数 学试卷
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答
题卡上. 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项
中, 只有一 项是符合题目要求的.
{ | 1}
1. 集合 A= x 4x> ,B={x∣∣x−1∣>2} ,则 A∩(∁ B)= ( )
2 R
1
A. {x∣x<− } B. {x∣x>3}
2
1 { | 1 }
C. {x∣− <x≤3} D. x − ≤x≤3
2 2
2. 2026 年 1 月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适
度宽松货币政策的延续. 某数学兴趣小组通过调查, 整理出下表数据, 并进行统计学
分析. 下表为某银行近年人民币一年定期存款的利率:
时间 2019年 2020 年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年
利率 1.50% 1.75% 1.75% 1.55% 1.85% 1.65% 1.50%
%
关于表中的 7 个存款利率数据, 下列结论正确的是 ( )
A. 数据的极差为 0.25% B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势
C. 七年的平均利率为 1.75% D. 利率的第 80 百分位数为 1.75%
1 1
3. 已知 sin(α+β)= ,且 sinα= ,则 sin(α−β)= ( )
3 2cosβ
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 3 34. 从整数 1,2,⋯,12 中任取三个不同的数,则这三个数能构成公比大于 1 的等比
数列的概率为 ( )
1 1 3 1
A. B. C. D.
44 55 220 110
(1 )
5. 已知函数 f (x)=ae−x+lnx 在区间 ,2 上单调递减,则实数 a 的最小值为 (
2
)
e2
A. e2 B. C. 2√e D. e
2
1
6. 已知曲线 C:x=2√1−y2 ,若直线 y= x+m 与曲线 C 有两个不同的公共点,则
2
m 的取值范围是
A. (−√2,√2) B. [1,√2) C. (−1,1) D. (−√2,−1]
7. 在棱长为 a 的封闭正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内放置两个球,两球相切,
且每个球与正方体体的三个面均相切,若两球半径之和为 √3 ,则棱长 a 的值为
( ) A. √3+1 B. √3+1 C. 2√3 D. √3+2
8. 定义复数数列 {z } 满足 2z =z +in ,其中 z 为 z 的共轭复数,且 z =1 ,则
n n+1 n n n 1
1 1
A. z =− + i
3 4 4
1
B. 当 n≥4 时, z +z = (z +z )
n+1 n+3 16 n−3 n−1
3 1
C. z +z = + i
2026 2028 22026 22026
D. z 在复平面内对应的点随着 n 的增大,将会越来越靠近一个定点
n
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项
中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0
分.
9. 若 (3x+1)(x−2) n=a +a x+a x2+⋯+a x6 (a ≠0) ,则 ( )
0 1 2 6 6
A. n=5 B. a =−200
3
C. a +a +⋯+a =28 D. a +2a +3a +⋯+6a =23
1 2 6 1 2 3 6( π)
10. 函数 f (x)=tan(ωx+φ) ω>0,|φ|< 的图象如图所示,图中阴影部分的面积为
2
3π ,则下列结论正确的是 ( )
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 π
5π
B. φ=−
12
( 11π )
C. 函数 f (x) 图象的对称中心为 kπ+ ,0 (k∈Z)
12
{ | 5π 2π kπ }
D. 方程 f (x)=sin(2ωx+2φ) 的解集为 x x= +kπ或 + ,k∈Z
12 3 2
11. 已知函数 f (x)=(lnx) 2−tx2 有三个零点 x ,x ,x (x <x <x ) ,则 ( )
1 2 3 1 2 3
1
A. 0<t<
e
B. 若 x ,x ,x 成等比数列,则 −lnx ,lnx ,lnx 成等比数列
1 2 3 1 2 3
C. 若 x ,x ,x 成等比数列,则存在 m ,使得 mxm+1=1
1 2 3 1
D. (x +x )x >e2+1
1 3 2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 平面向量 a,b 满足: |a|=1,|b|=2,(2a+3b)⋅(a+b)=16 ,则 a 与 b 的夹角的余
弦值是_____.
13. 如图,在平面直角坐标系中,已知圆 C 和圆 C 均与直线 l:y=kx 及 x 轴相
1 2
切,且圆 C 和圆 C 相切于点 (4,2) ,则两圆的半径之和为_____.
1 2
14. 将数组 M 中的数填入 3×3 的方格表中,每个小方格填一个数,如果能使得每
行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等,那么称 M 为理想数组. 下列数组
中,理想数组的个数为_____.
①1,2,3,4,6,9,12,18,24； ②1,2,3,4,6,9,12,18,36；
③1,3,5,9,15,25,45,75,225； ④1,3,5,9,15,25,45,75,135.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知
√3c=asinB+√3acosB .
(1)求 A 的值.
(2)若 △ABC 外接圆半径 R=√3 ，且 b=√3 ，求 △ABC 的面积.
16. (15分)如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是正方形， PD⊥ 平面
ABCD ， PD=AD=2 . 已知 E,F 分别为 PA,PC 的中点,平面 DEF 与棱 PB 交
于点 G .
(1)求证: PB⊥ 平面 DEF .
(2)求平面 CDG 与平面 PAB 夹角的余弦值.
17. (15 分) 已知函数 g(x)=xlnx+ax2+2 有两个极值点 x ,x .
1 2
(1)求实数 a 的取值范围.
3
(2)若 x <x ，求证: <g(x )<2 .
1 2 2 1
18. (17 分) 已知曲线 C:(1−x) 2=(1−y2)(1+x) .
(1)证明:曲线 C 是轴对称图形.(2)若直线 y=kx 与曲线 C 有三个不同的交点 A(x ,y ) ， B(x ,y ) ， C(x ,y )
1 1 2 2 3 3
|AB|
，且 x <x <x ，求 的取值范围.
1 2 3 |BC|
(3)当 x≥0 时,判断并证明过点 (1,0) 的直线 l 与曲线 C 的公共点的个数.
x x+1 1
19. (17分)给定两个函数 f (x)= ， f (x)= . 若 x = ，且 x =f (x ) 或
1 2 2 2 0 2 n 1 n−1
1 2
x =f (x ) 的概率均为 ,n∈N∗ . 记 x < 的概率为 P .
n 2 n−1 2 n 3 n
(1)求 P ,P .
1 2
(2)求 P .
n
1 1 1 7
(3)令 a =2nP ,证明: + +⋯+ < .
n n a a a 4
1 2 n
参考答案
1 1 { | 1}
1. C 由不等式 4x> =2−1 ,可得 x>− , 所以 A= x x>− .
2 2 2
又由 |x−1|>2 ,可得 x−1>2 或 x−1<−2 ,
解得 x>3 或 x<−1 ,
所以 B={x∣x>3 或 x<−1} ,
所以 ∁ B={x∣−1≤x≤3} ,
R
{ | 1 }
所以 A∩(∁ B)= x − <x≤3 .
R 2
故选C.
2. D由数据可知, 七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故 B 错误；
利率从小到大排列为 1.50%,1.50%,1.55% ,
1.65%,1.75%,1.75%,1.85% ,
则数据的极差为 1.85%−1.50%=0.35% ,
故 A 错误;
七年的平均利率为 (1.50%+1.50%+1.55%+1.65%+1.75%+1.75%+1.85%)÷7=1.65% 故 C 错误;
因为 7×80%=5.6 ,所以利率的第 80 百分位数是第 6 个数,即 1.75% ,故 D 正确.
故选D.
1 1
3. D 因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ,且 sinαcosβ= , 所以
3 2
1 2
cosαsinβ=− , 从而 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ= . 故选 D.
6 3
4. A根据题意,从整数 1,2,⋯,12 中任取三个不同的数,有 C3 =220 种组合,而其中
12
公比大于 1 的等比数列有 {1,2,4},{1,3,9},{2,4,8} , {4,6,9},{3,6,12} ,共 5 种,
5 1
所以 P= = . 故选 A.
220 44
1
5. B 由已知得 f′(x)=−ae−x+ ,
x
(1 )
因为 f (x) 在区间 ,2 上单调递减，
2
(1 )
所以 f′(x)≤0 在 ,2 上恒成立,
2
即 −ae−x+ 1 ≤0 ,解得 a≥ ex ,x∈ (1 ,2 ) .
x x 2
ex (x−1)ex
令 g(x)= ,则 g′(x)= . 令 g′(x)=0 ,得 x=1 .
x x2
(1 )
当 x∈ ,1 时, g′(x)<0,g(x) 单调递减, 当 x∈(1,2) 时, g′(x)>0,g(x) 单调递增.
2
(1) e2
又 g =2√e<g(2)= ,
2 2
e2
所以 a 的最小值为 .
2
故选 B.
x2
6. D 曲线 C:x=2√1−y2 变形得 + y2=1(x≥0) ,所以曲线 C 表示 y 轴右侧的
4
部分椭圆 (含 y 轴上两点),如图所示:1
{y= x+m,
2
联立
x2
+ y2=1,
4
整理得 2y2−2my+m2−1=0 ,
Δ=4m2−8(m2−1)=8−4m2=0 ,得 m=±√2 ,
1
所以直线 y= x+m 与曲线 C 相切时, m=−√2 ,
2
1
当直线 y= x+m 经过点 (0,−1) 时, m=−1 .
2
1
由数形结合可知,直线 y= x+m 与曲线 C 有
2
两个不同的公共点时, m∈(−√2,−1] .
故选 D.
7. A 设两个球的半径分别为 R 和 r ,
1
不妨设 R≥r ,则 R≤ .
2
由题意可知, √3(R+r)+(R+r)=√3a ,
即 (R+r)(√3+1)=√3a ,
因为 R+r=√3 ,所以 a=√3+1 .
故选 A.
8. B因为 2z =z +in ,
n+1 n
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 z = z + in,z = z + in−1 , z = z + in−2,z = z + in−3, 所以
n+1 2 n 2 n 2 n−1 2 n−1 2 n−2 2 n−2 2 n−3 2
1 1 1 1 1
z = z + in−3+ in−2+ in−1+ in,
n+1 16 n−3 16 8 4 2
1 1 1 1 1
z = z + in−1+ in+ in+1+ in+2.
n+3 16 n−1 16 8 4 2因为 in+in+2=0,in+in+2=0 ,
1
所以 z +z = (z +z ) ,故 B 正确.
n+1 n+3 16 n−3 n−1
1 1
因为 z =1 ,所以 z = + i ,
1 2 2 2
1(1 1 ) 1 1
z = − i−1 =− − i,
3 2 2 2 4 4
1( 1 1 ) 1 3
z = − + i−i =− − i,
4 2 4 4 8 8
1
所以 z +z = (z +z )=
2026 2028 24 2022 2024
1 1
(z +z )=⋯= (z +z )=
28 2018 2020 22024 2 4
上下右 1 1 1正 1 1
= + i= = + i ,
22024 2 8 22027 22027
故 A,C 错误。
1 3 3
当 n=4k 时, z = z + + i ,
4k+1 16 4k−3 8 16
(2 1 ) 1 [ (2 1 )]
z − + i = z − + i ,
4k+1 5 5 16 4k−3 5 5
| (2 1 )| 1 | (2 1 )|
所以 z − + i = z − + i ,
4k+1 5 5 16 4k−3 5 5
1 (3 1 ) 2 1
所以 z = − i + + i ,
4k+1 24k 5 5 5 5
(2 1)
当 k 越来越大时, z 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 , .
4k+1 5 5
1 3 3
当 n=4k+2 时, z = z + + i ,
4k+2 16 4k−2 16 8
(1 2 ) 1 [ (1 2 )]
所以 z − + i = z − + i ,
4k+2 5 5 16 4k−2 5 5
1 [ (1 2 )] 1 2
所以 z = z − + i + + i .
4k+2 24k 2 5 5 5 5(1 2)
当 k 越来越大时， z 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 , ,故
4k+2 5 5
D 错误.
故选 B.
lnx lnx lnx
对于 C ,由 − 1= 2= 3=k ,
x x x
1 2 3
可知 x =e−kx 1,x =ekx 2,x =ekx 3
1 2 3
又 x ,x ,x 成等比数列,所以 x x =x2 ,
1 2 3 1 3 2
即 e−kx 1⋅ekx 2=e2kx 2 .
因为 k≠0 ,所以 −x +x =2x ,
1 3 2
(−x +x ) 2
所以 x x =x2= 1 3 ,
1 3 2 2
所以 6x x =x2+x2 ,
1 3 1 3
x 2 6x
( )
所以 3 − 3+1=0 .
x x
1 1
x x
由 3>1 ,解得 3=3+2√2 ,
x x
1 1
x lnx
因为 3= 3 =3+2√2 ,
x −lnx
1 1
所以 lnx =−(3+2√2)lnx ,即 x x3+2√2=1 . 又 x =(3+2√2)x ,
3 1 3 1 3 1
所以 (3+2√2)x3+2√2+1=1 ,所以存在 m=3+2√2 ,使得 mxm+1=1 ,故 C 选项正确.
1 1
lnx lnx lnx
对于 D ,由 − 1= 2= 3=k 和对数平均值不等式可知,
x x x
1 2 3
1 x +x x −x x +x
= 2 3 = 2 3 < 2 3 .
k lnx +lnx lnx −lnx 2
2 3 2 3
因为 1<x <e<x ,所以 lnx +lnx >2 , x x >e2 .
2 3 2 3 2 3
1 x x −x
再由 = 2 = 2 1 >0 可知, x x > 1,所以 (x +x )x >e2+1 ,故选项 D 正
k lnx lnx +lnx 1 2 1 3 2
2 2 1
确. 故选 BCD.1
12.
5
(2a+3b)⋅(a+b)=2a2+5a⋅b+3b2=2|a| 2+5|a|⋅|b|⋅cos⟨a,b⟩+3|b| 2=14+10cos⟨a,b⟩=16
1
,解得 cos⟨a,b⟩= .
5
1
故答案为 .
5
13. 5 如图所示:
点 E 为圆 C 和圆 C 的切点, M,N 分别为圆 C 、 圆 C 与直线 l:y=kx 的
1 2 1 2
切点,则点 E 必在 ∠xOM 的角平分线上,
1
2×
1 2 4
所以 k = ,所以 k = = ,
OE 2 OM (1) 2 3
1−
2
l :4x−3 y=0.
OM
设 C (2m,m),C (2n,n),n>m>0 ,
1 2
则圆 C :(x−2m) 2+(y−m) 2=(4−2m) 2+(2−m) 2 ,
1
圆 C :(x−2n) 2+(y−n) 2=(4−2n) 2+(2−n) 2 ,
2
|8m−3m|
{ =√(4−2m) 2+(2−m) 2,
√42+32
所以
|8n−3n|
=√(4−2n) 2+(2−n) 2,
√42+32
所以 m+n=5,mn=5 .因为两圆外切,所以两圆的半径之和 r +r =
1 2
|C C |=√(2m−2n) 2+(m−n) 2=√5×
1 2
√(m+n) 2−4mn=√5×√52−4×5=5.
故答案为 5 .
14. 2 ① 不是理想数组. 因为若每行 3 个数的积都相等, 那么 9 个数的积是立方数,
但是 1×2×3×4×6×9×12×18×24=21+2+1+2+1+3×31+1+2+1+2+1=210×38 不是立方数,
所以①不是理想数组;
②是理想数组. 如下表所示，表中每行、每列及对角线上 3 个数的积都是 23×33 .
18 1 12
4 6 9
3 36 2
③是理想数组. 如下表所示，表中每行、每列及对角线上 3 个数的积都是 33×53 .
75 1 45
9 15 25
5 22 3
5
④ 不是理想数组. 因为若每行 3 个数的积都相等, 那么 9 个数的积是立方数,但是
1×3×5×9×15×25×45×75×135=31+2+1+2+1+3×
51+1+2+1+2+1=310×58 不是立方数,所以④不是理想数组.
故答案为 2 .
15.(1) 因为 √3c=asinB+√3acosB , 所以 √3sinC=sin AsinB+√3sin AcosB .
由 A+B+C=π ,
得 sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB ,
所以 √3sin AcosB+√3cosAsinB=
sin AsinB+√3sin AcosB,
所以 √3cosAsinB=sin AsinB .
又 0<B<π ,即 sinB≠0 ,所以 √3cosA=sin A , 所以 tan A=√3 . 由 0<A<π ,解
π
得 A= .
3a
(2)由正弦定理得， =2R=2√3 ,
sin A
√3
所以 a=2R⋅sin A=2√3× =3 .
2
b
由正弦定理得， =2R ，
sinB
b √3 1
所以 sinB= = = .
2R 2√3 2
π 2π π
因为 A= ,所以 0<B< ,所以 B= ,
3 3 6
π
所以 C=π−A−B= .
2
1 1 π 3√3
S = absinC= ×3×√3×sin = .
△ABC 2 2 2 2
16.(1) 证明: 因为 PD⊥ 平面 ABCD ,
AB⊂ 平面 ABCD ,所以 PD⊥AB .
在正方形 ABCD 中, AB⊥AD ,
因为 AD∩PD=D,AD,PD⊂ 平面 PAD ,
所以 AB⊥ 平面 PAD .
因为 DE⊂ 平面 PAD ,所以 DE⊥AB .
又 PD=AD=2,E 是 PA 的中点,所以 DE⊥PA . 因为 PA∩AB=A,PA,AB⊂ 平
面 PAB ,
所以 DE⊥ 平面 PAB ,又因为 PB⊂ 平面 PAB ,
所以 DE⊥PB .
同理可得 DF⊥PB . 又 DE∩DF=D ,
所以 PB⊥ 平面 DEF .
(2)由(1)知 DE⊥PB .
因为 PD⊥ 平面 ABCD,BC⊂ 平面 ABCD ,
所以 PD⊥BC . 又 BC⊥CD,PD∩CD=D,PD ,
CD⊂ 平面 PCD,BC⊥ 平面 PCD .因为 DF⊂ 平面 PCD ,所以 BC⊥DF .
因为 F 是 PC 的中点, DC=DP ,所以 DF⊥PC .
因为 PC∩BC=C,PC,BC⊂ 平面 PBC ,
所以 DF⊥ 平面 PBC ,因为 PB⊂ 平面 PBC ,
所以 DF⊥PB .
因为 DF∩DE=D,DF,DE⊂ 平面 DEGF ,
所以 PB⊥P 重 DEGF . 因为 EG⊂ 平面 DEGF ,
所以 PB⊥EG ,即 ∠PGE=90∘ .
因为 AB⊥ 平面 PAD,PA⊂ 平面 PAD ,
所以 PA⊥AB ,即 ∠PAB=90∘ .
又 ∠EPG=∠BPA ,则 △PEG∽△PBA ,
PG PE
所以 = .
PA PB
2√3 1
由 PA=2√2,PB=√PA2+AB2=2√3 , PE=√2 ,得 PG= ,即 PG= PB .
3 3
以 D 为原点, DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,
如图,
则 D(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),A(2,0,0) ,
B(2,2,0) ,所以 ⃗DC=(0,2,0),⃗DP=(0,0,2) ,
⃗PB=(2,2,−2) ,
1
⃗DG=⃗DP+⃗PG=⃗DP+ ⃗PB=(0,0,2)+
3
1 (2 2 4)
(2,2,−2)= , , .
3 3 3 3设平面 CDG 的法向量为 n=(x ,y ,z ) ,
1 1 1
{ n⋅⃗DC=2y =0,
1
则 2 2 4
n⋅⃗DG= x + y + z =0,
3 1 3 1 3 1
可取 n=(−2,0,1) .
⃗AB=(0,2,0),⃗AP=(−2,0,2).
设平面 ABP 的法向量为 m=(x ,y ,z ) ,
2 2 2
{ m⋅⃗AB=2y =0,
则 2 取 m=(1,0,1) .
m⋅⃗AP=−2x +2z =0,
2 2
设平面 CDG 与平面 PAB 的夹角为 θ ,
|m⋅n| 1 √10
cosθ=|cos⟨m,n⟩|= = = .
|m|⋅|n| √2×√5 10
√10
即平面 CDG 与平面 PAB 夹角的余弦值为 .
10
17.(1) g(x)=xlnx+ax2+2 的定义域为 (0,+∞) ,求导得, g′(x)=lnx+1+2ax .
1+lnx
因为 g(x) 有两个极值点,所以 g′(x)=0 有两个正实数解 x ,x ,即 2a=−
1 2 x
1+lnx
有两个正实数解,令 φ(x)=− ,
x
lnx
则 φ′(x)= ,且 φ′(1)=0 ,
x2
当 x∈(0,1) 时, φ′(x)<0,φ(x) 单调递减;
当 x∈(1,+∞) 时, φ′(x)>0,φ(x) 单调递增,
所以 φ (x)=φ(1)=−1 ,
min
且 x→0 时, φ(x)→+∞ ,
x→+∞ 时, φ(x)→0 ,所以 y=2a 与 y=φ(x) 有两个交点的条件为 −1<2a<0 ,即
( 1 ) ( 1 )
a∈ − ,0 . 综上可知, a 的取值范围为 − ,0 .
2 2
1
( 2 )由( 1 )知， − <a<0 ，且 0<x <1 ， g(x )<2 ,
2 1 11+lnx x lnx x
因为 g(x )=x lnx +ax2+2=x lnx − 1 x2+2= 1 1− 1+2.
1 1 1 1 1 1 2x 1 2 2
1
xlnx x
令 F(x)= − ,0<x<1 ,
2 2
lnx 1
则 F′(x)= <0 ,所以 F(x) 在 (0,1) 上单调递减,所以 F(x)>F(1)=− ,即
2 2
3 3
g(x )> . 综上可知, <g(x )<2 .
1 2 2 1
18.(1) 证明: 将点 (x,−y) 代入曲线方程中, 得到 (1−x) 2=(1−y2)(1+x) ,与原曲线方
程相同,说明点 (x,y) 及其关于 x 轴的对称点 (x,−y) 均在曲线上,所以曲线 C
关于 x 轴呈轴对称图形.
(2)若 k=0 ，则 AB 的方程为 y=0 ，与曲线 C 联立， 得 x2−3x=0 ,此时没有
三个交点,不合题意.
{(1−x) 2=(1−y2)(1+x),
若 k≠0 ,由
y=kx,
整理得 k2x3+(k2+1)x2−3x=0 ,
即 x[k2x2+(k2+1)x−3]=0 ,
所以 Δ=(k2+1) 2 +12k2>0 ,
x =0,
{ 2
( 1 )
x +x =− 1+ , |AB| x x
所以 1 3 k2 所以 =− 1 . 设 − 1=t(t>0) ,
|BC| x x
3 3 3
x x =− ,
1 3 k2
( 1+ 1 ) 2 ( k+ 1) 2
1 (x +x ) 2 k2 k 10
则 t+ =2− 1 3 =2+ =2+ ≥
t x x 3 3 3
1 3
k2
当且仅当 k=±1 时,等号成立,
1
解得 t≥3 或 0<t≤ ,
3
|AB| ( 1]
所以 的取值范围是 0, ∪[3,+∞) .
|BC| 3(3)若直线 l 的斜率为 0，则 l 的方程为 y=0 ，与曲线 C 联立，得 x2−3x=0
，此时直线 l 与曲线 C 的图象恰好有两个公共点.
若直线 l 的斜率不为 0,则设直线 l 的方程为
x=my+1 .
(1−x) 2
因为 x≥0 ,所以 1−y2= ≥0 ,
x+1
{(1−x) 2=(1−y2)(1+x),
所以 y∈[−1,1] . 由
x=my+1,
整理得 m y3+(m2+2)y2−my−2=0 .
若 m=0 ,则 2y2−2=0 ,所以 y=±1 ,此时直线 1 与曲线 C 的图象恰好有两个公
共点;
若 m≠0 ,设 f (y)=m y3+(m2+2)y2−my−2 , y∈[−1,1] ,则
f′(y)=3m y2+2(m2+2)y−m , 当 m>0 时,则 f′(−1)=−2(m2−m+2)<0 ,
f′(1)=2(m2+m+2)>0,
所以存在 y ∈(−1,1) ,使得 f′ (y )=0 ,
0 0
当 y∈(−1,y ) 时, f′(y)<0,f (y) 单调递减,
0
当 y∈(y ,1) 时, f′(y)>0,f (y) 单调递增.
0
因为 f (1)=m2>0,f (−1)=m2>0 ,
且 f (0)=−2<0 ,所以存在 y ∈[−1,0) ,
1
y ∈(0,1] ,使得 f (y )=f (y )=0 ,所以 f (y)= 0 在 y∈[−1,1] 上有两个不相等的
2 1 2
实根。
当 m<0 时，由 (1) 中的对称性可知， f (x) 平面 y∈[−1,1] 上有两个不相等的
实根.
综上,直线 x=my+1 与曲线 C 的公共点的个数为 2 .
1 (1) 1 2 (1) 3 2 1
19.(1) 由 x = ,可知 x =f = < 或 x =f = > ,各自的概率均为 ,
0 2 1 1 2 4 3 1 2 2 4 3 2
1
则 P = .
1 2
(1) 1 2 (1) 5 2 (3) 3 2 (3) 7 2 3
再 由 f = < ,f = < ,f = < ,f = > ,可知 P = .
1 4 8 3 2 4 8 3 1 4 8 3 2 4 8 3 2 4(2)记 I=(0,1) .
( 1) (1 )
当 x∈I 时,函数 f (x),f (x) 的值域分别为 0, , ,1 . 若令 f (x)=f (x) 或
1 2 2 2 1
f (x) ,则当 x∈I 时, f (x)∈I .
2
1 2
结合 x = ∈I ,可知对所有正整数 n ,均有 x ∈I . 若 x =f (x )< ,则有下列
0 2 n n+1 n 3
两种情况:
(I) 若 f (x)=f (x) ,此时 x 可取任意值;
1 n
x +1 2
(II) 若 f (x)=f (x) ,且 f (x )= n < ,
2 2 n 2 3
1
则 x < .
n 3
1
当 x =f (x )< 时, f (x)=f (x) ,
n n−1 3 1
x 1 2
且由 f (x )= n−1< ,可知 x < .
1 n−1 2 3 n−1 3
1 1 1 1 1
第一种情况的概率为 1× = ,第二种情况的概率为 P × × = P ,
2 2 n−1 2 2 4 n−1
1 1
所以 P = + P ,
n+1 2 4 n−1
2 1( 2)
所以 P − = P − ,
n+1 3 4 n−1 3
2 1( 2)
所以 P − = P − .
2n 3 4 2n−2 3
1 2
因为 x = < ,所以 P =1 ,
0 2 3 0
2 (1) n ( 2) 2 1(1) 2n
所以 P = + P − = +
2n 3 4 0 3 3 3 2
1 2 1( 2)
∴P = ,所以 P − = P − ,
1 2 2n+1 3 4 2n−1 3
2 (1) n ( 2)
所以 P = + P − ,
2n+1 3 4 1 32 (1) 2n ( 1) 2 1(1) 2n+1
所以 P = + − = −
2n+1 3 2 6 3 3 2
2 1( 1) n
综上所述， P = + −
n 3 3 2
(3) 由题意及(2),
2n+1 1
得 a =2nP = + (−1) n ,
n n 3 3
1 3
=
所以 .
a 2n+1+(−1) n
n
1 1 3
当 n 为偶数时, + = +
a a 2n+1+1
n n+1
3 9⋅2n+1
= <
2n+2−1 22n+3+2n+2−2n+1−1
9⋅2n+1 9
= .
22n+3 2n+2
1 1 1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 9
当 n 为奇数时, + +⋯+ = + + +⋯+ + <1+ +
a a a a a a a a 24
1 2 n 1 2 3 n−1 n
9 1
(1− )
9
24 x−1
9 9 4 2 24 7
+⋯+ =1+ <1+ =
26 2n+1 1 1 4
1− 1−
4 4
1 1 1 1 1 1 7
当 n 为偶数时, + +⋯+ < + +⋯+ <
a a a a a a 4
1 2 n 1 2 n+11 1 1 7
综上所述, + +⋯+ < .
a a a 4
1 2 n
