电场强度大小为
q
mv
D. 匀强磁场的磁感应强度大小为 0
2μqd
4题型四 子弹打木块模型
1.模型图示(如图所示)
2.模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3.两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv =(m+M)v，
0
1 1
能量守恒：Q=F·s= mv2- (M+m)v2。
f 2 0 2
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv =mv +Mv ，
0 1 2
1 1 1
能量守恒：Q=F·d= mv2- mv2+ Mv2。
f 2 0 2 1 2 2
1.(2026·河北保定·一模)(多选)如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为
1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小
车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之
后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距
小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是
( )
A. 子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s
7
B. 滑块B离开小车瞬间的速度大小为 m/s
3
C. 小车粗糙水平面的长度为1.9m
3
D. 滑块B离开小车后再下落到与小车顶端等高时，距离顶端 m
5
52.(2026·福建厦门·模拟预测)如图所示，光滑水平面上放置木板A，木板A的上表面光滑，其左端放置一可
视为质点的物块C，木板A左侧一定距离处放置带有光滑轻质定滑轮的物块B。一根轻质弹性绳绕过
定滑轮，两端分别与木板A和物块C相连，且滑轮两侧的弹性绳均保持水平，初始时系统处于静止状态，
弹性绳处于原长。一质量为m的子弹以初速度v 水平向右射入C并留在其中(作用时间极短)。已知
0
木板A的质量为2m，物块B的质量为2m，物块C的质量为m，在研究过程中A、B未发生碰撞，且C未
从A上滑落，弹性绳的形变始终在弹性限度内。求：
(1)子弹射入C的过程中产生的热量；
(2)当A的速度大小为v 时，B的速度大小；
A
(3)弹性绳伸长到最长时的弹性势能；
(4)弹性绳刚好恢复原长时B的速度。
6巩固训练
1.(2026·山西晋中·三模)(多选)如图所示，机械加工厂中将做好的质量为m的球形工件在高为H的左侧平
台边缘处静止释放，工件沿光滑轨道滑入质量为3m的半圆形圆槽。圆槽可自由移动，圆槽最低点与地
面高度差不计。圆槽与右侧平台接触时，小球刚好到达圆槽右侧最高点且相对圆槽速度为零被右侧平
台上的人接住，右侧平台高度与圆槽圆心O点等高，不计一切摩擦和人的高度，小球可看作质点，重力加
速度为g，则 ( )
gH
A. 小球到达右侧平台被接住时速度大小为
4
2gH
B. 小球到达右侧平台被接住时速度大小为
4
3
C. 右侧平台的高度为 H
5
3
D. 右侧平台的高度为 H
4
2.(2026·江西宜春·一模)如图，一质量为M=1kg的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R=0.4m
的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为m=2kg小球以水平向右的初速度v =6m/s
0
从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过t=0.1s小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加
速度为g取10m/s2。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是 ( )
A. 1.63 m B. 1.73 m C. 1.83 m D. 1.93 m
1
3.(2026·新疆乌鲁木齐·二模)(多选)如图所示，质量为2m的 光滑圆弧轨道静止在光滑水平面上，轨道
4
半径为R，质量为m的小球以 6gR的速度从左端滑上轨道，冲出轨道后能再次落回轨道。已知重力加
速度大小为g，下列说法正确的是 ( )
7A. 小球冲出轨道后做竖直上抛运动
B. 小球能上升的最大高度为2R
2m 6gR
C. 小球冲上轨道过程中，轨道的动量变化量大小为
3
2 6gR
D. 轨道最终做匀速直线运动的速度为
3
4.(2026·湖南·模拟预测)如图所示，一质量为M的正方体装置固定在光滑水平面，其竖直面内有一半径为
R的光滑环形管道，R远大于管道的横截面直径，管道内有一质量为m小球，直径略小于管道横截面直
径。M=2m，重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A. 小球在最高点A受轻微扰动无初速度下滑，小球到达管道最低点B时装置对地面的压力大小6mg
B. 小球在最高点A受轻微扰动无初速度下滑，运动到与水平方向夹角为37°的C点时，小球对装置压力
大小为3.6mg
2
C. 若装置解除固定，小球仍从最高点A无初速度下滑，装置偏离原位置的最大距离 R
3
D. 若装置解除固定，小球从最低点B以水平向右的速度v = 7gR开始运动，小球到达最高点时刚好与
0
装置无弹力
5.(2026·广东湛江·二模)如图(俯视图)，水平面上固定着两块平行且内壁光滑的钢板A、B，质量为m的光
滑圆管abcd静止在水平面上，恰好夹在两钢板间，直径ac平行钢板、直径bd垂直钢板，圆管可以左右自
由滑动，圆管中有一质量为m的光滑小球(球直径略小于管径)，小球静止在圆管的最右端a处。某时刻
小球获得一垂直指向钢板A的初速度v ，下列说法正确的是 ( )
0
8A. 小球从a端运动到b端的过程，圆管对小球的冲量为0
B. 小球从a端运动到c端的过程，圆管对小球的冲量为0
v
C. 小球到达b端时，小球和圆管的速度大小均为 0
2
2
D. 小球到d端时，小球和圆管的速度大小均为 v
2 0
6.(2026·北京海淀·二模)光滑水平面上，用轻质橡皮条将两物块甲和乙相连，橡皮条处于松弛状态。物块
甲受到一水平向左的瞬时冲量I ，同时物块乙受到一水平向右的瞬时冲量I(I 和I 沿两物块连线方向)。
1 2 1 2
从橡皮条刚达到原长时开始计时，此后t 时间内，两物块运动的速度v随时间t变化关系如图所示。橡
0
皮条始终处于弹性限度内。下列说法正确的是 ( )
A. 物块甲的质量大于物块乙的质量
B. 瞬时冲量I 的大小等于瞬时冲量I 的大小
1 2
C. 0~t 内，橡皮条对物块甲做负功、对物块乙做正功
0
D. 0~t 内，物块甲的动能变化量等于物块乙的动能变化量
0
7.(2026·河南·模拟预测)(多选)如图所示，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以恒定
速率v顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2v，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长。t=t
1
时，A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能为E 。已知A、B可视为质点，质量均为m，与传送带的动摩
p
擦因数均为μ；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取g，A、B始终在传送带上，弹簧始
终在弹性限度内，则 ( )
A. 0∼t 过程，A、B的位移相等
1
B. 在t=t 时，A、B的速度不相同
1
91
C. 在t=t 时，弹簧的压缩量为 mv2-E
1 μmg p
10
1
D. 0∼t 过程，A在传送带上留下的划痕长度大于 vt
1 2 1
8.(2026·江苏徐州·模拟预测)如图所示，在研究钢板防御穿甲能力的实验中，一块钢板被锁定在光滑的水
平面上，子弹以水平方向的初速度射入钢板，恰好能穿过．现解除锁定，让子弹以相同的初速度射向钢
板，假设子弹穿入钢板过程中受到的阻力恒定，子弹射入钢板过程中 ( )
A. 子弹对钢板的水平冲量比锁定时的小 B. 子弹对钢板的水平冲量和锁定时的一样大
C. 钢板对子弹做的功比锁定时的多 D. 钢板对子弹做的功和锁定时的一样多
9.(2026·内蒙古赤峰·一模)(多选)滑板运动现在已经成为风靡全球的青少年时尚运动，代表着自由、创意
与挑战极限的精神。如图甲，一名滑手以水平速度v 从左侧滑上静止的滑板，一段时间后速度变为v ，
0 1
滑手的v-t图像如图乙所示。已知滑板质量为m，重力加速度为g，忽略滑板与地面间的摩擦，利用以
上信息可求出的物理量是 ( )
A. 滑手的质量 B. 滑手鞋底与滑板的相对位移
C. 滑手鞋底与滑板的动摩擦因数 D. 滑手鞋底与滑板因摩擦而产生的热量
10.(2026·陕西延安·二模)足够大的光滑水平面上，一根不可伸长的细绳一端连接着质量为m =1.0kg的物
1
块A，另一端连接质量为m =1.0kg的长木板B，绳子开始是松弛的。质量为m =1.0kg的物块C放在
2 3
长木板B的右端，C与长木板B间的滑动摩擦力的大小等于最大静摩擦力大小。现在给物块C水平向
左的瞬时初速度v =2.0m/s，物块C立即在长木板B上运动。已知绳子绷紧前，B、C已经达到共同速
0
度；绳子绷紧后，A、B总是具有相同的速度；物块C始终未从长木板B上滑落。下列说法正确的是
( )
A. 绳子绷紧前，B、C的共同速度大小为2.0m/s
B. 绳子刚绷紧后的瞬间，A、B的速度大小均为0.5m/sC. 绳子断开后的瞬间，A、B的速度大小均为1.0m/s
D. 最终A、B、C三者将以大小为5m/s的共同速度一直运动下去
11.(2026·安徽铜陵·一模)如图，木板m 足够长，静止在光滑水平地面上，物块m 静止在木板右侧，m 左端
1 3 3
固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧处于自然状态。滑块m 以水平向右的速度v 滑上木板m ，m 与
2 0 1 2
m 速度相等时m 刚好与弹簧接触，此后再经过时间t 弹簧压缩量最大，并且m 与m 恰好能始终保持
1 1 0 2 1
相对静止。已知m 、m 和m 的质量均为m，弹簧始终处在弹性限度内，弹性势能E 与形变量x的关系
1 2 3 p
1
为E = kx2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法不正确的是 ( )
p 2
1
A. 木板刚接触弹簧时速度v = v
1 2 0
2m
B. 弹簧的最大压缩量x =v
m 0 3k
v t 2v m
C. 弹簧压缩量最大时，m 的位移大小为x = 0 0 - 0
3 3 3 3 6k
v k
D. m 与m 间的动摩擦因数μ= 0
2 1 2g 6m
12.(2026·湖北孝感·二模)如图所示，质量为m =1kg的木板放在水平地面上处于静止状态，木板左、右两端
1
固定竖直挡板M、N。质量为m =1kg的木块开始时位于木板正中间的标记点A处，木块可视为质点。
2
当木板被锁定时，木块以v =3m/s的初速度向右运动并与挡板N、M各碰撞一次，最后恰好回到标记点
0
A处。假设每次碰撞时间极短且不损失能量，木块与木板间的动摩擦因数为μ=0.6，重力加速度大小g
取10m/s2。
(1)求木板的长度l；
(2)解除木板锁定，若地面光滑，要使木块还能与挡板N、M各碰撞一次后恰好回到标记点A处，求木块
的初速度大小v ；
1
(3)解除木板锁定，若木块光滑，木板与地面间的动摩擦因数为μ =0.5，当木块以v =5m/s的初速度向
1 2
右运动，求最终木块与挡板N的距离Δx。
1113.(2026·广东广州·三模)如图，AB是倾角为30°的斜轨道，BC是以恒定速率v 顺时针转动的水平传送
0
带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同
一高度，各连接处平滑过渡。现有质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传
送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为 μ，其余接触面均光滑。已知R=
0.36m，L=1.6m，v =5m/s，m=0.2kg，M=1.8kg，μ=0.25，重力加速度取g=10m/s2。不计空气阻
0
力，物块视为质点，传送带足够长。求：
(1)物块滑到B点处的速度大小；
(2)物块从B到C点过程因摩擦产生的热量；
(3)物块到达圆弧轨道最高点时对轨道的压力。
121
14.(2026·江西宜春·二模)一光滑水平面上静止着由两个半径为R=0.5m的 光滑圆弧组合而成的轨道
4
P，轨道末端与水平面相切，轨道质量为M =4kg，P的左侧有一质量为M =4kg、倾角为θ=37°的光滑
1 2
斜面，斜面处于静止且末端与水平面平滑接触，斜面总长度L=5.85m。连接轻弹簧质量为m =2kg的
A
A物块锁定在斜面上C处，C距离斜面顶端D的距离为s=0.53m，轻弹簧处于原长且末端刚好处于斜
面底端，弹簧劲度系数k=90N/m，一质量为m =2kg 的滑块B从P的右侧以初速度v =4m/s滑上
B 0
P，能通过P的最高点，之后从P的另一侧沿轨道滑到水平面，一段时间后冲上斜面，当弹簧被压缩到最
短时物块B被锁定在斜面上，同时物块A解除锁定，当弹簧恢复原长时，A与弹簧断开连接，最终A从
斜面顶端飞出。忽略空气阻力的影响，不考虑物块的大小，圆弧槽和斜面均不固定，g=10m/s2，弹簧弹
1
性势能表达式E = kx2，x为形变量。求：
P 2
(1)B 重新滑到P底端时，B 与P的速度大小；
(2)弹簧被压缩至最短时的压缩量x；
(3)物块 A 落地时，距离斜面左端的水平距离。
1315.(2026·山东泰安·模拟预测)如图所示，在光滑的水平面上有A、B、C三轨道，轨道A为上表面光滑的“L”
形平台，A的上方有一与其等长的轻质弹簧，弹簧左端固定在A左侧挡板上，右端自然伸长；轨道B为上
表面粗糙、质量M =1.8kg、长L=4.0m的长木板，轨道A、B上表面平滑相接；轨道C为半径R=
B
1.2m、质量M =3.6kg的竖直光滑半圆轨道，半圆轨道最低点在圆心O点正下方，且与轨道B上表面平
C
齐。锁定轨道A、C，用质量m=1.8kg的小物块D(可视为质点)将弹簧压缩至P点，此时弹簧的弹性势
能为72.9J，然后由静止释放小物块D，D与长木板B上表面间的动摩擦因数μ=0．45，B与C发生碰
撞时，D恰好运动到B的最右端。已知重力加速度g=10m/s2。
(1)求小物块D沿轨道C上升的高度H；
(2)在(1)中，若轨道B与C刚要相碰时，解除对轨道C的锁定，同时调整轨道C的半径R，使B、C发生
碰撞(碰撞性质不确定，且B、C不会粘连)后，小物块冲上轨道C并恰好能沿轨道到达与圆心O等高处，
求轨道C的半径R的最大值。
14
